Categoria additiva
Le categorie additive giocano un ruolo essenziale nella teoria delle categorie . Molte categorie incontrate nella pratica sono effettivamente additive. Qualsiasi categoria abeliana (come la categoria dei gruppi abeliani , o quella dei moduli a sinistra su un anello, o quella dei fasci di moduli su uno spazio localmente ricotto ) è additiva. Tuttavia, non appena forniamo una topologia a oggetti appartenenti a una categoria abeliana, e richiediamo che i morfismi siano mappe continue, otteniamo una categoria che generalmente non è più abeliana, ma che spesso è additiva. Ad esempio, la categoria degli spazi vettoriali sul corpo dei reali o complessi e le mappe lineari è abeliana, d'altra parte la categoria degli spazi di Banach , quella degli spazi di Fréchet , o anche quella degli spazi vettoriali topologici sul corpo dei reali. O complessi e mappe lineari continue, è additivo ma non abeliano. Si noterà che affinché una categoria sia additiva, è necessario che ciascuno dei suoi oggetti sia dotato di una struttura di gruppo abeliano ; così, ad esempio, la categoria degli insiemi , quella dei gruppi o quella degli spazi topologici , non è additiva.
Oggetti notevoli in una categoria
Oggetti iniziali, finali e nulli
In una categoria, si dice che un oggetto è iniziale se per qualsiasi oggetto esiste un morfismo unico . In un duplice modo, un oggetto si dice definitivo se per qualsiasi oggetto esiste un morfismo unico . Un oggetto nullo , o "oggetto 0", è un oggetto che è sia iniziale che finale. Un tale oggetto, quando esiste, è unico tranne che per un isomorfismo. Ad esempio, nella categoria dei gruppi abeliani, l'oggetto 0 è il gruppo banale . Al contrario, nella categoria degli insiemi, l' insieme vuoto è un oggetto iniziale, ogni singleton è un oggetto finale, ma non c'è nessun oggetto nullo.
io{\ displaystyle I}X{\ displaystyle X}io→X{\ displaystyle I \ rightarrow X}F{\ displaystyle F}Y{\ displaystyle Y}Y→F{\ displaystyle Y \ rightarrow F}
Oggetto secondario e oggetto quoziente
Oppure, in una categoria, un oggetto . Un sottooggetto di è una coppia tale che è un monomorfismo, chiamato inclusione di in . Un sottooggetto di non è quindi strettamente parlando un sottooggetto di , a meno che . Due sottooggetti e di si dicono equivalenti se esiste un isomorfismo tale che ; questo definisce una relazione di equivalenza. Nella categoria degli insiemi e delle applicazioni (rispettivamente di gruppi e omomorfismi), la nozione di sottooggetto conduce alla nozione usuale di sottoinsieme (risp. Di sottogruppo).
Y{\ displaystyle Y}Y{\ displaystyle Y}(X,α){\ displaystyle \ sinistra (X, \ alpha \ destra)}α{\ displaystyle \ alpha}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X=Y{\ displaystyle X = Y}(X,α){\ displaystyle \ sinistra (X, \ alpha \ destra)}(X′,α′){\ displaystyle \ left (X ^ {\ prime}, \ alpha ^ {\ prime} \ right)}Y{\ displaystyle Y}λ:X→X′{\ displaystyle \ lambda: X \ rightarrow X ^ {\ prime}}α=α′λ{\ displaystyle \ alpha = \ alpha ^ {\ prime} \ lambda}
In un certo senso duale, un oggetto quoziente di è una coppia tale che è un cd chiamato canonica epimorphism di a . Due oggetti quoziente e si dice che siano equivalenti se esiste un isomorfismo tale che . Nella categoria degli insiemi e delle applicazioni (rispettivamente di gruppi e omomorfismi), la nozione di oggetto quoziente conduce alla nozione usuale di insieme di quozienti (risp. Di gruppo quoziente da un sottogruppo distinto ).
Y{\ displaystyle Y}(Z,β){\ displaystyle \ left (Z, \ beta \ right)}β{\ displaystyle \ beta}Y{\ displaystyle Y}Z{\ displaystyle Z}(Z,β){\ displaystyle \ left (Z, \ beta \ right)}(Z′,β′){\ displaystyle \ left (Z ^ {\ prime}, \ beta ^ {\ prime} \ right)}γ:Z→Z′{\ displaystyle \ gamma: Z \ rightarrow Z ^ {\ prime}}β=γβ′{\ displaystyle \ beta = \ gamma \ beta ^ {\ prime}}
Categoria pre-additivo
Definizione
Una categoria preadditiva (chiamata anche categoria Ab ) è una categoria in cui ogni insieme (dove e sono oggetti di ) è un gruppo abeliano e per cui la composizione dei morfismi è biadditiva .
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}HomVS(X,Y){\ displaystyle Hom _ {\ mathcal {C}} \ sinistra (X, Y \ destra)}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
Lasciate e due categorie preadditive. Un funtore si dice additivo se la sua mappa-freccia (dove denota un morfismo di ) è -lineare, cioè se le sue restrizioni a ciascuno , con valori in è un morfismo di gruppi (abeliani).
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}} F:VS→D{\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {D}}}f↦F(f){\ displaystyle f \ mapsto {\ mathfrak {F}} \ sinistra (f \ destra)}f{\ displaystyle f}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}HomVS(X,Y){\ displaystyle Hom _ {\ mathcal {C}} \ sinistra (X, Y \ destra)}HomD(F(X),F(Y)){\ displaystyle Hom _ {\ mathcal {D}} \ left ({\ mathfrak {F}} \ left (X \ right), {\ mathfrak {F}} \ left (Y \ right) \ right)}
Biprodotto
O una famiglia finita di oggetti di una categoria preadditiva , o un oggetto di , e entrambi i morfismi , tali che . Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(Xio)1≤io≤non{\ displaystyle \ left (X_ {i} \ right) _ {1 \ leq i \ leq n}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}X{\ displaystyle X}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}2non{\ displaystyle 2n}πio:X→Xio{\ displaystyle \ pi _ {i}: X \ rightarrow X_ {i}}ϕio:Xio→X{\ displaystyle \ phi _ {i}: X_ {i} \ rightarrow X}πioϕj=δiojiodXio{\ displaystyle \ pi _ {i} \ phi _ {j} = \ delta _ {ij} Id_ {X_ {i}}}
- ∑1≤io≤nonϕioπio=iodX{\ Displaystyle \ sum _ {1 \ leq i \ leq n} \ phi _ {i} \ pi _ {i} = Id_ {X}}
-
X{\ displaystyle X}è la somma (detta anche coprodotto ) di , che verrà annotata con le iniezioni diXio{\ displaystyle X_ {i}}X=∐1≤io≤nonXio{\ displaystyle X = \ coprod \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq n} X_ {i}}ϕio{\ displaystyle \ phi _ {i}}
-
X{\ displaystyle X}è il prodotto di cui noteremoXio{\ displaystyle X_ {i}}X=∏1≤io≤nonXio{\ displaystyle X = \ prod \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq n} X_ {i}}
Quando le condizioni equivalenti di cui sopra sono soddisfatte, con i morfismi , viene chiamato un biprodotto di , che verrà annotato . Questo biprodotto, quando esiste, è unico tranne che per un isomorfismo.
X{\ displaystyle X}2non{\ displaystyle 2n}πio:X→Xio{\ displaystyle \ pi _ {i}: X \ rightarrow X_ {i}}ϕio:Xio→X{\ displaystyle \ phi _ {i}: X_ {i} \ rightarrow X}(Xio)1≤io≤non{\ displaystyle (X_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}X=⊕1≤io≤nonXio{\ displaystyle X = \ oplus _ {1 \ leq i \ leq n} X_ {i}}
Kernel e cokernel
O, in una categoria preadditiva, un morfismo . Un nocciolo di è un morfismo tale e tale che per ogni morfismo tale che esista un morfismo unico tale che . La coppia è un oggetto secondario di , ha osservato . designa anche il morfismo o, per abuso di linguaggio, l'oggetto . Quando questo nucleo esiste, è unico tranne che per un'equivalenza. È il più grande oggetto secondario di annichilito daα:X→Y{\ displaystyle \ alpha: X \ rightarrow Y}α{\ displaystyle \ alpha}κ:K→X{\ displaystyle \ kappa: K \ rightarrow X}ακ=0{\ displaystyle \ alpha \ kappa = 0}λ:L→X{\ displaystyle \ lambda: L \ rightarrow X}αλ=0{\ displaystyle \ alpha \ lambda = 0}ϕ:L→K{\ displaystyle \ phi: L \ rightarrow K}λ=κϕ{\ displaystyle \ lambda = \ kappa \ phi}(K,κ){\ displaystyle \ sinistra (K, \ kappa \ destra)}X{\ displaystyle X}kerα{\ displaystyle \ ker \ alpha}kerα{\ displaystyle \ ker \ alpha}κ{\ displaystyle \ kappa}K{\ displaystyle K}X{\ displaystyle X}α{\ displaystyle \ alpha}
In modo duplice, un cokernel di è un morfismo tale che e per qualsiasi morfismo tale che esista un morfismo unico tale che . La coppia è un quoziente di oggetto notato ; designato anche il morfismo o, per abuso di linguaggio, l'oggetto . Quando questo cokernel esiste, è unico tranne che per un'equivalenza. È il più grande quoziente oggetto di cui si annichilisce .
α:X→Y{\ displaystyle \ alpha: X \ rightarrow Y}γ:Y→VS{\ displaystyle \ gamma: Y \ rightarrow C}γα=0{\ displaystyle \ gamma \ alpha = 0}β{\ displaystyle \ beta}βα=0{\ displaystyle \ beta \ alpha = 0}ψ{\ displaystyle \ psi}β=ψγ{\ displaystyle \ beta = \ psi \ gamma}(VS,γ){\ displaystyle \ sinistra (C, \ gamma \ destra)}Y{\ displaystyle Y}vsoKerα{\ displaystyle coker \ alpha}vsoKerα{\ displaystyle coker \ alpha}γ{\ displaystyle \ gamma}VS{\ displaystyle C}Y{\ displaystyle Y}α{\ displaystyle \ alpha}
Categorie additive e categorie preabeliane
Definizioni
Si dice che una categoria preadditiva sia additiva se c'è un oggetto 0 e se ogni coppia di oggetti ammette un sottoprodotto.
Si dice che una categoria additiva sia preabeliana se qualsiasi morfismo di questa categoria ammette un nucleo e un cokernel.
α:X→Y{\ displaystyle \ alpha: X \ rightarrow Y}
Immagine e immagine
In una categoria preabeliana, definiamo come l'immagine (risp. La coimage) di un morfismo come sotto-oggetto di (risp. Il quoziente oggetto di ) definito come segue:
α:X→Y{\ displaystyle \ alpha: X \ rightarrow Y}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}
iom α=Ker vsoKer α{\ Displaystyle im \ \ alpha = ker \ coker \ \ alpha} {\ displaystyle \ quad}(risp. ).
vsoiom α=vsoKer Ker α{\ displaystyle coim \ \ alpha = coker \ ker \ \ alpha}Considera il diagramma seguente:
Ker α⟶X⟶αY⟶vsoKer α↓↑vsoiom α⟶α′iom α{\ displaystyle {\ begin {array} {ccccccc} ker \ \ alpha & \ longrightarrow & X & {\ overset {\ alpha} {\ longrightarrow}} & Y & \ longrightarrow & coker \ \ alpha \\ && \ downarrow && \ uparrow && \\ && coim \ \ alpha & {\ overset {\ alpha ^ {\ prime}} {\ longrightarrow}} & im \ \ alpha && \ end {array}}}Poiché è il quoziente massimo di cui annichilisce , esiste un morfismo tale che . Quindi . Dal momento che è un epimorphism, . E poiché è il più grande sotto-oggetto di annichilito da , c'è un morfismo unico che rende il diagramma commutativo.
vsoiom α{\ displaystyle coim \ \ alpha}X{\ displaystyle X}Ker α{\ Displaystyle ker \ \ alpha}ϕ:vsoiom α→Y{\ displaystyle \ phi: coim \ \ alpha \ rightarrow Y}α=ϕ(vsoiom α){\ Displaystyle \ alpha = \ phi \ left (coim \ \ alpha \ right)}(vsoKer α)ϕ(vsoiom α)=0{\ Displaystyle \ left (coker \ \ alpha \ right) \ phi \ left (coim \ \ alpha \ right) = 0}vsoiom α{\ displaystyle coim \ \ alpha}(vsoKer α)ϕ=0{\ Displaystyle \ left (coker \ \ alpha \ right) \ phi = 0}iom α{\ displaystyle im \ \ alpha}Y{\ displaystyle Y}vsoKer α{\ displaystyle coker \ \ alpha}α′{\ displaystyle \ alpha ^ {\ prime}}
Esempi
La categoria EVT di spazi vettoriali topologici su un campo topologico K e mappe lineari continue è preabeliana. Il kernel, il cokernel, l'immagine e l'immagine di un morfismo EVT sono i soliti oggetti algebrici. Sia un morfismo, cioè una mappa lineare continua. La mappa lineare indotta è biiettiva ed è anche continua per definizione della topologia indotta. Si tratta quindi di un morfismo, e .
α:X→Y{\ displaystyle \ alpha: X \ rightarrow Y}α¯:vsoiom α=X/Ker α→iom α{\ displaystyle {\ bar {\ alpha}}: coim \ \ alpha = X / ker \ \ alpha \ rightarrow im \ \ alpha}α′=α¯{\ displaystyle \ alpha ^ {\ prime} = {\ bar {\ alpha}}}
La categoria Divieto degli spazi di Banach nel campo delle applicazioni lineari reali e complesse e continue è préabélienne. Sia un morfismo; quindi e sono i soliti oggetti algebrici, a differenza di e . Sia la mappa lineare indotta. È biettivo, ed è anche continuo secondo la definizione della topologia indotta. Lascia che la mappa lineare continua coincida con on . È iniettiva, ed è suriettiva se e solo se è chiuso .
α:X→Y{\ displaystyle \ alpha: X \ rightarrow Y}Ker α=α-1({0}){\ Displaystyle ker \ \ alpha = \ alpha ^ {- 1} \ sinistra (\ sinistra \ {0 \ destra \} \ destra)}vsoiom α=X/Ker α{\ Displaystyle coim \ \ alpha = X / ker \ \ alpha}vsoKer α=Y/α(X)¯{\ Displaystyle coker \ \ alpha = Y / {\ overline {\ alpha \ left (X \ right)}}}iom α=α(X)¯{\ Displaystyle im \ \ alpha = {\ overline {\ alpha \ left (X \ right)}}}α¯:vsoiom α→α(X){\ displaystyle {\ bar {\ alpha}}: coim \ \ alpha \ rightarrow \ alpha \ left (X \ right)}α′:vsoiom α→iom α{\ displaystyle \ alpha ^ {\ prime}: coim \ \ alpha \ rightarrow im \ \ alpha}α¯{\ displaystyle {\ bar {\ alpha}}}vsoiom α{\ displaystyle coim \ \ alpha}α(X){\ Displaystyle \ alpha \ sinistra (X \ destra)}Y{\ displaystyle Y}
Ciò rimane valido nella categoria Fre degli spazi di Fréchet e lineari continue, o più in generale in una sottocategoria completa della categoria degli spazi vettoriali topologici separati su un corpo topologico, e applicazioni lineari continue (gli spazi di Fréchet de Banach hanno però la specificità che, secondo per il teorema di Banach sulla mappa inversa, un morfismo biettivo è un isomorfismo: questa proprietà non è condivisa da nessuno spazio vettoriale topologico).
D'altra parte, la categoria degli spazi convessi localmente separati separati non è preabeliana, perché il quoziente di uno spazio completo per un sottospazio chiuso non è completo in generale.
La nozione di categoria preabeliana è stata utilizzata nella teoria dei sistemi.
Morfismo rigoroso
In una categoria preabeliana, si dice che un morfismo sia rigoroso se è un isomorfismo. Per esempio :
α:X→Y{\ displaystyle \ alpha: X \ rightarrow Y}α′{\ displaystyle \ alpha ^ {\ prime}}
- Nella categoria EVT , un morfismo è rigoroso se e solo se l'applicazione viene aperta da in .α:X→Y{\ displaystyle \ alpha: X \ rightarrow Y}α{\ displaystyle \ alpha}X{\ displaystyle X}α(X){\ Displaystyle \ alpha \ sinistra (X \ destra)}
- Lo stesso vale per le categorie Ban e Fré , e come conseguenza del teorema di Banach-Schauder questo equivale a dire che è chiuso .α(X){\ Displaystyle \ alpha \ sinistra (X \ destra)}Y{\ displaystyle Y}
Categorie quasi abeliane
Quadrati cartesiani e co-cartesiani
In una categoria , un quadrato cartesiano è un quadrato commutativo.
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
tale che per ogni oggetto di e tutti morfismi , v'è un unico morfismo making commutativi il seguente schema:
O{\ displaystyle O}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}γ1:VS→VS1{\ displaystyle \ gamma _ {1}: C \ freccia destra C_ {1}}γ2:VS→VS2′{\ displaystyle \ gamma _ {2}: C \ rightarrow C_ {2} ^ {\ prime}}γ:VS→VS1′{\ displaystyle \ gamma: C \ rightarrow C_ {1} ^ {\ prime}}
cioè , . Un quadrato Co-Cartesiano si ottiene per dualità, cioè invertendo la direzione delle frecce.
vs1∘γ=γ1{\ displaystyle c_ {1} \ circ \ gamma = \ gamma _ {1}}f′∘γ=γ2′{\ displaystyle f ^ {\ prime} \ circ \ gamma = \ gamma _ {2} ^ {\ prime}}
Nozione di categoria quasi abeliana; proprietà
Sia una categoria preabeliana. Si dice che sia quasi abeliano se sono soddisfatte le seguenti condizioni: (i) In un quadrato cartesiano come sopra, se f è un epimorfismo rigoroso, allora è un epimorfismo rigoroso. (ii) La doppia condizione è soddisfatta (invertendo la direzione delle frecce e sostituendo "epimorfismo" con "monomorfismo").
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}f′{\ displaystyle f ^ {\ prime}}
In una categoria quasi abeliana, il composto di due epimorfismi rigorosi è un epimorfismo rigoroso. Possiamo definire in una categoria quasi abeliana la nozione di "sequenza strettamente esatta" come segue: una sequenza
A⟶uB⟶vVS{\ displaystyle A {\ overset {u} {\ longrightarrow}} B {\ overset {v} {\ longrightarrow}} C}è rigorosamente esatto se e il morfismo canonico è un isomorfismo.
v∘u=0{\ displaystyle v \ circ u = 0}vsoiom(u)→Ker(v){\ Displaystyle coim (u) \ rightarrow ker (v)}
Fabienne Prosmans e Jean-Pierre Schneiders hanno dimostrato che le categorie quasi abeliane ammettono categorie derivate , il che lo rende un quadro appropriato per l'algebra omologica (dal contributo fondamentale di Alexandre Grothendieck , sapevamo che questo era il caso delle categorie abeliane).
Esempi
La categoria ELC degli spazi localmente convessi, la categoria ELCS degli spazi separati localmente convessi, le categorie Ban e Fré , sono quasi abeliane. Inoltre, Ban ha abbastanza oggetti iniettivi e oggetti proiettivi, mentre Fré ha abbastanza oggetti iniettivi.
Categorie abeliane
Una categoria preabeliana è abeliana se tutti i morfismi di questa categoria sono rigidi. Una categoria abeliana è quasi abeliana.
Note e riferimenti
-
Cohn 2003 , §2.1, eserc. 1, p. 40 .
-
Seguiamo qui la presentazione di Cohn 2003 , §2.1. Possiamo anche definire un sottooggetto come una classe di equivalenza di monomorfismi con il seguente obiettivo , ad esempio, Mac Lane 1998 , §V.7Y{\ displaystyle Y}Y{\ displaystyle Y}
-
Mac Lane 1998 , cap. VIII
-
Cohn 2003 , Thm. 2.1.1
-
Bourlès e Oberst 2009
-
Prosmans 2000
-
Schneiders 1999
-
Grothendieck 1957
Bibliografia
- Henri Bourlès e Ulrich Oberst , " Dualità per sistemi di differenza differenziale su gruppi di Lie ", SIAM J. Control Optim. , vol. 48, n o 4,2009, p. 2051-2084 ( leggi in linea )
- (en) Paul Moritz Cohn , Ulteriore algebra e applicazioni , Londra, Springer,2003, 451 p. ( ISBN 1-85233-667-6 , leggi in linea )
- Alexandre Grothendieck , " Su alcuni punti di algebra omologica I ", TMJ , vol. 9,1957, p. 119-184 ( leggi in linea )
- Alexandre Grothendieck , " Su alcuni punti di algebra omologica II ", TMJ , vol. 9,1957, p. 185-221 ( leggi in linea )
- (it) Saunders Mac Lane , Categories for the Working Mathematician [ dettaglio dell'edizione ]
- (it) Nicolae Popescu , Categorie abeliane con applicazioni ad anelli e moduli , Academic Press,1973, 467 p. ( ISBN 0-12-561550-7 )
- (en) Fabienne Prosmans , " Categorie derivate per l'analisi funzionale " , Publ. Ris. Int. Matematica. Sci. , vol. 36,2000, p. 19-83 ( leggi in linea )
- (en) Jean-Pierre Schneiders , " Categorie e covoni quasi abeliani " , Mém. Soc. Matematica. Francia , 2 nd serie, vol. 76,1999, p. 1-140 ( leggi in linea )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">