Teorema giapponese per quadrilateri scrivibili

In geometria , il teorema giapponese dei quadrilateri dice che i centri dei cerchi inscritti dei triangoli di un quadrilatero scrivibile sono i vertici di un rettangolo.

Disegnando le diagonali del quadrilatero , otteniamo quattro triangoli (ogni diagonale crea due triangoli). I centri dei cerchi inscritti in questi triangoli formano un rettangolo.

stati

Sia un qualsiasi quadrilatero scrivibile e siano i rispettivi centri dei cerchi inscritti nei triangoli . ABVSD{\ displaystyle ABCD}M1,M2,M3,M4{\ displaystyle M_ {1}, M_ {2}, M_ {3}, M_ {4}}ABD,ABVS,BVSD,AVSD{\ displaystyle ABD, ABC, BCD, ACD}

Quindi il quadrilatero è un rettangolo. M1M2M3M4{\ displaystyle M_ {1} M_ {2} M_ {3} M_ {4}}

Principio della dimostrazione La dimostrazione si basa su due proprietà sugli angoli:

• In un triangolo ABC il cui centro del cerchio inscritto è O, l'angolo BOC è uguale alla metà dell'angolo BAC aumentato di un angolo retto,
• La proprietà degli angoli inscritti per i punti ciclici

Dimostriamo quindi che i punti e sono ciclici, così come e , ecc. Dimostriamo quindi che l'angolo è giusto scrivendolo usando gli angoli e .A,B,M1{\ displaystyle A, B, M_ {1}}M2{\ displaystyle M_ {2}}A,D,M1{\ displaystyle A, D, M_ {1}}M4{\ displaystyle M_ {4}}M2M1M4{\ displaystyle M_ {2} M_ {1} M_ {4}}M2M1A{\ displaystyle M_ {2} M_ {1} A}M4M1A{\ displaystyle M_ {4} M_ {1} A} Estensione Questo teorema è un passo nella dimostrazione di un teorema più generale, riguardante i raggi dei cerchi inscritti, il teorema giapponese che afferma nel quadro di questo quadrilatero, che la somma dei raggi dei cerchi inscritti di centro ed è uguale a la somma dei raggi dei cerchi inscritti dei centri e . Per provare il caso dei quadrilateri scrivibili, è necessario costruire il parallelogramma i cui lati passano per i vertici del rettangolo pur essendo paralleli alle diagonali del quadrilatero. Dimostriamo quindi che il parallelogramma ottenuto è un rombo, utilizzando gli angoli interni alterni e la ciclicità dei punti e , ecc. Le distanze tra i lati opposti di questo rombo sono quindi uguali, il che equivale a dire che la somma dei raggi dei cerchi inscritti tangenti a ciascuna diagonale sono uguali.M1{\ displaystyle M_ {1}}M3{\ displaystyle M_ {3}}M2{\ displaystyle M_ {2}}M4{\ displaystyle M_ {4}}A,B,M1{\ displaystyle A, B, M_ {1}}M2{\ displaystyle M_ {2}} Il caso quadrilatero dimostra immediatamente il caso generale triangolando un poligono.

Vedi anche

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link esterno

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(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Teorema giapponese per quadrilateri ciclici  " ( vedere l'elenco degli autori ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">