Teorema di Liouville (variabile complessa)

Nell'analisi complessa , il teorema di Liouville è un risultato relativo a funzioni intere ( funzioni olomorfe sull'intero piano complesso). Sebbene ci sia un gran numero di funzioni infinitamente differenziabili e limitate sulla retta reale, il teorema di Liouville afferma che qualsiasi funzione intera limitata è costante.
Questo teorema è dovuto a Cauchy. Questo diversivo è opera di uno studente di Liouville che ha appreso di questo teorema nei corsi letti da quest'ultimo.

stati

Il teorema di Liouville è affermato come segue:

Teorema di Liouville - Se f è una funzione definita olomorfa sull'intero piano complesso, allora f è costante quando è limitata.

Questo teorema può essere migliorato:

Teorema - Se f è una funzione intera con crescita polinomiale di grado al massimo k , nel senso che:

{\ displaystyle \ esiste (A, B) \ in (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {2}, \ \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad | f (z) | \ leq A + B | z | ^ {k}}

allora f è una funzione polinomiale di grado minore o uguale a k .

Dimostrazione

La dimostrazione proposta, relativamente breve, si basa sulla disuguaglianza di Cauchy . Altre possibili dimostrazioni sono indirettamente basate sulla formula integrale di Cauchy .

Prima affermazione

Una funzione integrale f , che è delimitata su C . In questo caso, esiste un limite superiore M del modulo di f . La disuguaglianza di Cauchy si applica a f ea qualsiasi disco con centro ze raggio R ; lei dà :

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad \ left | f '(z) \ right | \ leq {\ frac {M} {R}}}

Se fissiamo ze facciamo tendere R verso l'infinito, viene:

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad f '(z) = 0}

Pertanto, la derivata di f è ovunque zero, quindi f è costante.

Seconda dichiarazione

Assumiamo che l'intera funzione f abbia una crescita polinomiale. La disuguaglianza di Cauchy viene nuovamente applicata al disco con centro ze raggio R :

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad {\ frac {\ left | f ^ {(k + 1)} (z) \ right |} {(k + 1)!}} \ leq {\ frac {\ sup \ {| f (w) |, | wz | = R \}} {R ^ {k + 1}}} \ leq {\ frac {A + B {\ left (| z | + R \ destra)} ^ {k}} {R ^ {k + 1}}}}

Di nuovo, facendo tendere R verso l'infinito, si ottiene:

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad f ^ {(k + 1)} (z) = 0}

Per primitivazioni successive, la funzione f è una funzione polinomiale in ze il suo grado è minore o uguale a k .

Il teorema può essere dimostrato usando la formula integrale di Cauchy per mostrare che la derivata complessa di f è identicamente zero, ma non è così che Liouville l'ha dimostrato; e in seguito Cauchy contestò con Liouville la paternità del risultato. Gli storici Tuttavia ritengono che questa non sia una manifestazione della legge di Stigler : Cauchy avrebbe potuto facilmente dimostrarlo prima di Liouville ma non lo fece.

Il teorema è notevolmente migliorato dal Piccolo teorema di Picard , che afferma che qualsiasi funzione intera non costante prende tutti i numeri complessi come valori, tranne al massimo un punto.

Applicazioni

Teorema di D'Alembert-Gauss

Il teorema di d'Alembert-Gauss (o anche il teorema fondamentale dell'algebra) afferma che ogni polinomio complesso non costante ammette una radice . In altre parole, il campo dei numeri complessi è chiuso algebricamente . Questo teorema può essere dimostrato usando strumenti analitici, e in particolare il teorema di Liouville sopra indicato, vedi l'articolo dettagliato per la dimostrazione.

Studio della sfera di Riemann

In termini di superficie di Riemann , il teorema può essere generalizzato come segue: se $M$ è una superficie di Riemann parabolica (il piano complesso per esempio) e se $N$ è una superficie iperbolica (un disco aperto per esempio), allora qualsiasi funzione olomorfa $f : M \to N$ deve essere costante.

Funzioni ellittiche

Si usa anche per stabilire che una funzione ellittica senza poli è necessariamente costante; questo è ciò che Liouville aveva originariamente stabilito.

Note e riferimenti

Boris Chabat , Introduzione all'analisi complessa, Volume I Funzioni di una variabile , 1990, Éditions Mir , p. 104.
Vedi per esempio la dimostrazione data in Rudin, p. 254 , un po 'diverso.