Trasversalità
In algebra lineare e geometria differenziale , la proprietà di trasversalità è una qualificazione per l' intersezione di sottospazi o sottovarieta. In un certo senso è l'opposto della nozione di tangenza .
Due sottospazi , di uno spazio vettoriale sono chiamati trasversali quando . Questa condizione può essere riscritta, se necessario, in termini di codimensione :
F{\ displaystyle F}G{\ displaystyle G} E{\ displaystyle E}F+G=E{\ displaystyle F + G = E}
codim(F)+codim(G)=codim(F∩G){\ Displaystyle \ operatorname {codim} (F) + \ operatorname {codim} (G) = \ operatorname {codim} (F \ cap G)}.
Due sottospazi affini , uno spazio affine sono chiamati trasversali se le loro direzioni sono trasversali , cioè se
Y{\ displaystyle Y}Z{\ displaystyle Z} X{\ displaystyle X}
Y→+Z→=X→{\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} + {\ overrightarrow {Z}} = {\ overrightarrow {X}}}.
Due sottovarietà e di una varietà differenziale si dicono trasversali quando, per qualsiasi punto degli spazi tangenti e sono trasversali nello spazio tangente , cioè se
M{\ displaystyle M}NON{\ displaystyle N} P{\ displaystyle P}X{\ displaystyle x}M∩NON{\ displaystyle M \ cap N}TXM{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} M}TXNON{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} N}TXP{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} P}
TXP=TXM+TXNON{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} P = T_ {x} M + T_ {x} N}
Di seguito, designare le rispettive dimensioni di .
m,non,p{\ displaystyle m, n, p}M,NON,P{\ displaystyle M, N, P}
Appunti:
- La definizione resta valida per le varietà banachiche.
- Due sottovarietà disgiunte sono trasversali.
- Se , allora la condizione di trasversalità può essere verificata solo se le sottovarietà e sono disgiunte.m+non<p{\ displaystyle m + n <p}M{\ displaystyle M}NON{\ displaystyle N}
Teorema - Un'intersezione trasversale e non vuota è una sottovarietà differenziale di dimensione .
M∩NON{\ displaystyle M \ cap N}m+non-p{\ displaystyle m + np}
Abbiamo quindi in questo caso le relazioni
Sole(M∩NON)=Sole(M)+Sole(NON)-Sole(P).{\ Displaystyle \ operatorname {dim} (M \ cap N) = \ operatorname {dim} (M) + \ operatorname {dim} (N) - \ operatorname {dim} (P).}
codim(M∩NON)=codim(M)+codim(NON).{\ Displaystyle \ operatorname {codim} (M \ cap N) = \ operatorname {codim} (M) + \ operatorname {codim} (N).}
Ad esempio, due superfici regolari di uno spazio tridimensionale sono trasversali se e solo se non hanno punto di tangenza. In questo caso, la loro intersezione forma una curva regolare (possibilmente vuota).
Numero di intersezioni
Generosità
Teorema - Se e sono due sottovarietà di classe ( ) di rispettive dimensioni e , allora c'è un -diffeomorfismo di , il più vicino all'identità come desiderato nella topologia , come intersecarsi trasversalmente .
M{\ displaystyle M}NON{\ displaystyle N}VSK{\ displaystyle C ^ {k}}K≥1{\ displaystyle \ scriptstyle k \ geq 1}m{\ displaystyle m}non{\ displaystyle n}VSK{\ displaystyle C ^ {k}}h{\ displaystyle h}P{\ displaystyle P}VSK{\ displaystyle C ^ {k}}h(M){\ displaystyle h (M)}NON{\ displaystyle N}
In generale, due sottovarietà si intersecano trasversalmente, anche se ciò significa disturbarne una per isotopia .
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