Teorema di Gerschgorin

In analisi numerica , il teorema di Gerschgorin è un risultato che permette di limitare a priori gli autovalori di una matrice quadrata. Fu pubblicato nel 1931 dal matematico bielorusso Semion Gerschgorin . Questo risultato è utilizzato in particolare nel caso particolare delle matrici stocastiche.

Il teorema

stati

Sia A una matrice complessa di dimensione n × n , di termine generale ( a ij ). Per ogni indice di riga i compreso tra 1 e n introduciamo il disco di Gerschgorin corrispondente

{\ displaystyle D_ {i} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}, | a_ {ii} -z | \ leq \ sum _ {j \ neq i} | a_ {ij} | \ right \} = D (a_ {ii}, R_ {i}) ~,}

che costituisce effettivamente un disco nel piano complesso, di raggio R i = Σ j ≠ i | a ij |.

Teorema : ogni autovalore di A appartiene ad almeno uno dei dischi di Gerschgorin.

Applicando il teorema alla matrice trasposta di A , si danno nuove informazioni sulla localizzazione degli autovalori: si trovano nell'unione dei dischi di Gerschgorin associati alle colonne

{\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {j} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}, | a_ {jj} -z | \ leq \ sum _ {i \ neq j} | a_ { ij} | \ right \} = D (a_ {jj}, {\ tilde {R}} _ {j}) ~.}

Dimostrazione

Lasciare λ essere un autovalore di A e x = ( x 1 , ..., x n ) un autovettore associato. Per i compreso tra 1 e n , abbiamo

(\ lambda -a _ {{ii}}) x_ {i} = \ sum _ {{j \ neq i}} a _ {{ij}} x_ {j}

Scegliamo un indice i per il quale il modulo di x i è massimo. Poiché x è un autovettore, | x i | è diverso da zero ed è possibile formare il quoziente

| a _ {{ii}} - \ lambda | = \ left | \ sum _ {{j \ neq i}} a _ {{ij}} {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right | \ leq \ sum _ {{j \ neq i}} | a _ {{ij}} {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} | \ leq \ sum _ {{j \ neq i}} | a _ {{ij}} |

Una variante della dimostrazione è notare che 0 è l'autovalore di e utilizzare un lemma di Hadamard . $A- \ lambda I_ {n}$

Note e riferimenti

Appunti

Il suo nome può essere trascritto in vari modi: Gershgorin, Geršgorin, Gerschgorin o Guerchgorine.

Riferimenti

Patrick Lascaux e Raymond Théodor, Analisi numerica di Matrix applicata all'arte dell'ingegneria , t. 1: metodi diretti [ dettaglio delle edizioni ]
(de) S. Gerschgorin, “Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. »Izv. Akad. Nauk. URSS Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, 749-754, 1931
(it) Richard S. Varga , Geršgorin and His Circles , Springer ,2004, 230 p. ( ISBN 978-3-540-21100-6 , leggi online ), [ errata ]

Vedi anche

Articolo correlato

Ovale Cassini

link esterno

(it) Eric W. Weisstein , " Gershgorin Circle Theorem " , su MathWorld
Localizzazione di autovalori: i dischi di Gerschgorin , alcune proprietà sui dischi di Gerschgorin.