Equazione di continuità
Nella meccanica dei fluidi , il principio di conservazione della massa può essere descritto dall'equazione di continuità in diverse forme: locale conservativo ( derivato in tempo normale), locale non conservativo (la derivata nel tempo segue la particella nel suo movimento) o integrale . Secondo i problemi posti, è l'una o l'altra di queste equazioni che potrebbe essere mantenuta, essendo tutte equivalenti.
Notiamo qui:
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ρ=ρ(X→,t){\ displaystyle \ rho = \ rho ({\ vec {x}}, t)} : la densità del fluido nel punto individuato dal vettore al momentoX→{\ displaystyle {\ vec {x}}}t{\ displaystyle t}
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U→=U→(X→,t){\ displaystyle {\ vec {U}} = {\ vec {U}} ({\ vec {x}}, t)} : la velocità di una particella fluida situata nel punto individuato dal vettore nell'istanteX→{\ displaystyle {\ vec {x}}}t{\ displaystyle t}
Forma locale
Questa scrittura è la più generale e la più diffusa.
∂ρ∂t+div(ρU→)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ hbox {div}} (\ rho \, {\ vec {U}}) = 0}Introducendo la nozione di derivata particellare , abbiamo la seguente scrittura equivalente:
DρDt+ρ div(U→)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ rho} {\ mathrm {D} t}} + \ rho \ {\ hbox {div}} ({\ vec {U}}) = 0}
Forma integrale
Questa formulazione permette lo studio di un "blocco" di fluido che può eventualmente subire deformazioni nel tempo.
Ω(t){\ displaystyle \ Omega (t)}
Riflette il fatto che la massa del fluido racchiuso nel volume è costante.
Ω(t){\ displaystyle \ Omega (t)}
ddt∫Ω(t)ρ(X→,t) dΩ(t)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {\ Omega (t)} \ rho ({\ vec {x}}, t) \ \ mathrm {d } \ Omega (t) = 0}
Flusso incomprimibile
Se la densità è costante nel tempo e uniforme nello spazio ( flusso incomprimibile ), l'equazione di conservazione si riduce a
div(U→)=0{\ displaystyle {\ hbox {div}} ({\ vec {U}}) = 0}Condizioni di salto
Quando il composto studiato è costituito da due diverse parti del fluido separate da un'interfaccia che si muove a una velocità di propagazione locale , la conservazione della massa è espressa dalla seguente relazione:
Σ(t){\ displaystyle \ Sigma (t)}W→(X→,t){\ displaystyle {\ vec {W}} ({\ vec {x}}, t)}
Δ(ρ(U→-W→))⋅non→=0{\ displaystyle \ Delta {\ Big (} \ rho ({\ vec {U}} - {\ vec {W}}) {\ Big)} \ cdot {\ vec {n}} = 0}dove se e sono i rispettivi valori della grandezza nei due fluidi 1 e 2 ed è il vettore normale ad orientato dal fluido 1 al fluido 2.
Δ(b)=b2-b1{\ displaystyle \ Delta (b) = b_ {2} -b_ {1}}b1{\ displaystyle b_ {1}}b2{\ displaystyle b_ {2}}b{\ displaystyle b}non→{\ displaystyle {\ vec {n}}}Σ(t){\ displaystyle \ Sigma (t)}
Questa è la base della relazione Rankine-Hugoniot .
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