Contrazione tensoriale

In algebra multilineare , contrazione è un processo di calcolo su tensori coinvolgono dualità . In coordinate è rappresentato in modo molto semplice utilizzando le notazioni di Einstein e consiste nel fare una somma su un indice silenzioso. È possibile contrarre un tensore unico di rango p in un tensore di rango p-2 , ad esempio calcolando la traccia di una matrice. È anche possibile contrarre due tensori, il che generalizza la nozione di prodotto di matrice.

Contrazione per un paio di tensori

L'esempio più semplice di contrazione è il gancio della dualità . Se E è uno spazio vettoriale su (o qualsiasi campo K ) e se E * è lo spazio duale , la contrazione è la mappa bilineare $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle \ due punti E ^ {*} \ times E \ rightarrow \ mathbb {R}}

dato da

{\ displaystyle \ langle {\ tilde {a}}, {\ vec {b}} \ rangle = {\ tilde {a}} ({\ vec {b}})}

Nei componenti, viene scritta una tale contrazione

{\ displaystyle {\ tilde {a}} ({\ vec {b}}) = a _ {\ gamma} b ^ {\ gamma}}

che, secondo le convenzioni di sommatoria di Einstein , è una scorciatoia per la somma

{\ displaystyle a _ {\ gamma} b ^ {\ gamma} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b ^ {i}}

il cui risultato è uno scalare.

La forma bilineare è chiamata tensore di Kronecker e si nota , dove è lo spazio dei tensori misti (una volta covariante e una volta controvariante). Così . In una doppia base (vedi vettore controvariante, covariante e covettore ), la matrice di è la matrice identità dove sono i simboli di Kronecker: e se . In altre parole . E ci troviamo bene . L'introduzione del tensore di Kronecker è sufficiente a garantire il carattere intrinseco della contrazione. ${\ displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ delta \ in T_ {1} ^ {1} (E)}$ ${\ displaystyle T_ {1} ^ {1} (E)}$ ${\ displaystyle \ delta ({\ tilde {a}}, {\ vec {b}}) = {\ tilde {a}} ({\ vec {b}})}$ ${\ displaystyle \ left ({\ vec {e_ {i}}} \ right) _ {i = 1, ..., n}}$ ${\ displaystyle (e ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}$ $\delta$ ${\ displaystyle I = [\ delta _ {j} ^ {i}]}$ $\ delta _ {j} ^ {i}$ ${\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {i} = 1}$ ${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} = 0}$ $io \ ne j$ ${\ displaystyle \ delta = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {e}} _ {i} \ otimes e ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ delta ({\ tilde {a}}, {\ vec {b}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {e}} _ {i} ({\ tilde {a}}) e ^ {i} ({\ vec {b}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b ^ {i}}$

Generalizzazione: contrazione di un tensore

Per un semplice prodotto tensoriale di ordine ( m , n ), cioè di m vettori con n forme lineari, possiamo contrarre qualsiasi vettore con qualsiasi forma lineare: ${\ displaystyle S = x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {n} \ in E ^ {\ otimes m} \ otimes E ^ {* \; \ otimes n}}$

{\ displaystyle [S] _ {j} ^ {i} = y ^ {j} (x_ {i}) \; x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {i-1} \ otimes x_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {j-1} \ otimes y ^ {j + 1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ { non}}

Nei componenti, se e , questa contrazione è scritta: ${\ displaystyle y ^ {j} \ equiv {\ tilde {y}} ^ {j} = y _ {\ gamma} ^ {j} {\ tilde {e}} ^ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ equiv {\ vec {x}} _ {i} = x_ {i} ^ {\ gamma} {\ vec {e}} _ {\ gamma}}$

{\ displaystyle [S] _ {j} ^ {i} = y _ {\ gamma} ^ {j} x_ {i} ^ {\ gamma} \; x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {i- 1} \ otimes x_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {j-1} \ otimes y ^ {j + 1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {n}}

e dà un tensore dell'ordine . ${\ displaystyle (m-1, n-1)}$

Questa definizione è compatibile con le regole per il calcolo del prodotto tensoriale e si estende per linearità a qualsiasi tensore T (combinazione lineare finita di prodotti tensoriali semplici come S ).

Il calcolo pratico in componenti si effettua dando gli stessi valori ai due indici da contrarre poi sommando, mantenendo liberi gli altri indici. Ad esempio per un tensore (2,2) in uno spazio di dimensione 4, una delle contrazioni è, con la convenzione di sommatoria di Einstein :

{\ displaystyle T _ {\ gamma \ beta} ^ {\ alpha \ beta} = T _ {\ gamma 0} ^ {\ alpha 0} + T _ {\ gamma 1} ^ {\ alpha 1} + T _ { \ gamma 2} ^ {\ alpha 2} + T _ {\ gamma 3} ^ {\ alpha 3} = U _ {\ gamma} ^ {\ alpha}}

Contrazione di una coppia di tensori

Una contrazione di un tensore T con il tensore T ' è una contrazione del loro prodotto tensoriale , che coinvolge un indice di T e un indice di T' . ${\ displaystyle T \ otimes T '}$

Quindi le matrici possono essere viste come tensori di tipo (1,1). Il prodotto P di due matrici M e N è una contrazione

{\ displaystyle M _ {\ beta} ^ {\ alpha} N _ {\ gamma} ^ {\ beta} = P _ {\ gamma} ^ {\ alpha}}

Contrazione con un tensore metrico

La contrazione con un tensore metrico consente di estendere le proprietà della dualità. Il risultato, chiamato trasformazione contraco, permette di "salire o scendere" gli indici, cioè trasformare componenti covarianti in componenti controvarianti o viceversa. È quindi possibile eseguire nuove contrazioni.

Ad esempio nella geometria Riemanniana , questa possibilità viene utilizzata per definire il tensore di Ricci e la curvatura scalare dal tensore di curvatura .