Il toro di Clifford
In matematica , e più specificamente in geometria , il toro di Clifford, dal nome di William Kingdon Clifford , è l' incorporamento più semplice e simmetrico del 2-toro (cioè il prodotto cartesiano di due cerchi) nello spazio R 4 .
Proiettato nello spazio tridimensionale (ad esempio in proiezione stereografica ) mantiene la sua topologia (e può persino identificarsi con il toro ordinario), ma è impossibile mantenere la sua assenza di curvatura .
Prendendo il raggio per entrambi i cerchi , il toro di Clifford può essere identificato con un sottoinsieme dell'unità 3-sfera ; può anche essere rappresentato nel piano C 2 come l'insieme di punti le cui due coordinate sono di modulo 1.
1/2{\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {1/2}}}
Il toro di Clifford si ottiene (come varietà riemaniana ) identificando i bordi opposti di un quadrato; la geometria corrispondente è quindi euclidea .
Definizioni
prodotto cartesiano
Il cerchio unitario S 1 in R 2 può essere parametrizzato da . Un'altra copia essendo parametrizzata da un angolo indipendente , definiamo il toro di Clifford come prodotto cartesiano
, dove il fattore assicura che tutti i punti siano nell'unità 3-sfera S 3 .
S1={(cosθ,peccatoθ)∣0≤θ<2π}{\ displaystyle S ^ {1} = \ {(\ cos \ theta, \ sin \ theta) \ mid 0 \ leq \ theta <2 \ pi \}}S1={(cosφ,peccatoφ)∣0≤φ<2π}{\ displaystyle S ^ {1} = \ {(\ cos \ varphi, \ sin \ varphi) \ mid 0 \ leq \ varphi <2 \ pi \}}12S1×12S1={12(cosθ,peccatoθ,cosφ,peccatoφ)|0≤θ<2π,0≤φ<2π}{\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} S ^ {1} \ times {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} S ^ {1} = \ left \ {\ left . {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (\ cos \ theta, \ sin \ theta, \ cos \ varphi, \ sin \ varphi) \; \ right | \; 0 \ leq \ theta <2 \ pi, 0 \ leq \ varphi <2 \ pi \ right \}}12{\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}}}
Costruzione da numeri complessi
Nel piano complesso C , il cerchio unitario può essere rappresentato da ; il toro di Clifford è quindi identificato con il sottoinsieme di C 2 ; in altre parole, sono i punti di C 2 di cui verificano le coordinate ( z 1 , z 2 ) .
S1={eioθ∣0≤θ<2π}{\ displaystyle S ^ {1} = \ {e ^ {i \ theta} \ mid 0 \ leq \ theta <2 \ pi \}}{12(eioθ,eioφ)|0≤θ<2π,0≤φ<2π}{\ displaystyle \ {{\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (e ^ {i \ theta}, e ^ {i \ varphi}) \, | \, 0 \ leq \ theta <2 \ pi , 0 \ leq \ varphi <2 \ pi \}}|z1|2=|z2|2=1/2{\ displaystyle \ left | z_ {1} \ right | ^ {2} = \ left | z_ {2} \ right | ^ {2} = 1/2}
Altre impostazioni
Il toro di Clifford può anche essere parametrizzato utilizzando le coordinate di Hopf : qualsiasi punto della 3-sfera è scritto , il toro corrisponde e divide la 3-sfera in due regioni isomorfe con il toro pieno : e , e trasformate l'una nell'altra da centrale simmetria .
(cosλcosθ,cosλpeccatoθ,peccatoλcosφ,peccatoλpeccatoφ){\ Displaystyle (\ cos \ lambda \ cos \ theta, \ cos \ lambda \ sin \ theta, \ sin \ lambda \ cos \ varphi, \ sin \ lambda \ sin \ varphi)}λ=π/4{\ displaystyle \ lambda = \ pi / 4}π/4<λ<5π/4{\ displaystyle \ pi / 4 <\ lambda <5 \ pi / 4}π/4<λ<5π/4{\ displaystyle \ pi / 4 <\ lambda <5 \ pi / 4} λ↦λ+π{\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ lambda + \ pi}
Il calcolo delle derivate parziali di questi parametri e l' equazione di Eulero-Lagrange permettono di mostrare che il toro di Clifford è una superficie minima di S 3 .
Definizione generale
Più in generale, con la precedente rappresentazione parametrica, i punti della 3-sfera aventi per coordinate , con fisso diverso da , formano ancora un toro spesso chiamato anche toro di Clifford (ma questa non è più una superficie minimale in generale).
(cosλcosθ,cosλpeccatoθ,peccatoλcosφ,peccatoλpeccatoφ){\ Displaystyle (\ cos \ lambda \ cos \ theta, \ cos \ lambda \ sin \ theta, \ sin \ lambda \ cos \ varphi, \ sin \ lambda \ sin \ varphi)}λ{\ displaystyle \ lambda}Kπ/2{\ displaystyle k \ pi / 2}
Il tori di Clifford in dimensioni maggiori
La sfera unitaria S 2 n −1 di uno spazio euclideo di dimensione pari R 2 n (identificata con C n ) è l'insieme di n -tuple di coordinate complesse che soddisfano Qualsiasi famiglia di numeri positivi r 1 , ..., r n tale che r 1 2 + ... + r n 2 = 1 definisce quindi un toro di Clifford generalizzato da
S2non-1={(z1,...,znon)∈VSnon:|z1|2+⋯+|znon|2=1}.{\ displaystyle S ^ {2n-1} = \ {(z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) \ in \ mathbf {C} ^ {n}: | z_ {1} | ^ {2} + \ cdots + | z_ {n} | ^ {2} = 1 \}.}
Tr1,...,rnon={(z1,...,znon)∈VSnon:|zK|=rK, 1⩽K⩽non}{\ displaystyle T_ {r_ {1}, \ ldots, r_ {n}} = \ {(z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) \ in \ mathbf {C} ^ {n}: | z_ { k} | = r_ {k}, ~ 1 \ leqslant k \ leqslant n \}}, alcuni di questi tori sono degenerati se uno dei r i è zero; l'insieme di questi tori costituisce una
fibrazione della sfera S 2 n −1 .
Applicazioni
Nella geometria simplettica , il toro di Clifford è un esempio di una sottovarietà lagrangiana di C 2 .
La congettura Lawson (en) afferma che qualsiasi inclusione di un toro nella 3-sfera minima è un toro di Clifford; è stato dimostrato da Simon Brendle nel 2012.
Vedi anche
Riferimenti
-
(in) V. Borrelli , S. Jabrane , F. Lazarus e B. Thibert , " Flat tori in tridimensional space and convex integration " , Atti dell'Accademia Nazionale delle Scienze , Atti dell'Accademia Nazionale delle Scienze, vol . 109, n o 19,aprile 2012, p. 7218–7223 ( PMID 22523238 , PMCID 3358891 , DOI 10.1073 / pnas.1118478109 ).
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