Teorema di Poincaré-Bertrand

Il teorema di Poincaré-Bertrand riguarda il riarrangiamento dei termini per il calcolo di alcuni integrali impropri . È stato fondato da Henri Poincaré e Gaston Bertrand, nonché da Godfrey Harold Hardy .

stati

Sia $Γ$ una curva chiusa o aperta nel piano complesso, sia $f (τ, τ ')$ una funzione definita su $Γ$ (generalmente di valore complesso) e continua nel senso di Hölder rispetto a $τ$ e $τ'$ , e sia $t essere$ un punto su $Γ$ tranne un'estremità se $Γ$ è aperto, allora

{\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; \ times \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t, t ) + {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} \ mathrm {d} \ tau '\ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau')} {(\ tau - t) (\ tau '- \ tau)}} \ mathrm {d} \ tau}

dove $vp$ è il valore principale di Cauchy

Nel caso particolare di una funzione $f (τ)$ dipendente da una singola variabile e quindi definita su una curva chiusa

{\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t)}

Questa espressione è valida per tutti i t se f è continua nel senso di Hölder o quasi tutti i t se $f \in L p , p > 1$

Riferimenti

Henri Poincaré , Lezioni di meccanica celeste: Teoria delle maree , vol. 3, Gauthier-Villars ,1910, 253-256 p. ( leggi online )
Gaston Bertrand, "Le principali equazioni integrali di Fredholm nel significato di Cauchy ", Atti dell'Accademia delle Scienze , vol. 172,1921, p. 1458-1461 ( leggi in linea )
Gaston Bertrand, " La teoria delle maree e delle equazioni integrali ", Annali scientifici dell'École normale supérieure , vol. 40,1923, p. 151-258 ( leggi in linea )
(in) G. H. Hardy , " La teoria dei principali guadagni di Cauchy " , Atti della London Mathematical Society , vol. 7, n o 21909, p. 181–208 ( leggi in linea )
(in) Nikolai Ivanovich Muskhelishvili, Equazioni integrali singolari: problemi di confine delle funzioni Teoria e loro applicazioni alla fisica matematica , Wolters-Noordhoff ,1972( ISBN 9-0016-0700-4 )