Equazione di Cole-Cole

L' equazione di Cole-Cole è un modello di rilassamento che viene spesso utilizzato per descrivere il rilassamento dielettrico dei polimeri .

Esso è dato da

ε∗(ω)=ε∞+εS-ε∞1+(ioωτ)1-α{\ displaystyle \ varepsilon ^ {*} (\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}} {1+ (i \ omega \ tau ) ^ {1- \ alpha}}}}

dove è la costante dielettrica complessa (o permettività relativa), e sono le costanti dielettriche "statica" e "frequenza infinita", è la frequenza angolare ed è un tempo caratteristico. ε∗{\ displaystyle \ varepsilon ^ {*}}εS{\ displaystyle \ varepsilon _ {s}}ε∞{\ displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}ω{\ displaystyle \ omega}τ{\ displaystyle \ tau}

Il parametro , che assume un valore compreso tra 0 e 1, viene utilizzato per descrivere diverse forme spettrali. Quando , il modello Cole-Cole viene ridotto al modello Debye . Quando , il rilassamento è allungato , vale a dire, abbraccia una gamma più ampia del rilassamento di Debye. α{\ displaystyle \ alpha}α=0{\ displaystyle \ alpha = 0}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}

La separazione della costante dielettrica complessa è stata fornita nell'articolo originale di Cole e Cole come segue: ε(ω){\ displaystyle \ varepsilon (\ omega)}

ε′=ε∞+(εS-ε∞)1+(ωτ)1-αpeccato⁡απ/21+2(ωτ)1-αpeccato⁡απ/2+(ωτ)2(1-α){\ displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + (\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ frac {1 + (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ {2 (1- \ alpha) }}}}ε″=(εS-ε∞)(ωτ)1-αcos⁡απ/21+2(ωτ)1-αpeccato⁡απ/2+(ωτ)2(1-α){\ displaystyle \ varepsilon '' = {\ frac {(\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ cos \ alpha \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ {2 (1- \ alpha)}}}}

Queste ultime espressioni sono tradotte, dopo l'introduzione delle funzioni iperboliche , da

ε′=ε∞+12(ε0-ε∞)[1-sinh⁡((1-α)X)cosh⁡((1-α)X)+cos⁡απ/2]{\ displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) \ left [1 - {\ frac { \ sinh ((1- \ alpha) x)} {\ cosh ((1- \ alpha) x) + \ cos \ alpha \ pi / 2}} \ right]}ε″=12(ε0-ε∞)cos⁡απ/2cosh⁡((1-α)X)+peccato⁡απ/2{\ displaystyle \ varepsilon '' = {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ frac {\ cos \ alpha \ pi / 2} {\ cosh ((1- \ alpha) x) + \ sin \ alpha \ pi / 2}}}

Dove . X=ln⁡(ωτ){\ displaystyle x = \ ln (\ omega \ tau)}

Troviamo le espressioni di Debye quando . α=0{\ displaystyle \ alpha = 0}

Il rilassamento di Cole-Cole costituisce un caso speciale di rilassamento di Havriliak-Negami quando il parametro di simmetria ( β ) è uguale a 1, cioè quando i picchi di rilassamento sono simmetrici. Un altro caso speciale di rilassamento di Havriliak-Negami ( β <1, α = 1 ) è noto come "  rilassamento di Cole-Davidson  ".

Riferimenti

• (fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Cole - Cole equation  " ( vedi elenco degli autori ) .

1. Kenneth S. Cole e Robert H. Cole , "  Dispersion and Absorption in Dielectrics: I - Alternating Current Characteristics  ", Journal of Chemical Physics , vol.  9, n o  4,1941, p.  341–351 ( DOI  10.1063 / 1.1750906 , codice  bib 1941JChPh ... 9..341C )

• KS Cole e RH Cole , "  Dispersione e assorbimento nei dielettrici - I Caratteristiche della corrente alternata  ", J. Chem. Phys. , vol.  9, n o  4,1941, p.  341–352 ( DOI  10.1063 / 1.1750906 , codice  bib 1941JChPh ... 9..341C )
• KS Cole e RH Cole , "  Dispersion and Absorption in Dielectrics - II Direct Current Characteristics  ", Journal of Chemical Physics , vol.  10, n o  21942, p.  98-105 ( DOI  10.1063 / 1.1723677 , codice  bib 1942JChPh..10 ... 98C )
• YP Kalmykov , WT Coffey , DSF Crothers e SV Titov , "  Microscopic Models for Dielectric Relaxation in Disordered Systems  ", Physical Review E , vol.  70, n o  4,2004, p.  041103 ( PMID  15600393 , DOI  10.1103 / PhysRevE.70.041103 , Bibcode  2004PhRvE..70d1103K )

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