Equazione Washburnburn

In fisica , l' equazione di Washburn descrive il flusso capillare in un fascio di tubi cilindrici paralleli; si estende con qualche problema all'imbibizione in materiali porosi . L'equazione prende il nome da Edward Wight Washburn (in) ; è anche nota come equazione Lucas-Washburn , considerando che Richard Lucas aveva scritto un articolo simile tre anni prima, o equazione Bell-Cameron-Lucas-Washburn , considerando la scoperta da parte di JM Bell e FK Cameron della forma dell'equazione in 1906.

Derivazione

Nella sua forma più generale, l'equazione di Lucas Washburn descrive la lunghezza di penetrazione ( ) di un liquido in un poro o tubo capillare nel tempo tale che , dove è un coefficiente di diffusione semplificato. Questa relazione, che è vera per una varietà di situazioni, cattura l'essenza dell'equazione di Lucas e Washburn e mostra che la penetrazione capillare e il trasporto di fluidi attraverso strutture porose mostrano un comportamento diffusivo simile a quello che si verifica in molti sistemi fisici e chimici. Il coefficiente di diffusione è governato dalla geometria del capillare e dalle proprietà del fluido penetrante. Un liquido avente viscosità dinamica e tensione superficiale penetrerà per una distanza nel capillare il cui raggio dei pori segue la relazione: $L$ $t$ ${\ displaystyle L = (Dt) ^ {\ frac {1} {2}}}$ $D$ $D$ $\ età$ $\gamma$ $L$ $r$

${\ displaystyle L = {\ sqrt {\ frac {\ gamma rt \ cos (\ phi)} {2 \ eta}}}}$

Dov'è l'angolo di contatto tra il liquido penetrante e il solido (parete del tubo). $\ phi$

L'equazione di Washburn è anche comunemente usata per determinare l' angolo di contatto di un liquido con una polvere usando una forza tensiometrica (fr) .

Nel caso dei materiali porosi, sono stati sollevati molti problemi sia sul significato fisico del raggio dei pori calcolato, sia sulla reale possibilità di utilizzare questa equazione per il calcolo dell'angolo di contatto del solido. L'equazione è derivata dal flusso capillare in un tubo cilindrico in assenza di campo gravitazionale , ma è sufficientemente precisa in molti casi quando la forza capillare è ancora significativamente maggiore della forza gravitazionale. $r$

Nel suo articolo del 1921, Washburn applica la legge di Poiseuille per il moto dei fluidi in un tubo circolare. Inserendo l'espressione del volume differenziale in funzione della lunghezza del fluido nel tubo , si ottiene $l$ ${\ displaystyle dV = \ pi r ^ {2} dl}$

{\ displaystyle {\ frac {\ delta l} {\ delta t}} = {\ frac {\ sum P} {8r ^ {2} \ eta l}} (r ^ {4} +4 \ epsilon r ^ { 3})}

dove è la somma delle pressioni partecipanti, come la pressione atmosferica , la pressione idrostatica e la pressione equivalente dovuta alle forze capillari . è la viscosità del liquido, ed è il coefficiente di scorrimento, che si assume pari a 0 per i materiali bagnanti. è il raggio del capillare. Le pressioni a loro volta possono essere scritte come ${\ displaystyle \ sum P}$ $PAPÀ}$ ${\ displaystyle P_ {h}}$ ${\ displaystyle P_ {c}}$ $\ età$ $\ epsilon$ $r$

{\ displaystyle P_ {h} = hg \ rho -lg \ rho \ sin \ psi}

{\ displaystyle P_ {c} = {\ frac {2 \ gamma} {r}} \ cos \ phi}

dove è la densità del liquido e la sua tensione superficiale . è l'angolo del tubo rispetto all'asse orizzontale. è l'angolo di contatto del liquido sul materiale capillare. La sostituzione di queste espressioni porta all'equazione differenziale del primo ordine della distanza in cui il fluido entra nel tubo : $\ rho$ $\gamma$ $\ psi$ $\ phi$ $l$

{\ displaystyle {\ frac {\ delta l} {\ delta t}} = {\ frac {[P_ {A} + g \ rho (hl \ sin \ psi) + {\ frac {2 \ gamma} {r} } \ cos \ phi] (r ^ {4} +4 \ epsilon r ^ {3})} {8r ^ {2} \ eta l}}}

Washburn costante Wash

La costante Washburn può essere inclusa nell'equazione Washburn.

Si calcola come segue:

{\ displaystyle {\ frac {10 ^ {4} \ left [\ mathrm {\ frac {\ mu m} {cm}} \ right] \ left [\ mathrm {\ frac {N} {m ^ {2}} } \ destra]} {68947.6 \ sinistra [\ mathrm {\ frac {dynes} {cm ^ {2}}} \ destra]}} = 0,1450 (38)}

Inerzia del fluido

Nella derivazione dell'equazione di Washburn si ignora l' inerzia del liquido, considerata trascurabile. Ciò è evidente nella dipendenza della lunghezza dalla radice quadrata del tempo , che dà un tasso dL/dt arbitrariamente grande per piccoli valori di t . Una versione migliorata dell'equazione di Washburn chiamata equazione di Bosanquet (in) tiene conto dell'inerzia del liquido. $L$ ${\ displaystyle L \ propto {\ sqrt {t}}}$

Applicazioni

Stampa a getto d'inchiostro

La penetrazione di un liquido nel substrato che scorre sotto la propria pressione capillare può essere calcolata utilizzando una versione semplificata dell'equazione di Washburn:

{\ displaystyle l = \ left [{\ frac {r \ cos \ theta} {2}} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ left [{\ frac {\ gamma} {\ eta} } \ destra] ^ {\ frac {1} {2}} t ^ {\ frac {1} {2}}}

dove il rapporto tensione superficiale/viscosità rappresenta la velocità con cui l'inchiostro penetra nel substrato. In realtà, l'evaporazione dei solventi limita l'entità della penetrazione del liquido in uno strato poroso e quindi, per una modellazione significativa della fisica della stampa a getto d'inchiostro, è opportuno utilizzare modelli che tengano conto degli effetti dell'evaporazione nella penetrazione capillare limitata. ${\ displaystyle \ left [{\ tfrac {\ gamma} {\ eta}} \ right] ^ {\ frac {1} {2}}}$

Cibo

Secondo il fisico e vincitore del premio Ig-Nobel Len Fisher, l'equazione di Washburn può essere estremamente accurata per materiali più complessi, inclusi i cookie . Dopo una celebrazione informale chiamata " Giornata nazionale dell'inzuppamento di biscotti " , alcuni articoli di giornale hanno citato l'equazione come equazione di Fisher .

Nuova pompa capillare

Il comportamento del flusso nel capillare tradizionale segue l'equazione di Washburn. Recentemente sono state sviluppate nuove pompe a capillare con una velocità di pompaggio costante indipendente dalla viscosità del liquido, che presentano un notevole vantaggio rispetto alla pompa a capillare tradizionale (il cui comportamento di flusso è il comportamento Washburn, cioè il flusso non è costante). Questi nuovi concetti di pompa capillare hanno un grande potenziale per migliorare le prestazioni del test di flusso laterale (in) .

Vedi anche

Equazione Bosanquet (en)
Porosimetria (in) . Porosimetria a intrusione di mercurio, MIP

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Equazione di Washburn " ( vedi elenco degli autori ) .

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link esterno

Misura della bagnabilità delle polveri con il metodo Washburn