Equazione di Fermat generalizzata
In aritmetica , l' equazione di Fermat generalizzata è l'equazione
AXp+Bsìq+VSzr=0{\ displaystyle Ax ^ {p} + Per ^ {q} + Cz ^ {r} = 0}
dove sono numeri interi diversi da zero, sono numeri interi diversi da zero primi tra loro e sono numeri interi.
A,B,VS∈Z≠0{\ displaystyle A, B, C \ in \ mathbb {Z} _ {\ neq 0}}X,sì,z{\ stile di visualizzazione x, y, z}p,q,r≥2{\ displaystyle p, q, r \ geq 2}
Come suggerisce il nome, questa equazione generalizza l'equazione il cui famoso ultimo teorema di Fermat stabilisce l'impossibilità quando . Come questo prima della sua risoluzione, il suo interesse principale oggi risiede nello stimolare lo sviluppo di nuovi strumenti matematici necessari per la sua comprensione. Tra questi strumenti ci sono le curve di Frey , le forme modulari e le rappresentazioni di Galois . In quanto tale, l'argomento delle equazioni di Fermat generalizzate beneficia enormemente dei ponti gettati tra l'aritmetica e la teoria della rappresentazione dal programma di Langlands . Sono stati proposti anche alcuni approcci ciclotomici , ma nessuno sembra abbastanza potente.
Xnon+sìnon=znon{\ stile di visualizzazione x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}non≥3{\ displaystyle n \ geq 3}
L'equazione di Fermat generalizzata a volte si riferisce alla singola equazione o alla singola equazione . Quest'ultima è la più studiata e ad essa collegata almeno due congetture irrisolte: la congettura di Fermat-catalano e la congettura di Beal.
AXnon+Bsìnon+VSznon=0{\ displaystyle Ascia ^ {n} + Per ^ {n} + Cz ^ {n} = 0}Xp+sìq=zr{\ stile di visualizzazione x ^ {p} + y ^ {q} = z ^ {r}}
Definizioni
Chiamiamo la firma e la caratteristica dell'equazione . Esistono diversi casi principali a seconda della caratteristica, nominati per analogia con la classificazione degli spazi in base alla loro curvatura :
(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}χ=1p+1q+1r{\ displaystyle \ chi = {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}}}AXp+Bsìq+VSzr=0{\ displaystyle Ax ^ {p} + Per ^ {q} + Cz ^ {r} = 0}
-
χ>1{\ displaystyle \ chi> 1}, il caso sferico . spetta alla permutazione o .(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}(2,2,non),non≥2{\ displaystyle (2,2, n), n \ geq 2}(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5){\ stile di visualizzazione (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)}
-
χ=1{\ displaystyle \ chi = 1}, il caso euclideo (o parabolico ). dipende dalla permutazione , o .(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}(3,3,3){\ stile di visualizzazione (3,3,3)}(2,4,4){\ stile di visualizzazione (2,4,4)}(2,3,6){\ stile di visualizzazione (2,3,6)}
-
χ<1{\ displaystyle \ chi <1}, il caso iperbolico .
A causa del numero relativamente piccolo di valori che li riguardano, i casi sferico ed euclideo sono ora ben compresi. Il caso iperbolico è quindi quello oggetto delle maggiori ricerche.
(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}
congetture
Congettura di Fermat-catalano
Si afferma la congettura di Fermat-catalano o la congettura di Fermat generalizzata
(Xp,sìq,zr){\ stile di visualizzazione (x ^ {p}, y ^ {q}, z ^ {r})}prende solo un numero finito di valori tra tutte le soluzioni to con interi primi tra loro e interi come .Xp+sìq=zr{\ stile di visualizzazione x ^ {p} + y ^ {q} = z ^ {r}}X,sì,z≥1{\ displaystyle x, y, z \ geq 1}p,q,r≥2{\ displaystyle p, q, r \ geq 2}1p+1q+1r<1{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} <1}
Bisogna chiedere un'infinità di valori per e non un'infinità di valori per perché fornisce questa infinità senza essere comunque interessante.
(Xp,sìq,zr){\ stile di visualizzazione (x ^ {p}, y ^ {q}, z ^ {r})}(X,sì,z,p,q,r){\ stile di visualizzazione (x, y, z, p, q, r)}1p+23=32{\ stile di visualizzazione 1 ^ {p} + 2 ^ {3} = 3 ^ {2}}
Ora conosciamo 10 soluzioni di questa equazione. Vedere Caso iperbolico .
Henri Darmon offrirà dollari canadesi a chiunque trovi una nuova soluzione per .
300(11p+1q+1r-1){\ displaystyle 300 \ left ({\ frac {1} {{\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}}}} - 1 \ giusto)}Xp+sìq=zr{\ stile di visualizzazione x ^ {p} + y ^ {q} = z ^ {r}}
La congettura di Beal
La congettura di Beal recita
Se , con e , tutti i numeri interi, hanno un fattore comune.Xp+sìq=zr{\ stile di visualizzazione x ^ {p} + y ^ {q} = z ^ {r}}X,sì,z≥1{\ displaystyle x, y, z \ geq 1}p,q,r≥3{\ displaystyle p, q, r \ geq 3}X,sì,z{\ stile di visualizzazione x, y, z}
In altre parole, la congettura di Beal è vera se e solo se tutte le soluzioni dell'equazione di Fermat generalizzata con uso almeno una volta come esponente.
(A,B,VS)=(1,1,-1){\ stile di visualizzazione (A, B, C) = (1,1, -1)}2{\ stile di visualizzazione 2}
Prende il nome da Andrew Beal , banchiere milionario americano e matematico dilettante, che lo formulò nel 1993 con l'obiettivo di generalizzare l'ultimo teorema di Fermat . Nel 1997 lo ha dotato di un premio in denaro in cambio di una prova o di un controesempio. Il premio, che ora ammonta a 1 milione di dollari, è detenuto dall'American Mathematical Society .
A volte viene anche chiamata congettura di Tijdeman e Zagier perché anche loro l'hanno formulata nel 1994. Se Andrew Beal probabilmente l'ha formulata indipendentemente, questioni molto simili sono già state discusse dai ricercatori del settore tanto che la sua esatta origine rimane incerta. . Alcuni autori lo fanno risalire a discussioni di Andrew Granville risalenti al 1985.
Relazioni con altre congetture
La congettura di Beal implica l'ultimo teorema di Fermat. Infatti, ad ogni soluzione di corrisponde una soluzione che si rispetti . Si ottiene dividendo per il loro massimo comun divisore.
(X,sì,z){\ stile di visualizzazione (x, y, z)}Xnon+sìnon=znon{\ stile di visualizzazione x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}(X',sì',z'){\ stile di visualizzazione (x ', y', z ')}pgvsd(X',sì',z')=1{\ displaystyle \ mathrm {pgcd} (x ', y', z ') = 1}X,sì,z{\ stile di visualizzazione x, y, z}
La congettura abc coinvolge la congettura di Fermat-catalano e coinvolge la congettura di Beal con un numero finito di eccezioni.
Revisione generale
Quando appare come un esponente, può sempre essere sostituito da per qualsiasi numero naturale poiché una potenza -esima è anche una potenza -esima . Questo spesso rende possibile trattare solo casi e .
non{\ stile di visualizzazione n}Knon{\ displaystyle kn}K{\ stile di visualizzazione k}Knon{\ displaystyle kn}non{\ stile di visualizzazione n}non primo{\ displaystyle n {\ testo {primo}}}non=4{\ stile di visualizzazione n = 4}
Se , la condizione è equivalente alla condizione perché qualsiasi divisore intero di due termini fra divide anche il terzo.
|A|=|B|=|VS|=1{\ displaystyle | A | = | B | = | C | = 1}pgvsd(X,sì,z)=1{\ displaystyle \ mathrm {pgcd} (x, y, z) = 1}pgvsd(X,sì)=1 o pgvsd(sì,z)=1 o pgvsd(z,X)=1{\ displaystyle \ mathrm {pgcd} (x, y) = 1 {\ text {o}} \ mathrm {pgcd} (y, z) = 1 {\ text {o}} \ mathrm {pgcd} (z, x ) = 1}X,sì,z{\ stile di visualizzazione x, y, z}
Se , allora
(A,B,VS)=(1,1,-1){\ stile di visualizzazione (A, B, C) = (1,1, -1)}
-
p{\ stile di visualizzazione p}e svolgono ruoli simmetrici e possono quindi essere scambiati.q{\ stile di visualizzazione q}
- Se è dispari, risolvere l'equazione della firma equivale a risolvere l' equazione della firma sostituendo con .q{\ stile di visualizzazione q}(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}(r,q,p){\ stile di visualizzazione (r, q, p)}sì{\ stile di visualizzazione y}-sì{\ displaystyle -y}
- Insieme, queste due osservazioni fanno sì che, se almeno due interi tra sono dispari, l'equazione della firma è equivalente a tutti quelli la cui firma è una permutazione di .p,q,r{\ stile di visualizzazione p, q, r}(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}
La condizione è lì per evitare che un'estremità dell'equazione scompaia. Nel caso in cui ci siano solo due termini, l'equazione è molto facile da risolvere.
Xsìz≠0{\ displaystyle xyz \ neq 0}
La condizione è spiegata dal fatto che si può facilmente ottenere in almeno due modi un'infinità di soluzioni poco interessanti:
pgvsd(X,sì,z)=1{\ displaystyle \ mathrm {pgcd} (x, y, z) = 1}
- se sono primi tra loro, allora esistono per il teorema cinese resti tali che a tutti tali che possiamo associare una soluzione dell'equazione di Fermat generalizzata (che si ottiene moltiplicando i due membri dell'uguaglianza per ).p,q,r{\ stile di visualizzazione p, q, r} (λa,λb,λvs){\ displaystyle (\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b}, \ lambda _ {c})}{p|λa+1,λb,λvsq|λa,λb+1,λvsr|λa,λb,λvs+1{\ displaystyle {\ begin {cases} p \ mid \ lambda _ {a} +1, \ lambda _ {b}, \ lambda _ {c} \ \ q \ mid \ lambda _ {a}, \ lambda _ { b} +1, \ lambda _ {c} \\ r \ mid \ lambda _ {a}, \ lambda _ {b}, \ lambda _ {c} +1 \\\ end {casi}}}a,b,vs{\ stile di visualizzazione a, b, c}Aa+Bb+VSvs=0{\ stile di visualizzazione Aa + Bb + Cc = 0}(X,sì,z)=(aλa+1pbλbpvsλvsp,aλaqbλb+1qvsλvsq,aλarbλbrvsλvs+1r){\ displaystyle (x, y, z) = \ left (a ^ {\ frac {\ lambda _ {a} +1} {p}} b ^ {\ frac {\ lambda _ {b}} {p}} c ^ {\ frac {\ lambda _ {c}} {p}}, a ^ {\ frac {\ lambda _ {a}} {q}} b ^ {\ frac {\ lambda _ {b} +1} {q}} c ^ {\ frac {\ lambda _ {c}} {q}}, a ^ {\ frac {\ lambda _ {a}} {r}} b ^ {\ frac {\ lambda _ {b }} {r}} c ^ {\ frac {\ lambda _ {c} +1} {r}} \ destra)}Aa+Bb+VSvs=0{\ stile di visualizzazione Aa + Bb + Cc = 0}aλabλbvsλvs{\ displaystyle a ^ {\ lambda _ {a}} b ^ {\ lambda _ {b}} c ^ {\ lambda _ {c}}}
- Ad ogni soluzione corrisponde un'infinità di soluzioni definite da .(X0,sì0,z0){\ stile di visualizzazione (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}(Xnon,sìnon,znon){\ displaystyle (x_ {n}, y_ {n}, z_ {n})}(Xnon+1,sìnon+1,znon+1)=(Xnonqr+1sìnonqrznonqr,Xnonrpsìnonrp+1znonrp,Xnonpqsìnonpqznonpq+1){\ displaystyle (x_ {n + 1}, y_ {n + 1}, z_ {n + 1}) = (x_ {n} ^ {qr + 1} y_ {n} ^ {qr} z_ {n} ^ {qr}, x_ {n} ^ {rp} y_ {n} ^ {rp + 1} z_ {n} ^ {rp}, x_ {n} ^ {pq} y_ {n} ^ {pq} z_ {n } ^ {pq + 1})}
Le tabelle dei risultati in questa pagina registrano solo soluzioni primitive non banali. Quando l'esponente è pari, i diversi segni vengono omessi. Useremo la notazione per indicare che tutte le permutazioni di sono considerate.
{p,q,r}{\ displaystyle \ {p, q, r \}}(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}
Custodia sferica
Frits Beukers ha mostrato che, a fissi, o non c'è soluzione, o ce n'è un numero infinito.
(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}
Se , abbiamo un numero finito di parametrizzazioni polinomiali a coefficienti interi con due variabili che generano tutte le soluzioni:
(A,B,VS)=(1,1,-1){\ stile di visualizzazione (A, B, C) = (1,1, -1)}
(p,q,r)={\ stile di visualizzazione (p, q, r) =}
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sottocaso
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datato
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autori
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note ( sono numeri interi diversi da zero primi tra loro)tu,v{\ displaystyle u, vb}
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(2,2,non){\ stile di visualizzazione (2,2, n)}
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non=2{\ stile di visualizzazione n = 2}
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Le soluzioni sono le triple pitagoriche :(X,sì,z)=(tu2-v2,2tuv,tu2+v2){\ displaystyle (x, y, z) = (u ^ {2} -v ^ {2}, 2uv, u ^ {2} + v ^ {2})}
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non{\ stile di visualizzazione n} qualunque
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Una parametrizzazione: . Vedi il teorema dei due quadrati di Fermat(X,sì,z)=(Re(tu+vio)non,iom(tu+vio)non,tu2+v2){\ displaystyle (x, y, z) = ({\ mathfrak {Re}} (u + vi) ^ {n}, {\ mathfrak {Im}} (u + vi) ^ {n}, u ^ {2 } + v ^ {2})}
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(2,non,2){\ stile di visualizzazione (2, n, 2)}
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Questo è un caso facile da risolvere
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{2,3,3}{\ stile di visualizzazione \ {2,3,3 \}}
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Louis Mordell |
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(2,3,4){\ stile di visualizzazione (2,3,4)}
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Don Zagier |
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(2,4,3){\ stile di visualizzazione (2,4,3)}
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4 parametrizzazioni polinomiali
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{2,3,5}{\ stile di visualizzazione \ {2,3,5 \}}
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2004
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Johnny Edwards |
27 parametrizzazioni polinomiali
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caso euclideo
Se , abbiamo i seguenti risultati
(A,B,VS)=(1,1,-1){\ stile di visualizzazione (A, B, C) = (1,1, -1)}
(p,q,r)={\ stile di visualizzazione (p, q, r) =}
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sottocaso
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datato
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autori
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Appunti
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{2,3,6}{\ stile di visualizzazione \ {2,3,6 \}}
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2014
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Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani |
Una soluzione, 16+23=32{\ stile di visualizzazione 1 ^ {6} + 2 ^ {3} = 3 ^ {2}}
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{2,4,4}{\ stile di visualizzazione \ {2,4,4 \}}
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(2,4,4){\ stile di visualizzazione (2,4,4)}
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~ 1640
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Pierre di Fermat
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Nessuna soluzione. Vedi il teorema di Fermat sui triangoli rettangoli
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(4,4,2){\ stile di visualizzazione (4,4,2)}
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1738
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Leonhard Eulero |
(3,3,3){\ stile di visualizzazione (3,3,3)}
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1760
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Nessuna soluzione. Segue dall'ultimo teorema di Fermat
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caso iperbolico
Il teorema di Darmon-Granville assicura che ci sia solo un numero finito di soluzioni dell'equazione da fissare se .
(p,q,r){\ stile di visualizzazione (p, q, r)}1p+1q+1r<1{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} <1}
Alain Kraus fornisce limiti superiori espliciti (dipendenti da ) sui numeri primi in modo tale che l'equazione abbia soluzioni primitive non banali.
A,B,VS{\ stile di visualizzazione A, B, C}non{\ stile di visualizzazione n}AXnon+Bsìnon+VSznon=0{\ displaystyle Ascia ^ {n} + Per ^ {n} + Cz ^ {n} = 0}
Quan Dong Nguyen Ngoc ha mostrato nel 2012, usando l' ostruzione Brauer-Manin (in) , che per qualsiasi , esiste una firma di curve di Fermat generalizzata infinita che viola il principio di Hasse ; cioè, c'è un'infinità di triple tali che l'equazione ha soluzioni in per qualsiasi numero primo ma nessuna soluzione in .
non≥2{\ displaystyle n \ geq 2}(12non,12non,12non){\ stile di visualizzazione (12n, 12n, 12n)}(A,B,VS){\ stile di visualizzazione (A, B, C)}AX12non+Bsì12non+VSz12non=0{\ displaystyle Ascia ^ {12n} + Per ^ {12n} + Cz ^ {12n} = 0}Z/pZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}p{\ stile di visualizzazione p}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
Astuccio (A,B,VS)=(1,1,-1){\ stile di visualizzazione (A, B, C) = (1,1, -1)}
Risultati parziali quando min(p,q,r)=2{\ displaystyle \ min (p, q, r) = 2}
Quando , l'equazione ammette sempre la cosiddetta soluzione catalana . Questo è sistematicamente omesso nella tabella sottostante.
(p,q,r)=(2,3,non) o (3,non,2){\ displaystyle (p, q, r) = (2,3, n) {\ text {o}} (3, n, 2)}1non+23=32{\ stile di visualizzazione 1 ^ {n} + 2 ^ {3} = 3 ^ {2}}
Casi trattati quando min(p,q,r)=2{\ displaystyle \ min (p, q, r) = 2}
(p,q,r)={\ stile di visualizzazione (p, q, r) =}
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sottocaso
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datato
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autori
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Appunti
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{2,3,non}{\ stile di visualizzazione \ {2,3, n \}}
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non=7{\ stile di visualizzazione n = 7}
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2005
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Bjorn Poonen , Edward Schaefer, Michael Stoll |
4 soluzioni non catalane
153122832+92623=1137{\ stile di visualizzazione 15312283 ^ {2} + 9262 ^ {3} = 113 ^ {7}}
22134592+14143=657{\ displaystyle 2213459 ^ {2} + 1414 ^ {3} = 65 ^ {7}}
173+27=712{\ stile di visualizzazione 17 ^ {3} + 2 ^ {7} = 71 ^ {2}}
762713+177=210639282{\ displaystyle 76271 ^ {3} + 17 ^ {7} = 21063928 ^ {2}}
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non=9{\ stile di visualizzazione n = 9}
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2003
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Nils Bruin |
Una soluzione non catalana, 132+73=29{\ stile di visualizzazione 13 ^ {2} + 7 ^ {3} = 2 ^ {9}}
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non=11{\ stile di visualizzazione n = 11}
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2017
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Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki, Michael Stoll |
Nessuna soluzione non catalana
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non=13{\ stile di visualizzazione n = 13}
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Parzialmente risolto
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non=15{\ stile di visualizzazione n = 15}
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2013
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Samir Siksek, Michael Stoll |
Nessuna soluzione non catalana
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3|non,non3≡1modalità8 primo{\ displaystyle 3 \ mid n, {\ frac {n} {3}} \ equiv 1 \ mod 8 {\ text {first}}}
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2013
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Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani |
(2,3,8){\ stile di visualizzazione (2,3,8)}
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2003
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Nils Bruin |
Una soluzione non catalana,
962223+438=300429072{\ displaystyle 96222 ^ {3} + 43 ^ {8} = 30042907 ^ {2}}
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(2,3,10){\ stile di visualizzazione (2,3,10)}
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2009
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David Brown |
Nessuna soluzione
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(2,4,non),non≥5{\ displaystyle (2,4, n), n \ geq 5}
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5≤non<211 primo{\ displaystyle 5 \ leq n <211 {\ text {first}}}
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2008
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Michael Bennett, Jordan Ellenberg , Nathan C. Ng |
2 soluzioni, e72+25=34{\ stile di visualizzazione 7 ^ {2} + 2 ^ {5} = 3 ^ {4}}114+35=1222{\ stile di visualizzazione 11 ^ {4} + 3 ^ {5} = 122 ^ {2}}
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non≥211 primo{\ displaystyle n \ geq 211 {\ text {first}}}
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2003
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Giordano Ellenberg |
Nessuna soluzione
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non=5,6{\ stile di visualizzazione n = 5.6} vedi sotto
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Nils Bruin
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{2,4,5}{\ stile di visualizzazione \ {2,4,5 \}}
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2003
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Nils Bruin |
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{2,4,6}{\ stile di visualizzazione \ {2,4,6 \}}
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1997
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Nils Bruin |
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(2,6,non),non≥3{\ displaystyle (2,6, n), n \ geq 3}
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2011
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Michael Bennett, Imin Chen |
Nessuna soluzione
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(2,2non,3),3≤non≤107{\ displaystyle (2,2n, 3), 3 \ leq n \ leq 10 ^ {7}}
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non=3{\ stile di visualizzazione n = 3} vedi sopra
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non=4{\ stile di visualizzazione n = 4}
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Una soluzione, 15490342+338=156133{\ stile di visualizzazione 1549034 ^ {2} + 33 ^ {8} = 15613 ^ {3}}
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non=31{\ stile di visualizzazione n = 31}
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2011
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Sander dahmen |
Nessuna soluzione
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non≡-1modalità6{\ displaystyle n \ equiv -1 \ mod 6}
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non≥8 pari,non2≡±2modalità5 o non2≡±2,±4modalità13{\ displaystyle n \ geq 8 {\ text {pair}}, {\ frac {n} {2}} \ equiv \ pm 2 \ mod 5 {\ text {o}} {\ frac {n} {2}} \ equiv \ pm 2, \ pm 4 \ mod 13}
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2014
|
Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani |
11≤non<107 primo,non≠31{\ displaystyle 11 \ leq n <10 ^ {7} {\ text {first}}, n \ neq 31}
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2007
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Imin Chen |
Nessuna soluzione.
Basta che rispetti una condizione semplice, verificata numericamente per piccoli valori
non{\ stile di visualizzazione n}
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(2,2non,5){\ stile di visualizzazione (2,2n, 5)}
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non≥29 primo,non≡1modalità4{\ displaystyle n \ geq 29 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4}
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2010
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Imin Chen |
Nessuna soluzione
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(2,2non,9),non≥2{\ displaystyle (2,2n, 9), n \ geq 2}
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2014
|
Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani |
(2,2non,10),non≥2{\ displaystyle (2,2n, 10), n \ geq 2}
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(2,2non,15){\ stile di visualizzazione (2,2n, 15)}
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(2,non,6),non≥3{\ displaystyle (2, n, 6), n \ geq 3}
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(4,2non,3),non≥2{\ stile di visualizzazione (4,2n, 3), n \ geq 2}
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|
(6,non,2),non≥3{\ stile di visualizzazione (6, n, 2), n \ geq 3}
|
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Nessuna soluzione non catalana
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(non,non,2),non≥5{\ displaystyle (n, n, 2), n \ geq 5}
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non=6{\ stile di visualizzazione n = 6}
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Leonhard Eulero
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Nessuna soluzione
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non=5,9{\ stile di visualizzazione n = 5.9}
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1998
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Bjorn Poonen |
non≥7 primo{\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}}
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1995
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Henri Darmon , Loïc Merel
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Risultati parziali quando p,q,r≥3{\ displaystyle p, q, r \ geq 3}
X=1{\ stile di visualizzazione x = 1}o è impossibile secondo la congettura catalana , dimostrata da Preda Mihăilescu nel 2002. è impossibile per ragioni simili. I seguenti risultati parziali sono rilevanti per stabilire la congettura di Beal. Se è vero, non esiste una soluzione non banale quando . L'inesistenza di soluzioni non viene quindi richiamata su ogni riga.
sì=1{\ stile di visualizzazione y = 1}z=1{\ stile di visualizzazione z = 1}p,q,r≥3{\ displaystyle p, q, r \ geq 3}
Casi trattati quando p,q,r≥3{\ displaystyle p, q, r \ geq 3}
(p,q,r)={\ stile di visualizzazione (p, q, r) =}
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sottocaso
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datato
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autori
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Appunti
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---|
(non,non,non),non≥4{\ displaystyle (n, n, n), n \ geq 4}
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non=5{\ stile di visualizzazione n = 5}
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1825
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Dirichlet
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1994
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Andrew Wiles
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Questo è l'ultimo teorema di Fermat
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(non,non,3),non≥4{\ stile di visualizzazione (n, n, 3), n \ geq 4}
|
non=4{\ stile di visualizzazione n = 4}
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1873
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Edward Lucas |
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non=5{\ stile di visualizzazione n = 5}
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1998
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Bjorn Poonen |
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non≥7{\ displaystyle n \ geq 7}
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1995
|
Henri Darmon , Loïc Merel
|
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{3,3,non},4≤non<109{\ displaystyle \ {3,3, n \}, 4 \ leq n <10 ^ {9}}
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non=4,5{\ stile di visualizzazione n = 4.5}
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2000
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Nils Bruin |
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non=7,11,13{\ stile di visualizzazione n = 7,11,13}
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Parzialmente risolto
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17≤non<104 primo{\ displaystyle 17 \ leq n <10 ^ {4} {\ text {first}}}
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1998
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Alain Kraus |
Basta che rispetti una condizione semplice, verificata numericamente per piccoli valori
non{\ stile di visualizzazione n} |
104<non<109 primo{\ displaystyle 10 ^ {4} <n <10 ^ {9} {\ text {first}}}
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2008
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Imin Chen, Samir Siksek |
Condizioni Kraus migliorate e verifica digitale
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non primo,non≡2modalità3{\ displaystyle n {\ text {first}}, n \ equiv 2 \ mod 3}
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2016
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Nuno freitas |
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non≥4 pari{\ displaystyle n \ geq 4 {\ text {coppia}}}
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2014
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Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani |
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altre condizioni modulo
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(4,2non,3),non≥2{\ stile di visualizzazione (4,2n, 3), n \ geq 2}
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(3,6,non),non≥3{\ displaystyle (3,6, n), n \ geq 3}
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{3,4,5}{\ stile di visualizzazione \ {3,4,5 \}}
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2011
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Samir Siksek, Michael Stoll |
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(4,4,non){\ stile di visualizzazione (4,4, n)} vedi sotto-caso
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non≥17 primo,non≢-1modalità8{\ displaystyle n \ geq 17 {\ text {first}}, n \ not \ equiv -1 \ mod 8}
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2003
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Luis Dieulefait |
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(4,non,4){\ stile di visualizzazione (4, n, 4)} vedi sotto-caso
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non≥11 primo,non≡1modalità4{\ displaystyle n \ geq 11 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4}
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1993
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Henri darmon |
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non≥11 primo,z pari{\ displaystyle n \ geq 11 {\ text {first}}, z {\ text {pair}}}
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{5,5,non}{\ stile di visualizzazione \ {5.5, n \}} vedi sotto-caso
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non=3{\ stile di visualizzazione n = 3}
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1998
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Bjorn Poonen |
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non≥7 primo,z pari{\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}, z {\ text {pair}}}
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2007
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Nicolas billerey |
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non=7{\ stile di visualizzazione n = 7}
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2013
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Sander Dahmen, Samir Siksek |
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non=19{\ stile di visualizzazione n = 19}
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non=11{\ stile di visualizzazione n = 11}
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Dimostrazione condizionale assumendo l' ipotesi di Riemann generalizzata
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non=13{\ stile di visualizzazione n = 13}
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{7,7,11}{\ stile di visualizzazione \ {7,7,11 \}}
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{5,7,7}{\ stile di visualizzazione \ {5,7,7 \}}
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(2l,2m,non){\ stile di visualizzazione (2l, 2m, n)} vedi sotto-caso
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non=3,l≥2,m≡3modalità4{\ displaystyle n = 3, l \ geq 2, m \ equiv 3 \ mod 4}
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2014
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Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani |
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non=5,l=m≥2{\ displaystyle n = 5, l = m \ geq 2}
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2006
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Michael Bennett |
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non∈{3,5,7,11},l,m≥5 primo{\ displaystyle n \ in \ {3,5,7,11 \}, l, m \ geq 5 {\ text {prime}}}
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2015
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Samuele Anni, Samir Siksek |
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non=13,l,m≥5 primo,l,m≠7{\ displaystyle n = 13, l, m \ geq 5 {\ text {primo}}, l, m \ neq 7}
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non=13,l,m≥5 primo{\ displaystyle n = 13, l, m \ geq 5 {\ text {first}}}
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2018
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Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas |
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(3l,3m,non),l,m≥2,non≥3{\ stile di visualizzazione (3l, 3m, n), l, m \ geq 2, n \ geq 3}
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1998
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Alain Kraus |
Kraus lo dimostra . Prendendo, abbiamo il risultato
a3+b3=znon⟹v2(ab)=1{\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = z ^ {n} \ implica v_ {2} (ab) = 1}(a,b,vs)=(Xl,sìm,z){\ stile di visualizzazione (a, b, c) = (x ^ {l}, y ^ {m}, z)} |
Ricerca digitale
Peter Norvig , direttore della ricerca di Google , ha annunciato di aver eliminato digitalmente tutte le possibili soluzioni con and così come e .
p,q,r≤7{\ displaystyle p, q, r \ leq 7}X,sì,z≤250.000{\ displaystyle x, y, z \ leq 250000}p,q,r≤100{\ displaystyle p, q, r \ leq 100}X,sì,z≤10.000{\ displaystyle x, y, z \ leq 10000}
Caso generale
Il caso -liscio è stato studiato da Lucas in molti casi speciali.
A,B,VS{\ stile di visualizzazione A, B, C} 3{\ stile di visualizzazione 3}
equazione
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sottocaso
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datato
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autori
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Appunti
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X2+sì2=2z2{\ stile di visualizzazione x ^ {2} + y ^ {2} = 2z ^ {2}}
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1877
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Edward Lucas |
Un'infinità di soluzioni. Vedere Custodia sferica .
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X2+2sì2=3z2{\ stile di visualizzazione x ^ {2} + 2y ^ {2} = 3z ^ {2}}
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X2+3sì6=znon{\ stile di visualizzazione x ^ {2} + 3y ^ {6} = z ^ {n}}
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non≥3{\ displaystyle n \ geq 3}
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2018
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Angelos Koutsianas |
Una soluzione, 472+3⋅26=74{\ displaystyle 47 ^ {2} +3 \ cdot 2 ^ {6} = 7 ^ {4}}
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X3+sì5=156z7{\ stile di visualizzazione x ^ {3} + y ^ {5} = 15 ^ {6} z ^ {7}}
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2008
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Sander dahmen |
Nessuna soluzione
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16X2+3sì3=z5{\ stile di visualizzazione 16x ^ {2} + 3y ^ {3} = z ^ {5}}
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16X2+9sì3=z5{\ stile di visualizzazione 16x ^ {2} + 9y ^ {3} = z ^ {5}}
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AX3+Bsì3=VSz3{\ displaystyle Ascia ^ {3} + Per ^ {3} = Cz ^ {3}}
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molti diversi casi speciali
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1951
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Ernst Selmer |
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AX2+sì4=znon{\ displaystyle Ax ^ {2} + y ^ {4} = z ^ {n}}
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24X4+sì4=z4{\ stile di visualizzazione 24x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {4}}
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2016
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Gustav Söderlund |
Prova elementare, nessuna soluzione no
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A=2,non=3{\ stile di visualizzazione A = 2, n = 3}
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Prova elementare, una soluzione, 2⋅54+34=113{\ displaystyle 2 \ cdot 5 ^ {4} + 3 ^ {4} = 11 ^ {3}}
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A=2,non≥4{\ displaystyle A = 2, n \ geq 4}
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2008
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Michael Bennett, Jordan Ellenberg , Nathan C. Ng |
Nessuna soluzione
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A=3,non≥137 primo{\ displaystyle A = 3, n \ geq 137 {\ text {first}}}
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2006
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Luis Dieulefait, Jorge Jiménez Urroz |
X2+3sì6=znon{\ stile di visualizzazione x ^ {2} + 3y ^ {6} = z ^ {n}}
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non≥3{\ displaystyle n \ geq 3}
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2018
|
Angelos Koutsianas |
Una soluzione, 472+3⋅26=74{\ displaystyle 47 ^ {2} +3 \ cdot 2 ^ {6} = 7 ^ {4}}
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X4+Bsìnon=z4{\ displaystyle x ^ {4} + Per ^ {n} = z ^ {4}}
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B=2α,non≥5 primo,α≥1{\ displaystyle B = 2 ^ {\ alpha}, n \ geq 5 {\ text {first}}, \ alpha \ geq 1}
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2006
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Andrzej Dąbrowski |
Nessuna soluzione
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B=2αqβ,non>(8q+8+1)2q-2 primo,q nessuna forma 2m±1 primo,β≥1{\ displaystyle B = 2 ^ {\ alpha} q ^ {\ beta}, n> \ left ({\ sqrt {8q + 8}} + 1 \ right) ^ {2q-2} {\ text {first}} , q {\ text {non della forma}} 2 ^ {m} \ pm 1 {\ text {primo}}, \ beta \ geq 1}
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Xr+sìr=VSzp{\ stile di visualizzazione x ^ {r} + y ^ {r} = Cz ^ {p}}
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r≥5,p≥3{\ displaystyle r \ geq 5, p \ geq 3}
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2002
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Alain Kraus |
C'è solo un numero finito di dare soluzioni
VS{\ stile di visualizzazione C} |
X4+sì4=VSznon{\ stile di visualizzazione x ^ {4} + y ^ {4} = Cz ^ {n}}
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VS∈{73,89,113},non≥17 primo{\ displaystyle C \ in \ {73,89,113 \}, n \ geq 17 {\ text {first}}}
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2005
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Luis Dieulefait |
Nessuna soluzione
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X5+sì5=VSznon{\ stile di visualizzazione x ^ {5} + y ^ {5} = Cz ^ {n}}
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non≥7 primo,VS=2α⋅5β,2≤α≤4,0≤β≤4{\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}, C = 2 ^ {\ alpha} \ cdot 5 ^ {\ beta}, 2 \ leq \ alpha \ leq 4.0 \ leq \ beta \ leq 4}
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2007
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Nicolas billerey |
Nessuna soluzione
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alcuni altri casi speciali quando è -liscioVS{\ stile di visualizzazione C}5{\ stile di visualizzazione 5}
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non≥17 primo,non≡1modalità4 o non≡±1modalità5,VS=2γ,∀q≡1modalità5 primo,q∤γ{\ displaystyle n \ geq 17 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4 {\ text {o}} n \ equiv \ pm 1 \ mod 5, C = 2 \ gamma, \ forall q \ equiv 1 \ mod 5 {\ text {first}}, q \ nmid \ gamma}
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2011
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Luis Dieulefait, Nuno Freitas |
non≥89 primo,non≡1modalità4 o non≡±1modalità5,VS=3γ,∀q≡1modalità5 primo,q∤γ{\ displaystyle n \ geq 89 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4 {\ text {o}} n \ equiv \ pm 1 \ mod 5, C = 3 \ gamma, \ forall q \ equiv 1 \ mod 5 {\ text {first}}, q \ nmid \ gamma}
|
VS∈{1,2},non primo,pgvsd(vs,10non)>1{\ displaystyle C \ in \ {1,2 \}, n {\ text {first}}, \ mathrm {pgcd} (c, 10n)> 1}
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2017
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Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait, Nuno Freitas |
Una soluzione, 15+15=2⋅1non{\ displaystyle 1 ^ {5} + 1 ^ {5} = 2 \ cdot 1 ^ {n}}
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VS=3,non≥2{\ stile di visualizzazione C = 3, n \ geq 2}
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Nessuna soluzione
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X7+sì7=VSznon{\ stile di visualizzazione x ^ {7} + y ^ {7} = Cz ^ {n}}
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non>(318+1)2 primo{\ displaystyle n> (3 ^ {18} +1) ^ {2} {\ text {first}}}
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2012
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Nuno freitas |
Nessuna soluzione
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X14+sì14=VSznon{\ stile di visualizzazione x ^ {14} + y ^ {14} = Cz ^ {n}}
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non≥17 primo,VS=2α23α35α5γ,α2≥1 o α3≥1 o α5≥2,7∤γ,∀q≡1modalità7 primo,q∤γ{\ displaystyle n \ geq 17 {\ text {first}}, C = 2 ^ {\ alpha _ {2}} 3 ^ {\ alpha _ {3}} 5 ^ {\ alpha _ {5}} \ gamma, \ alpha _ {2} \ geq 1 {\ text {o}} \ alpha _ {3} \ geq 1 {\ text {o}} \ alpha _ {5} \ geq 2,7 \ nmid \ gamma, \ forall q \ equiv 1 \ mod 7 {\ text {first}}, q \ nmid \ gamma}
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|
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Nessuna soluzione
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X13+sì13=VSznon{\ stile di visualizzazione x ^ {13} + y ^ {13} = Cz ^ {n}}
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VS=3,non≥2{\ stile di visualizzazione C = 3, n \ geq 2}
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2018
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Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas |
Nessuna soluzione
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non primo,non∉{2,3,5,7,11,13,19,23,29,71},VS=dγ,d∈{3,5,7,11},13∤z,∀q≡1modalità13 primo,q∤γ{\ displaystyle n {\ text {first}}, n \ notin \ {2,3,5,7,11,13,19,23,29,71 \}, C = d \ gamma, d \ in \ { 3,5,7,11 \}, 13 \ nmid z, \ forall q \ equiv 1 \ mod 13 {\ text {first}}, q \ nmid \ gamma}
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2013
|
Nuno Freitas, Samir Siksek |
Nessuna soluzione
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X26+sì26=VSznon{\ stile di visualizzazione x ^ {26} + y ^ {26} = Cz ^ {n}}
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non primo,non∉{2,3,5,7,11,13,19,23,29,71},VS=10γ,∀q≡1modalità13 primo,q∤γ{\ displaystyle n {\ text {first}}, n \ notin \ {2,3,5,7,11,13,19,23,29,71 \}, C = 10 \ gamma, \ forall q \ equiv 1 \ mod 13 {\ text {first}}, q \ nmid \ gamma}
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Xnon+2αsìnon=VSz2{\ displaystyle x ^ {n} +2 ^ {\ alpha} y ^ {n} = Cz ^ {2}}
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non≥7 primo,VS=1,2≤α≤p-2{\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}, C = 1,2 \ leq \ alpha \ leq p-2}
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2000
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Wilfrid Ivorra |
2 soluzioni ,
1non+23⋅1non=32{\ displaystyle 1 ^ {n} + 2 ^ {3} \ cdot 1 ^ {n} = 3 ^ {2}} 2non+2non-3⋅1non=(3⋅2non-32)2{\ displaystyle 2 ^ {n} + 2 ^ {n-3} \ cdot 1 ^ {n} = \ sinistra (3 \ cdot 2 ^ {\ frac {n-3} {2}} \ destra) ^ {2 }}
|
non≥5 primo,VS=2,α≤p-1{\ displaystyle n \ geq 5 {\ text {first}}, C = 2, \ alpha \ leq p-1}
|
Una soluzione, 1non+20⋅1non=2⋅1non{\ displaystyle 1 ^ {n} + 2 ^ {0} \ cdot 1 ^ {n} = 2 \ cdot 1 ^ {n}}
|
non≥7 primo,non≥VS,α≥α0,(VS,α0)∈{(1,2),(3,2),(5,6),(7,4),(13,2),(15,6),(17,6)}{\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}, n \ geq C, \ alpha \ geq \ alpha _ {0}, (C, \ alpha _ {0}) \ in \ {(1,2) , (3.2), (5.6), (7.4), (13.2), (15.6), (17.6) \}}
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2002
|
Michael Bennett, Chris M. Skinner |
Nessuna soluzione
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non≥11 primo,α≥2,(α,non)≠(3,13){\ displaystyle n \ geq 11 {\ text {first}}, \ alpha \ geq 2, (\ alpha, n) \ neq (3,13)}
|
Xnon+sìnon=VSz2{\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = Cz ^ {2}}
|
VS∈{1,2,3,5,6,10,11,13},non≥4{\ displaystyle C \ in \ {1,2,3,5,6,10,11,13 \}, n \ geq 4}
|
3 soluzioni ,
12+12=2⋅12{\ displaystyle 1 ^ {2} + 1 ^ {2} = 2 \ cdot 1 ^ {2}} 35+(-1)5=2⋅112{\ displaystyle 3 ^ {5} + (- 1) ^ {5} = 2 \ cdot 11 ^ {2}},
35+25=11⋅52{\ displaystyle 3 ^ {5} + 2 ^ {5} = 11 \ cdot 5 ^ {2}}
|
VS=17,non≥5{\ displaystyle C = 17, n \ geq 5}
|
Nessuna soluzione
|
VS=2αM,non>M132M2 primo,α≥1,M quadratfrei ,3∤M,7∤M{\ displaystyle C = 2 ^ {\ alpha} M, n> M ^ {132M ^ {2}} {\ text {first}}, \ alpha \ geq 1, M {\ text {quadratfrei}}, 3 \ nmid M, 7 \ nmid M}
|
2009
|
Andrzej Dąbrowski |
Xnon+sìnon=pαz3{\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = p ^ {\ alpha} z ^ {3}}
|
non,p primo,non>p4p2{\ displaystyle n, p {\ text {primo}}, n> p ^ {4 p ^ {2}}}
|
2000
|
Michael Bennett, Vinayak Vatsal, Soroosh Yazdani |
Nessuna soluzione
|
Xnon+pαsìnon=3βz3{\ displaystyle x ^ {n} + p ^ {\ alpha} y ^ {n} = 3 ^ {\ beta} z ^ {3}}
|
non,p primo,β=0,p≠5 nessuna forma S3±3t,t≠1{\ displaystyle n, p {\ text {prime}}, \ beta = 0, p \ neq 5 {\ text {non della forma}} s ^ {3} \ pm 3 ^ {t}, t \ neq 1 }
|
non,p primo,non>p2p,β=0,p nessuna forma S3±3t,t≠1{\ displaystyle n, p {\ text {prime}}, n> p ^ {2p}, \ beta = 0, p {\ text {non della forma}} s ^ {3} \ pm 3 ^ {t} , t \ neq 1}
|
non,p primo,α,β≥1,p≠5 non forme 3S2±1,9S2±1{\ displaystyle n, p {\ text {prime}}, \ alpha, \ beta \ geq 1, p \ neq 5 {\ text {nessuna forma}} 3s ^ {2} \ pm 1,9s ^ {2} \ pomeriggio 1}
|
Xnon+Lαsìnon+znon=0{\ displaystyle x ^ {n} + L ^ {\ alpha} y ^ {n} + z ^ {n} = 0}
|
L∈{3,5,7,11,13,17,19,23,29,53,59},α≥1,non≥11 primo,non≠L{\ displaystyle L \ in \ {3,5,7,11,13,17,19,23,29,53,59 \}, \ alpha \ geq 1, n \ geq 11 {\ text {first}}, n \ neq L}
|
1996
|
Alain Kraus |
Nessuna soluzione
|
L=2,3≤non≤29 primo{\ displaystyle L = 2,3 \ leq n \ leq 29 {\ text {first}}}
|
|
Pierre Denes
|
Una soluzione, 1non+2⋅(-1)non+1non=0{\ displaystyle 1 ^ {n} +2 \ cdot (-1) ^ {n} + 1 ^ {n} = 0}
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L=2,non≥17 primo,non≡1modalità4{\ displaystyle L = 2, n \ geq 17 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4}
|
1995
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Kenneth Ribet |
L=2,non≡3modalità4 primo{\ displaystyle L = 2, n \ equiv 3 \ mod 4 {\ text {first}}}
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Parzialmente risolto
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AXnon+Bsìnon=VSznon{\ displaystyle Ascia ^ {n} + Per ^ {n} = Cz ^ {n}}
|
A,B,VS dispari e primo{\ displaystyle A, B, C {\ text {dispari e primi tra loro}}}
|
2002
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Emmanuel Halberstadt, Alain Kraus |
Esiste un insieme di numeri primi di densità strettamente positiva tale che non c'è soluzione per tutto .
P{\ stile di visualizzazione P}non∈P{\ displaystyle n \ in P} |
generalizzazioni
La congettura di Beal è falsa se la estendiamo agli interi gaussiani . Dopo che un premio di $ 50 è stato messo in gioco per una prova o un controesempio, Fred W. Helenius ha proposto .
(-2+io)3+(-2-io)3=(1+io)4{\ stile di visualizzazione (-2 + i) ^ {3} + (- 2-i) ^ {3} = (1 + i) ^ {4}}
L'ultimo teorema di Fermat è ancora valido in alcuni anelli. Diciamo che l'ultimo teorema asintotico di Fermat è vero nel campo (o nel suo anello di interi , è equivalente) se
K{\ stile di visualizzazione K}ohK{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}
Esiste una costante tale che, per ogni primo (in ), l'equazione non ha soluzione con .BK{\ stile di visualizzazione B_ {K}}non≥BK{\ displaystyle n \ geq B_ {K}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}anon+bnon+vsnon=0{\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} + c ^ {n} = 0}a,b,vs∈K∖{0}{\ displaystyle a, b, c \ in K \ setminus \ {0 \}}
Di seguito, due soluzioni si dicono equivalenti se esiste tale che :
(X,sì,z),(X',sì',z'){\ displaystyle (x, y, z), (x ', y', z ')}λ∈K{\ displaystyle \ lambda \ in K}(X',sì',z')=(λX,λsì,λz){\ displaystyle (x ', y', z ') = (\ lambda x, \ lambda y, \ lambda z)}
equazione
|
corpo K{\ stile di visualizzazione K}
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sottocaso
|
datato
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autori
|
risultati / note
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---|
Xnon+sìnon+znon=0{\ stile di visualizzazione x ^ {n} + y ^ {n} + z ^ {n} = 0}
|
Q(d){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}
|
d>0{\ stile di visualizzazione d> 0}
|
2013
|
Nuno Freitas, Samir Siksek |
FLT asintotico stabilito per un insieme di densità tra interi quadratfrei.
d{\ stile di visualizzazione d}56{\ displaystyle {\ frac {5} {6}}} (migliorabile ad una densità di assumere una generalizzazione della congettura di Eichler-Shimura)
1{\ stile di visualizzazione 1}
|
d<0,d≡2,3modalità4{\ displaystyle d <0, d \ equiv 2,3 \ mod 4}
|
2016
|
Mehmet Şengün, Samir Siksek |
FLT asintotico determinato assumendo una variante della congettura di modularità di Serre (en)
(vedi Programma Langlands )
|
non=3{\ stile di visualizzazione n = 3}
|
|
Paulo Ribenboim
|
Se esiste una soluzione non banale, ce ne sono un'infinità (non equivalenti tra loro)
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|
Alessandro Aigner
|
Qualsiasi soluzione è equivalente a una soluzione della forma (a+bd)3+(a-bd)3=vs3{\ displaystyle (a + b {\ sqrt {d}}) ^ {3} + (ab {\ sqrt {d}}) ^ {3} = c ^ {3}}
|
|
Alexander Aigner, Fueter
|
Ci sono soluzioni non banali in se e solo se ci sono inQ(d){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}Q(-3d){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-3d}})}
|
Q(3){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {3}})}
|
2003
|
Frazer Jarvis, Paul Meekin |
Nessuna soluzione
|
Q(2){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}
|
C'è un'infinità di soluzioni generate dalla soluzione (18+172)3+(18-172)3=423{\ displaystyle (18 + 17 {\ sqrt {2}}) ^ {3} + (18-17 {\ sqrt {2}}) ^ {3} = 42 ^ {3}}
|
non≥4{\ displaystyle n \ geq 4}
|
Nessuna soluzione
|
Q(-3){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-3}})}
|
|
|
|
Per ogni intero non divisibile per , (questo corrisponde a dove è la terza radice primitiva di unity )non{\ stile di visualizzazione n}3{\ stile di visualizzazione 3}2non+(-1+-3)non+(-1--3)non=0{\ displaystyle 2 ^ {n} + (- 1 + {\ sqrt {-3}}) ^ {n} + (- 1 - {\ sqrt {-3}}) ^ {n} = 0}ω2+ω+1=0{\ displaystyle \ omega ^ {2} + \ omega + 1 = 0}ω{\ displaystyle \ omega} |
Xnon+sìnon=znon{\ stile di visualizzazione x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}
|
Q(io){\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}
|
non=5,7,11{\ stile di visualizzazione n = 5,7,11}
|
1978
|
Benedict Gross , David Rohrlich |
Nessuna soluzione
|
Q(-2){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}})}
|
Q(-7){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-7}})}
|
Q(io){\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}
|
non=13{\ stile di visualizzazione n = 13}
|
2004
|
Pavlos Tzermias |
Q(-2){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}})}
|
Q(-7){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-7}})}
|
Q(io){\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}
|
non=17{\ stile di visualizzazione n = 17}
|
1982
|
Fred Hao, Charles Parry |
Q(-2){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}})}
|
Q(io){\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}
|
non=3 o non≥19 primo{\ displaystyle n = 3 {\ text {o}} n \ geq 19 {\ text {first}}}
|
2017
|
George Ţurcaş |
Qualsiasi soluzione che presuppone una variante della congettura di modularità Serre (en)
(vedi Programma Langlands )
|
Q(-2){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}})}
|
non≥19 primo{\ displaystyle n \ geq 19 {\ text {first}}}
|
Q(-7){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-7}})}
|
non≥17 primo{\ displaystyle n \ geq 17 {\ text {first}}}
|
Q(17){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {17}})}
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non≥5 primo,non≡3,5modalità8,{\ displaystyle n \ geq 5 {\ text {first}}, n \ equiv 3,5 \ mod 8,}
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2015
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Nuno Freitas, Samir Siksek |
Nessuna soluzione
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Q(d){\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}
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3≤d≤23,d≠5,17 e quadratfrei,non≥4{\ displaystyle 3 \ leq d \ leq 23, d \ neq 5,17 {\ text {e quadratfrei}}, n \ geq 4}
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d<0,non=4,6,9{\ stile di visualizzazione d <0, n = 4,6,9}
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1934
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Alessandro Aigner |
Nessuna soluzione a meno che :(non,d)=(4,-7){\ stile di visualizzazione (n, d) = (4, -7)}(1+-7)4+(1--7)4=24{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-7}}) ^ {4} + (1 - {\ sqrt {-7}}) ^ {4} = 2 ^ {4}}
|
Xnon+sìnon+qrznon=0{\ stile di visualizzazione x ^ {n} + y ^ {n} + q ^ {r} z ^ {n} = 0}
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d≥13 quadratfrei,q≥29 primo,(dq)=-1,d≡q≡5modalità8{\ displaystyle d \ geq 13 {\ text {quadratfrei}}, q \ geq 29 {\ text {first}}, \ left ({\ frac {d} {q}} \ right) = - 1, d \ equiv q \ equiv 5 \ mod 8}
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2015
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Heline Deconinck |
BK{\ stile di visualizzazione B_ {K}}esiste assumendo che la congettura di Eichler-Shimura rispetti
K{\ stile di visualizzazione K} |
Notare anche le generalizzazioni agli esponenti algebrici fornite da John Zuehlke mediante dimostrazioni molto semplici che utilizzano solo il teorema di Gelfond-Schneider :
Se e sono tali che , allora e ;A,B,VS,a,b,vs,X,sì,z∈Z≠0{\ displaystyle A, B, C, a, b, c, x, y, z \ in \ mathbb {Z} _ {\ neq 0}}α,β,γ∈Q¯∩R≠0{\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma \ in {\ bar {\ mathbb {Q}}} \ cap \ mathbb {R} _ {\ neq 0}}AXa+ioα+Bsìb+ioβ=VSzvs+ioγ{\ displaystyle Ax ^ {a + i \ alpha} + By ^ {b + i \ beta} = Cz ^ {c + i \ gamma}}Xα=sìβ=zγ{\ displaystyle x ^ {\ alpha} = y ^ {\ beta} = z ^ {\ gamma}}AXa+Bsìb=VSzvs{\ displaystyle Ascia ^ {a} + Per ^ {b} = Cz ^ {c}}
e il corollario
L'equazione non ha soluzioni con e .Xa+iob+sìa+iob=za+iob{\ displaystyle x ^ {a + ib} + y ^ {a + ib} = z ^ {a + ib}}a,X,sì,z∈Z≠0{\ displaystyle a, x, y, z \ in \ mathbb {Z} _ {\ neq 0}}b∈Q¯∩R≠0{\ displaystyle b \ in {\ bar {\ mathbb {Q}}} \ cap \ mathbb {R} _ {\ neq 0}}
Note e riferimenti
Appunti
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L'articolo di Lucas non si occupa esplicitamente di questo caso, ma la sezione 5.2 della Fonte 2 mostra che si tratta di esso.
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Il testo su arXiv non è aggiornato. Le condizioni su n sono meno restrittive nell'articolo pubblicato.
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