teorema viriale
In meccanica classica , il teorema del viriale è una relazione generale che si applica a un sistema di più corpi interagenti. Collega le medie temporali delle sue energie cinetiche e potenziali . Fu proposto nel 1870 da Rudolf Clausius che allora lavorava sui fondamenti della termodinamica e cercava di mettere in relazione i concetti di temperatura e calore con i movimenti delle molecole di gas.
Storico
Il termine "viriel", dal latino vis (forza), e il teorema furono entrambi proposti da Rudolf Clausius nel 1870. In francese, il termine "viriel" è un sinonimo obsoleto di "potenziale".
Enunciato del teorema
Dichiarazione originale
Come affermato originariamente da Rudolf Clausius , il teorema si applica a un insieme stabile di particelle di massa identificate dalle loro posizioni e velocità , sulle quali vengono esercitate delle forze . È scritto:
m{\ stile di visualizzazione m}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}
Σ12mv2¯=-12Σr→⋅F→¯{\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum {\ overline {{\ vec {r }} \ cdot {\ vec {F}}}}}dove la barra indica la media temporale delle quantità corrispondenti.
Caso particolare
Spesso conserviamo il seguente caso speciale:
Teorema viriale - In un sistema in equilibrio dinamico , l'energia cinetica è l'opposto della metà dell'energia potenziale :
Evs{\ displaystyle E_ {c}} Ep{\ displaystyle E_ {p}}
2Evs+Ep=0{\ displaystyle 2E_ {c} + E_ {p} = 0}.
Questo risultato è una semplice conseguenza del principio fondamentale della dinamica , applicato ad un insieme di masse in reciproca interazione gravitazionale ( problema degli N-corpi ).
L'energia totale E = E c + E p è quindi
E=12Ep=-Evs{\ displaystyle E = {\ tfrac {1} {2}} E_ {p} = - E_ {c}}.
Dimostrazione
Nella dinamica degli N-corpi
Ipotesi
Sia un sistema isolato di N corpi massicci di massa costante, ogni corpo quindi sperimenta solo le forze gravitazionali dei suoi vicini.
Secondo la legge di gravitazione universale , la forza gravitazionale esercitata sul corpo i si scrive:
Fio=-Σj≠iojGmiomjrio-rj|rio-rj|3{\ displaystyle F_ {i} = - \ sum _ {\ overset {j} {j \ neq i}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} -r_ {j}} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}}}Secondo il principio fondamentale della dinamica , questa stessa forza gravitazionale esercitata sul corpo i si scrive:
Fio=miod2riodt2{\ displaystyle F_ {i} = m_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}Si noterà che la prima espressione riguarda la massa grave mentre la seconda riguarda la massa inerte , principio di equivalenza che permette però di identificarle.
Moltiplicando per e sommando su tutte le masse i , troviamo:
rio{\ displaystyle r_ {i}}
-Σio≠jio,jGmiomjrio(rio-rj)|rio-rj|3=ΣioFiorio=Σiomioriod2riodt2(1){\ displaystyle - \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = \ sum _ {i} F_ {i} r_ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ quad (1)}Scambiando indici silenziosi, abbiamo:
Σio≠jio,jGmiomjrio(rio-rj)|rio-rj|3=Σio≠jio,jGmiomjrj(rj-rio)|rj-rio|3{\ displaystyle \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} { | r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ { j} (r_ {j} -r_ {i})} {| r_ {j} -r_ {i} | ^ {3}}}}da dove :
-Σio≠jio,jGmiomjrio(rio-rj)|rio-rj|3=-12Σio≠jio,jGmiomj(rio(rio-rj)|rio-rj|3+rj(rj-rio)|rj-rio|3)=-12Σio≠jio,jGmiomj(rio-rj)2|rio-rj|3=-12Σio≠jio,jGmiomj|rio-rj|(2){\ displaystyle - \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ { i} m_ {j} \ sinistra ({\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} + {\ frac {r_ {j} (r_ {j} -r_ {i})} {| r_ {j} -r_ {i} | ^ {3}}} \ destra) = - {\ frac {1} {2} } \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {(r_ {i} -r_ {j}) ^ {2}} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} G {\ frac { m_ {i} m_ {j}} {| r_ {i} -r_ {j} |}} \ quad (2)}Calcolo:
d2(rio2)dt2=ddt(2riodriodt)=2(driodt)2+2riod2riodt2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} (r_ {i} ^ {2})} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} } {\ mathrm {d} t}} \ sinistra (2r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ destra) = 2 \ sinistra ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ destra) ^ {2} + 2r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i} } {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}egli viene :
riod2riodt2=12d2(rio2)dt2-(driodt)2{\ displaystyle r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} ^ {2} (r_ {i} ^ {2})} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ destra) ^ {2}}quindi, ricordando la costanza della massa rispetto al tempo:
Σiomioriod2riodt2=12Σiomiod2(rio2)dt2-Σiomio(driodt)2=12d2dt2(Σiomiorio2)-Σiomio(driodt)2(3){\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = { \ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} (r_ {i} ^ {2})} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ sum _ {i} m_ {i} \ sinistra ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ destra) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ left (\ sum _ {i} m_ {i } r_ {i} ^ {2} \ destra) - \ sum _ {i} m_ {i} \ sinistra ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ a destra) ^ {2} \ quad (3)}Introducendo le uguaglianze (2) e (3) in (1) , si ottiene :
-12Σio≠jio,jGmiomj|rio-rj|+Σiomio(driodt)2=12d2dt2(Σiomiorio2)(4){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} G {\ frac {m_ {i} m_ {j}} {| r_ { i} -r_ {j} |}} + \ sum _ {i} m_ {i} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ left (\ sum _ {i } m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ destra) \ quad (4)}Riconosciamo in questa equazione:
Ep=-12Σio≠jio,jGmiomj|rio-rj|{\ displaystyle E_ {p} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} G {\ frac {m_ {i} m_ {j} } {| r_ {i} -r_ {j} |}}}Evs=12Σiomio(driodt)2{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d } t}} \ destra) ^ {2}}io=Σiomiorio2{\ displaystyle I = \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}L'equazione (4) viene quindi riscritta:
Ep+2Evs=12d2iodt2{\ displaystyle E_ {p} + 2E_ {c} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} I} {\ mathrm {d} t ^ {2}} }}Prendiamo ora il valore medio su un intervallo di tempo [t, t + Δt] dei due membri di questa equazione:
<Ep>+2<Evs> =12Δt∫tt+Δtdtd2iodt2=1Δt∫tt+ΔtdtddtΣiomior→iov→io=1Δt[(Σiomior→iov→io)t+Δt-(Σiomior→iov→io)t]{\ displaystyle <E_ {p}> + 2 <E_ {c}> = {\ frac {1} {2 \ Delta t}} \ int _ {t} ^ {t + \ Delta t} dt {\ frac { \ mathrm {d} ^ {2} I} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ Delta t}} \ int _ {t} ^ {t + \ Delta t } dt {\ frac {d} {dt}} \ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {r}} _ {i} {\ overrightarrow {v}} _ {i} = {\ frac {1 } { \ Delta t}} [(\ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {r}} _ {i} {\ overrightarrow {v}} _ {i}) _ {t + \ Delta t} - (\ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {r}} _ {i} {\ overrightarrow {v}} _ {i}) _ {t}]}
Dato che la dimensione del sistema rimane limitata nel tempo così come la velocità di ciascuno dei corpi che compongono il sistema (assumendo che la distanza tra due corpi sia limitata al di sotto, a causa delle loro dimensioni spaziali e in assenza di collisione diretta), i due termini tra parentesi sono limitati. Il membro di destra tende quindi a zero quando t tende all'infinito. Da qui il risultato.
Nella fisica quantistica
stati
2⟨T⟩=non⟨V⟩{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle V \ rangle}
con corrisponde al valore medio dell'energia cinetica
⟨T⟩{\ displaystyle \ langle T \ range}
e corrisponde al valore medio del potenziale espresso
⟨V⟩{\ displaystyle \ langle V \ range}V(X)=λ⋅Xnon{\ displaystyle V (x) = \ lambda \ cdot x ^ {n}}
Dimostrazione
Mostriamo che :
⟨[H,XP]⟩=0{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ range = 0}
⟨[H,XP]⟩=⟨φ|HXP|φ⟩-⟨φ|XPH|φ⟩{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = \ langle \ phi | HXP | \ phi \ rangle - \ langle \ phi | XPH | \ phi \ rangle}Ora, eH|φ⟩=E|φ⟩{\displaystyle H |\phi\rangle = E |\phi\rangle}⟨φ|H=E⟨φ|{\ displaystyle \ langle \ phi | H = E \ langle \ phi |}
Quindi (1)
⟨[H,XP]⟩=E⟨φ|XP|φ⟩-E⟨φ|XP|φ⟩=0{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = E \ langle \ phi | XP | \ phi \ rangle -E \ langle \ phi | XP | \ phi \ rangle = 0}
Lavoriamo su :
[H,XP]{\ stile di visualizzazione [H, XP]}
[H,XP]=HXP-XPH=HXP-XHP+XHP-XPH{\ stile di visualizzazione [H, XP] = HXP-XPH = HXP-XHP + XHP-XPH}Quindi, (2)
[H,XP]=[H,X]P+X[H,P]{\ stile di visualizzazione [H, XP] = [H, X] P + X [H, P]}
Espresso e :
[H,X]{\ stile di visualizzazione [H, X]}[H,P]{\ stile di visualizzazione [H, P]}
[H,X]=-[X,H]=-[X,P2]2m=-ioℏ⋅Pm{\ displaystyle [H, X] = - [X, H] = {\ frac {- [X, P ^ {2}]} {2m}} = {\ frac {-i \ hbar \ cdot P} {m }}}
[H,P]=[V(X),P]=ioℏ∂V∂X{\ displaystyle [H, P] = [V (x), P] = i \ hbar {\ frac {\ parziale V} {\ parziale x}}} (3)
Torniamo a :
⟨[H,XP]⟩=0{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ range = 0}
Utilizzando (2), troviamo:
0=⟨[H,X]P⟩+⟨X[H,P]⟩{\ displaystyle 0 = \ langle [H, X] P \ rangle + \ langle X [H, P] \ rangle}Allo stesso modo, usando (3), troviamo
⟨P2m⟩=non⟨V⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {P ^ {2}} {m}} \ right \ rangle = n \ langle V \ rangle}Da qui il risultato atteso:
2⟨T⟩=non⟨V⟩{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle V \ rangle}In termodinamica
Applicazioni
In astrofisica
Più in generale, il teorema del viriale è ampiamente utilizzato in astrofisica . In particolare, può essere utilizzato per stimare il limite di Chandrasekhar sulla massa delle nane bianche.
Il teorema del viriale è ampiamente utilizzato nella dinamica galattica . Ad esempio, permette di ottenere rapidamente un ordine di grandezza della massa totale M di un ammasso stellare se conosciamo la velocità media V delle stelle dell'ammasso e la distanza media R tra due stelle dell'ammasso, che può essere stimato dalle osservazioni:
- E c ~ ½MV²
- E p ~ - GM² / 2R
Il fattore 1/2 in E p deriva dal fatto che per un sistema di particelle è necessario evitare di contare il doppio dell'energia potenziale associata a una coppia.
Quindi viene 2E c = - E p ⟺ M = 2RV² / G
Enigma della materia oscura Dark
Poiché è anche possibile determinare la massa delle stelle visibili dalla loro luminosità , possiamo confrontare la massa totale ottenuta dal teorema del viriale con la massa visibile. Fritz Zwicky stato il primo a fare questo calcolo e osservata una notevole differenza (fattore 10 sulla scala di galassie e fattore 100 sulla scala di cluster) tra le due quantità, che hanno portato astrofisici ipotizzare l'esistenza di materia. Nero , cioè non rilevabile dagli strumenti. L'unica altra spiegazione possibile sarebbe che la legge di gravità non è valida su larga scala, ma nessun orientamento in questa direzione ha dato finora alcun risultato.
Possiamo dimostrare che questa materia oscura domina la massa delle galassie al di fuori del loro disco , nell'alone dove si estende fino a 100-200 kiloparsec (kpc) - contro 10-20 kpc per la massa visibile.
In termodinamica
Note e riferimenti
-
(De) Rudolf Clausius, " Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz " , Annalen der Physik , vol. 141,1870, pag. 124–130 ( leggi online )
(it) Rudolf Clausius, " Su un teorema meccanico applicabile al calore " , Rivista filosofica, Ser. 4 , vol. 40,1870, pag. 122-127
-
Definizioni lessicografiche ed etimologiche di “viriel” dalla tesoreria informatizzata della lingua francese , sul sito web del Centro nazionale delle risorse testuali e lessicali .
-
(in) Collins GW, The virial Theorem in Stellar Astrophysics , Pachart Press,1978( presentazione on line )
-
(in) Chandrasekhar S, Introduzione allo studio della struttura stellare , Chicago, University of Chicago Press ,1939, pag. 49–53
-
(in) Kourganoff V, Introduzione all'astrofisica avanzata , Dordrecht, Olanda, D. Reidel,1980, pag. 59-60, 134-140, 181-184
Link esterno
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