Il Cubo del Principe Rupert

In geometria , il cubo del principe Rupert (dal nome del principe Rupert del Reno ) è il cubo più grande che può passare attraverso un foro in un cubo unitario, cioè un cubo con bordo 1, senza separare il cubo in due parti. La lunghezza del suo bordo è circa il 6% più lunga di quella del cubo che attraversa. Il problema di trovare il quadrato più grande che si inserisce interamente in un cubo unitario è direttamente correlato e ha la stessa soluzione.

Soluzione

Se due punti sono posizionati su due bordi adiacenti di un cubo unitario, ciascuno a una distanza di 3/4 dal punto di intersezione di questi bordi, la distanza tra questi punti è

{\ displaystyle {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ circa 1.0606601.}

Questi due punti, con una seconda coppia di punti posti simmetricamente sulla faccia opposta del cubo, formano i quattro vertici di un quadrato contenuto interamente nel cubo unitario. Questo quadrato, esteso perpendicolarmente in entrambe le direzioni, forma il foro attraverso il quale può passare un cubo più grande del cubo originale (con una lunghezza di lato fino a ). ${\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {2}}} {4}}}$

Le restanti parti del cubo unitario, dopo aver praticato questo foro, formano due prismi triangolari e due tetraedri irregolari, collegati da sottili ponti ai quattro vertici del quadrato. Ogni prisma ha tra i suoi sei vertici due vertici adiacenti del cubo e quattro punti lungo i bordi del cubo situati a una distanza di 1/4 da questi vertici del cubo. Ogni tetraedro ha tra i suoi quattro vertici un vertice del cubo, due punti situati a una distanza di 3/4 da questo vertice su bordi adiacenti, e un punto situato a una distanza di 3/16 dal vertice del cubo lungo il terzo bordo adiacente.

Storia

Il cubo del principe Rupert prende il nome dal principe Rupert del Reno . Alla fine del XVII ° secolo , il matematico inglese John Wallis rapporti:

"Il principe Palatino Ruperto, un uomo di grande intelligenza e finezza di mente, mentre era alla corte del re inglese Carlo II, una volta sostenne (e si impegnò a dimostrarlo) che era tutto ciò che era possibile fare in modo che, di due cubi uguali, da un foro praticato in uno dei due, l'altra incrocia. "

Wallis ha dimostrato che un tale buco era possibile (con alcuni errori che non sono stati corretti fino a molto tempo dopo) e Prince Rupert ha vinto la sua scommessa.

Wallis presume che questo buco sarebbe parallelo a una grande diagonale del cubo. La proiezione del cubo su un piano perpendicolare a questa diagonale è un esagono regolare e il miglior foro parallelo alla diagonale può essere ottenuto disegnando il quadrato più grande possibile che può essere inscritto in questo esagono. Calcolando la dimensione di questo quadrato mostriamo che un cubo di bordo

{\ displaystyle {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}} \ circa 1.03527}

leggermente più grande di 1, è in grado di passare attraverso il foro.

Circa 100 anni dopo, il matematico olandese Pieter Nieuwland scoprì che una soluzione migliore (in effetti, la soluzione ottimale) può essere ottenuta immaginando un foro con un angolo diverso dalla diagonale. Nieuwland morì nel 1794, un anno dopo aver ottenuto una cattedra all'Università di Leida , ma la sua soluzione è pubblicata postuma nel 1816 dal mentore di Nieuwland, Jean Henri van Swinden (in) .

Da allora, questo problema è stato un classico in diversi libri di matematica ricreativa , in alcuni casi con la soluzione non ottimale di Wallis invece della soluzione ottimale.

Modelli

La costruzione di un modello fisico del cubo del principe Rupert è resa difficoltosa dalla precisione necessaria alle misurazioni e dalla finezza delle connessioni tra le restanti parti del cubo dopo aver ottenuto il foro; per questo motivo il problema è stato definito "matematicamente possibile ma praticamente impossibile" .

Tuttavia, in uno studio del 1950 su questo problema, DJE Schrek ha pubblicato fotografie di un modello di cubo che passa attraverso un altro cubo. Martin Raynsford ha disegnato un modello di una costruzione di carta di un tale cubo attraversato da un altro cubo; per tenere conto delle tolleranze associate alle costruzioni di carta e per non avvicinare troppo la carta alle giunzioni tra le parti del cubo cavo, il foro nel modello Raynsford è leggermente più grande del cubo che lascia passare.

Dagli anni 2010, i progressi nella stampa 3D hanno reso facile costruire cubi rigidi Prince Rupert, in materiali come il PLA .

Generalizzazioni

Il cubo non è l'unico solido che può passare attraverso un buco in una copia di se stesso. Questa proprietà è valida per tutti i poliedri regolari . La prova del tetraedro e dell'ottaedro regolari è stata fornita nel 1968, quella dell'icosaedro e del dodecaedro nel 2016. Allo stesso modo, è stato dimostrato che nove dei tredici solidi di Archimede hanno questa proprietà. Una congettura postula che qualsiasi poliedro convesso abbia la proprietà Rupert.

Un altro modo per esprimere la stessa domanda (per il cubo) è trovare il quadrato più grande contenuto in un cubo unitario. Più in generale, Jerrard e Wetzel hanno dimostrato nel 2004 che, per un dato rapporto di aspetto, il rettangolo più grande contenuto nel cubo unitario deve passare per il centro del cubo ei suoi vertici appartengono ai bordi del cubo. Senza vincolo sul rapporto dei lati, il rettangolo contenuto nel cubo unitario e avente l'area maggiore è quello formato da due lati simmetrici rispetto al centro del cubo, e le diagonali che li congiungono.

Un'altra generalizzazione è la ricerca del più grande ipercubo di dimensione contenuto nell'unità di dimensione ipercubo ; il suo volume è sempre un numero algebrico . Per (la ricerca del cubo più grande nell'unità tesseract ), la domanda posta da Martin Gardner in Scientific American , Kay R. Pechenick DeVicci e molti altri lettori ha mostrato che la risposta è la radice quadrata della più piccola radice reale del polinomio , che è di circa 1.007435. Infatti , il lato del quadrato più grande contenuto nel -hypercube è o , a seconda che sia dispari o pari. Per ogni n maggiore o uguale a 3, l'ipercubo di dimensione n ha la proprietà Rupert. $m$ $non$ $m$ ${\ displaystyle (m, n) = (3,4)}$ ${\ displaystyle 4x ^ {4} -28x ^ {3} -7x ^ {2} + 16x + 16}$ $m = 2$ $non$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n / 2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n / 2-3 / 8}}}$ $non$

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Il cubo del principe Rupert " ( vedere l'elenco degli autori ) .

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Link esterno

(it) Eric W. Weisstein , " Prince Rupert's Cube " , su MathWorld