Curva di Lissajous

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La curva di Lissajous , chiamata anche figura di Lissajous o curva di Bowditch , è la traiettoria di un punto le cui componenti rettangolari hanno un movimento sinusoidale.

Questa famiglia di curve fu studiata da Nathaniel Bowditch nel 1815 , poi più in dettaglio da Jules Lissajous nel 1857 .

Definizione

Una curva di Lissajous può sempre essere definita dalla seguente equazione parametrica:

X(t)=apeccato⁡t{\ displaystyle x (t) = a \ sin t} y(t)=bpeccato⁡(nont+ψ){\ Displaystyle y (t) = b \ sin (nt + \ psi)}

dove e . 0≤ψ≤π2{\ displaystyle 0 \ leq \ psi \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}non≥1{\ displaystyle n \ geq 1}

Il numero n è chiamato parametro della curva e corrisponde al rapporto tra le pulsazioni dei due movimenti sinusoidali. Inoltre, se questo rapporto è razionale, può essere espresso nella forma e l'equazione parametrica della curva diventa: non=qp{\ displaystyle n = {\ frac {q} {p}}}

X(θ)=apeccato⁡(pθ){\ displaystyle x (\ theta) = a \ sin (p \ theta)} y(θ)=bpeccato⁡(qθ+ϕ){\ Displaystyle y (\ theta) = b \ sin (q \ theta + \ phi)} 0≤θ<2π{\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}

dove e . 0≤ϕ≤π2p{\ displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq {\ frac {\ pi} {2p}}}q≥p{\ displaystyle q \ geq p}

Proprietà

• Se n è irrazionale, la curva è densa nel rettangolo [- a , a ] × [- b , b ].
• Se n è razionale,
  • la curva è una curva algebrica (unicursale) di grado 2 q se per p dispari o per p pari.ϕ∈]0,π2p]{\ displaystyle \ phi \ in \ left] 0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ right]}ϕ∈[0,π2p[{\ displaystyle \ phi \ in \ left [0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ right [}
  • la curva è una porzione di una curva algebrica di grado q se per p dispari o per p pari.ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}ϕ=π2p{\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2p}}}
• Se n è un numero intero pari e , o se n è un numero intero dispari e , la curva è una parte della curva dell'n- esimo polinomio di Chebyshev .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2}}}ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Casi speciali

• Se n = 1, la curva è un'ellisse .
  • Se A = B e , questa ellisse è un cerchio .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Se , questa ellisse è un segmento di linea .ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}
• Se un = 2 b ed n = q = 2 (quindi p = 1), la curva è un sacchetto .
  • Sì , questa cartella è una parte di una parabola .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Sì , questa borsa è una lemniscata di Gerono .ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Di seguito sono riportati alcuni esempi di grafici con e a = b . ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

• Diversi esempi di curve di Lissajous

• p = 1, q = 2

• p = 1, q = 3

• p = 1, q = 6

• p = 2, q = 3

• p = 3, q = 4

• p = 3, q = 20

Collegamenti con altre curve

Le curve di Lissajous sono proiezioni di corone sinusoidali su un piano parallelo all'asse di simmetria.

Applicazioni

Le curve di Lissajous hanno diverse applicazioni:

• Su un oscilloscopio analogico , la modalità XY (ascissa (componente orizzontale) e ordinata (componente verticale)) consente in particolare di misurare uno sfasamento e una differenza di frequenza tra due segnali sinusoidali visualizzando le curve di Lissajous. Questo metodo è tuttavia impreciso.
• I telescopi spaziali orbitanti attorno ai punti di Lagrange , come in particolare il telescopio Herschel posto nel punto L2, descrivono un'orbita di Lissajous .

Note e riferimenti

Vedi anche

Bibliografia

• (en) Julio Castiñeira Merino, "  Figure di Lissajous e polinomi di Chebyshev  " , The College Mathematics Journal  (en) , vol.  32, n o  22003, p.  122-127 ( leggi in linea )
• Francisco Gomes Teixeira , Trattato sulle straordinarie curve piatte e sinistre ,1971( 1 °  ed. 1905-1915) ( linea di lettura ) , cap.  III.12 (“Sulle curve di Lissajous”), p.  225-230

link esterno

• Robert Ferréol e Jacques Mandonnet, "  Lissajous curve  " , su mathcurve.com ,2015
• (it) Diapason Lissajous: la standardizzazione del suono musicale nel sito Whipple Museum of the History of Science .
• (en) Lissajous Interactive
• (a) Jules Antoine Lissajous .
• Registri dell'autorità  :
  • Biblioteca nazionale della dieta
• Avviso in un dizionario o in un'enciclopedia generale  : Encyclopædia Britannica