Categoria esatta
Una categoria esatta , a volte chiamata esatta "nel senso di Quillen " per distinguere categorie regolari (in) (esatta "nel senso di Barr (in) ") e categorie abeliane (esatta "nel senso di Buchsbaum (in) ") , è una categoria che comprende e generalizza la nozione di sequenza esatta e funtore esatto .
Le categorie esatte sono state introdotte da Daniel Quillen come parte della teoria K algebrica .
Definizione
Sia B una categoria abeliana . Una categoria esatta è una sottocategoria additiva piena di B , vista come i dati di una categoria di additivi A e di una classe E di brevi sequenze esatte , che soddisfano un insieme di assiomi che specificano i vincoli su questa classe. Una viene assunta estensioni stabili, vale a dire che se X e Z sono in A e che un'ulteriore X → Y → Z è corretto, allora Y è in A .
In una breve sequenza esatta , dove e la sequenza stessa è chiamata conflazione, f è chiamata inflazione (o monomorfismo ammissibile) eg è chiamata deflazione (o epimorfismo ammissibile). Notiamo :
.
Gli assiomi affermati da Quillen sono:
- (QE1) E è stabile per isomorfismo e contiene tutte le estensioni divise, cioè le sequenze della forma . Inoltre, per tutta la continuazione, la deflazione è il nucleo dell'inflazione e l'inflazione è il nucleo della deflazione;
- (QE2) Le deflazioni (rispettivamente inflazione) sono stabili per composizione e variazione arbitraria della base (rispettivamente co-base);
- (QE3) Se un morfismo M → P ha un kernel e può fattorizzare una deflazione N → P (cioè abbiamo N → M → P ), allora è una deflazione stessa. Simmetricamente, se un morfismo I → K ha un cokernel e fattori un'inflazione I → J (cioè abbiamo I → K → J ) allora è un'inflazione.
È stato dimostrato che l'ultimo assioma è una conseguenza dei primi due. Yoneda aveva già mostrato questo risultato, che è stato trovato da Keller nel 1990. Ora è chiamato "oscuro assioma".
Esistono diverse assiomatizzazioni, ma l'idea di fondo è imitare il comportamento usuale di brevi sequenze esatte in categorie abeliane. Che questo obiettivo sia raggiunto è il risultato del teorema di Quillen- Gabriel .
Un funtore F: A → C da una categoria esatta a un'altra si dice esatto quando, per ogni breve sequenza esatta di A
,il seguente
una suite di accurate C .
Teorema di Quillen-Gabriel
Per ogni piccola categoria esatta ( A , E ), esiste un'inclusione in una categoria abeliana B , tale che E corrisponde precisamente alla classe di brevi sequenze esatte in B (nel senso usuale di una breve sequenza esatta in una categoria abeliana) .
Esempi
- Secondo il teorema di Quillen-Gabriel, ogni categoria abeliana è particolarmente esatta.
- Sia X un diagramma , la categoria dei fasci di vettori algebrici su X è una categoria esatta, l'insieme E essendo formato da brevi sequenze esatte divise localmente.
Articoli Correlati
- Categoria Waldhausen (en)
- Categoria triangolata
- Teorema dell'incorporamento di Mitchell
Riferimenti
- Theo Bühler , " Categorie esatte ", Expositions Mathematicae , vol. 28, n o 1,2010, p. 1-69 ( ISSN 0723-0869 , DOI 10.1016 / j.exmath.2009.04.004 , letto online , accesso 9 febbraio 2019 )
- (en) Theo Bühler , " Categorie esatte " , Expositions Mathematicae , vol. 28, n o 1,2010, p. 1-69 ( leggi in linea )
- (en) Dieter Happel , Categorie triangolate nella rappresentazione di algebre dimensionali finite , vol. 119, Cambridge University Press,1988
- (en) Bernhard Keller , " Complessi di catene e categorie stabili " , Manuscripta Mathematica , vol. 67,1990, p. 379-417 ( DOI 10.1007 / BF02568439 )
- (it) Daniel Quillen , "Teoria K algebrica superiore: I" , in Hyman Bass , Teorie K superiori , Springer, coll. "Appunti di matematica" ( n . 341),1972( ISBN 978-3-540-06434-3 , DOI 10.1007 / BFb0067053 ) , p. 85-147 DOI : 10.1007 / BFb0067053