Teorema di Davenport-Cassels

Il teorema di Davenport - Cassels è un risultato di rappresentazioni razionali o intere di forme quadratiche con coefficienti interi. È meglio conosciuto per il suo corollario in aritmetica riguardante gli interi scritti come la somma di due quadrati o tre quadrati .

Dichiarazione generale

Teorema di Davenport-Cassels - Sia $q$ una forma quadratica con coefficienti interi di dimensione $n$ tali che $q ( x 1 ,\dots, x n ) = \sum i , j a ij x i x j$ con per tutti $i$ e $j$ , $a ij = un ji$ . Se, per ogni $n$ -tupla $x$ di razionali non interi, esiste una $n$ -tupla $a$ di interi tali che $0 <| q ( x - a ) | <1$ allora qualsiasi numero intero $N$ avente un rappresentante razionale ha anche un rappresentante intero. Cioè: per ogni intero $N$ , se esiste un $n$ -tuple $x$ di razionali tali che $q ( x ) = N$ , esiste anche un $n$ -tuple $una$ di numeri tali che $q ( a ) = N$ .

La dimostrazione può essere fatta per discesa infinita sulla dimensione del comune denominatore di . $x_ {i}$

Una variante più diffusa di questa affermazione è limitata al caso in cui la forma quadratica è definita positiva. In questo caso, il fatto che sia definito rende possibile riformulare l'ipotesi più semplicemente in: “Se, per ogni $n$ -upla $x$ di razionali, esiste una $n$ -tupla $a$ di interi tale che $| q ( x - a ) | <1$ allora ... ".

Somma di due o tre quadrati

Il teorema di Davenport-Cassels risulta nel seguente teorema:

Teorema - Se un intero naturale è la somma di due (rispettivamente tre) quadrati di numeri razionali, è anche la somma di due (rispettivamente tre) quadrati di numeri interi.

Secondo André Weil , Fermat , in una lettera di Mersenne di15 luglio 1636, afferma di aver dimostrato questo risultato ma in un'altra lettera di 2 settembredello stesso anno, riconosce che la sua prova deve ancora essere elaborata. Nel 1912, una dimostrazione di questo teorema fu data da L. Aubry. Anche il teorema di Davenport-Cassels, successivo a questa pubblicazione, ne fornisce una prova.

Infatti, il quadrato della distanza usuale su ℚ 2 o ℚ 3 è una forma quadratica che soddisfa le condizioni del teorema di Davenport-Cassels. Per convincersene, basta osservare che, per ogni razionale , esiste un intero tale che . Quindi, per ogni coppia (risp. Tripletta) di numeri razionali, esiste una coppia (risp. Tripletta) di interi tale che (risp. ). $x_ {i}$ $avere}$ ${\ displaystyle | x_ {i} -a_ {i} | \ leq 1/2}$ $X$ $a$ ${\ displaystyle d ^ {2} (x, a) = \ sum _ {i = 1} ^ {2} | x_ {i} -a_ {i} | ^ {2} \ leq {\ frac {1} { 4}} + {\ frac {1} {4}} <1}$ ${\ displaystyle d ^ {2} (x, a) = \ sum _ {i = 1} ^ {3} | x_ {i} -a_ {i} | ^ {2} \ leq {\ frac {1} { 4}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}} <1}$

Note e riferimenti

Per una dimostrazione vedi (en) André Weil , Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre [ dettaglio delle edizioni ], o (en) Pete L. Clark, " Rappresentazioni di numeri interi mediante forme quadratiche " .
Per una dimostrazione di questa variante vedere Jean-Pierre Serre , Cours d'arithmétique ,1970[ dettaglio delle edizioni ], o Eva Bayer-Fluckiger , " Teoria algebrica delle forme quadratiche " , su EPFL , MathGeom ,2007.
Weil , pag. 59 e 292.
(in) Keith Conrad , " Somma dei quadrati in Q e F ( T ) " .
(en) AR Rajwade , Squares , CUP , al. "London Mathematical Society Note Play Series" ( n o 171)1993, 286 p. ( ISBN 978-0-521-42668-8 , leggi online ) , p. 29-30.

Teorema di Davenport-Cassels

Dichiarazione generale

Somma di due o tre quadrati

Note e riferimenti

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