Teorema di Specht Spe
In matematica, il teorema di Specht fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché due matrici siano unitariamente equivalenti . Prende il nome da Wilhelm Specht , che dimostrò il teorema nel 1940.
Presentazione
Due matrici e si dicono unitariamente equivalenti se esiste una matrice unitaria U tale che . Anche due matrici unitariamente equivalenti sono simili . Due matrici simili rappresentano la stessa mappa lineare , ma rispetto a una base diversa; l'equivalenza unitaria corrisponde al passaggio da una base ortonormale ad un'altra base ortonormale.
A{\ stile di visualizzazione A}B{\ stile di visualizzazione B} B=tu*Atu{\ displaystyle B = U ^ {*} \! AU}
Se A e B sono unitariamente equivalenti, allora , dove denota la traccia ; in altre parole, la norma di Frobenius è un'unità invariante. Ciò risulta dall'invarianza ciclica della traccia: if , then , dove la seconda uguaglianza è l'invarianza ciclica.
veroAA*=veroBB*{\ displaystyle \ nomeoperatore {tr} AA ^ {*} = \ nomeoperatore {tr} BB ^ {*}}vero{\ displaystyle \ nomeoperatore {tr}}B=tu*Atu{\ displaystyle B = U ^ {*} \! AU}veroBB*=verotu*Atutu*A*tu=veroAtutu*A*tutu*=veroAA*{\ displaystyle \ operatorname {tr} BB ^ {*} = \ operatorname {tr} U ^ {*} \! AUU ^ {*} \! A ^ {*} U = \ operatorname {tr} AUU ^ {*} \!A ^ {*} UU ^ {*} = \ nomeoperatore {tr} AA ^ {*}}
Quindi, l'uguaglianza è una condizione necessaria per l'equivalenza unitaria, ma non è sufficiente. Il teorema di Specht dà un'infinità di condizioni necessarie che, insieme, sono anche sufficienti. La formulazione del teorema utilizza la seguente definizione. Una parola in due variabili x e y , è un'espressione della forma
veroAA*=veroBB*{\ displaystyle \ nomeoperatore {tr} AA ^ {*} = \ nomeoperatore {tr} BB ^ {*}}
W(X,sì)=Xm1sìnon1Xm2sìnon2⋯XmP,{\ displaystyle W (x, y) = x ^ {m_ {1}} y ^ {n_ {1}} x ^ {m_ {2}} y ^ {n_ {2}} \ cdots x ^ {m_ {p }},}dove sono numeri interi positivi. La lunghezza di una parola è la somma dei suoi esponenti:
m1,non1,m2,non2,...,mP{\ displaystyle m_ {1}, n_ {1}, m_ {2}, n_ {2}, \ ldots, m_ {p}}
m1+non1+m2+non2+⋯+mP.{\ displaystyle m_ {1} + n_ {1} + m_ {2} + n_ {2} + \ cdots + m_ {p}.}
Teorema di Specht. - Due matrici e sono unitariamente equivalenti se e solo se per tutte le parole .
A{\ stile di visualizzazione A}B{\ stile di visualizzazione B}veroW(A,A*)=veroW(B,B*){\ displaystyle \ nomeoperatore {tr} W (A, A ^ {*}) = \ nomeoperatore {tr} W (B, B ^ {*})}W{\ stile di visualizzazione W}
Casi speciali
Il teorema fornisce un numero infinito di identità di traccia, ma questo insieme può essere ridotto a un sottoinsieme finito. Sia n la dimensione delle matrici e . Per il caso , sono sufficienti le seguenti tre condizioni:
A{\ stile di visualizzazione A}B{\ stile di visualizzazione B}non=2{\ stile di visualizzazione n = 2}
veroA=veroB,veroA2=veroB2,{\ displaystyle \ operatorname {tr} A = \ operatorname {tr} B, \ quad \ operatorname {tr} A ^ {2} = \ operatorname {tr} B ^ {2}, \ quad} e
veroAA*=veroBB*.{\ displaystyle \ quad \ nomeoperatore {tr} AA ^ {*} = \ nomeoperatore {tr} BB ^ {*}.}
Per n = 3 sono sufficienti le seguenti sette condizioni:
veroA=veroB,veroA2=veroB2,veroAA*=veroBB*,veroA3=veroB3,veroA2A*=veroB2B*,veroA2(A*)2=veroB2(B*)2,veroA2(A*)2AA*=veroB2(B*)2BB*.{\ displaystyle {\ begin {allineato} & \ operatorname {tr} A = \ operatorname {tr} B, \ quad \ operatorname {tr} A ^ {2} = \ operatorname {tr} B ^ {2}, \ quad \ nomeoperatore {tr} AA ^ {*} = \ nome operatore {tr} BB ^ {*}, \ quad \ nome operatore {tr} A ^ {3} = \ nome operatore {tr} B ^ {3}, \\ & \ nomeoperatore {tr} A ^ {2} A ^ {*} = \ nomeoperatore {tr} B ^ {2} B ^ {*}, \ quad \ nomeoperatore {tr} A ^ {2} (A ^ {*}) ^ {2} = \ nomeoperatore {tr} B ^ {2} (B ^ {*}) ^ {2}, \ quad \ nomeoperatore {tr} A ^ {2} (A ^ {*}) ^ {2} AA ^ {*} = \ nomeoperatore {tr} B ^ {2} (B ^ {*}) ^ {2} BB ^ {*}. \ Fine {allineato}}} Per ogni n , è sufficiente mostrare che per tutte le parole di lunghezza al massimo
veroW(A,A*)=veroW(B,B*){\ displaystyle \ nomeoperatore {tr} W (A, A ^ {*}) = \ nomeoperatore {tr} W (B, B ^ {*})}
non2non2non-1+14+non2-2{\ displaystyle n {\ sqrt {{\ frac {2n ^ {2}} {n-1}} + {\ frac {1} {4}}}} + {\ frac {n} {2}} - 2 }.
È stato ipotizzato che questa espressione possa essere ridotta a un'espressione lineare in n .
Sviluppi del teorema sono stati dati in casi più generali.
Note e riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
“ Teorema di Specht ” ( vedi elenco degli autori ) .
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Specht 1940 .
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Horn e Johnson 1985 , 2.2.1 Definizione
-
Horn e Johnson 1985 , Teorema 2.2.2
-
Horn e Johnson 1985 , Teorema 2.2.6.
-
Horn e Johnson 1985 , Teorema 2.2.8.
-
Sibirskiǐ 1976 , p. 260 citato da Đoković e Johnson 2007
-
Pappacena 1997 , Teorema 4.3.
-
Freedman, Gupta e Guralnick 1997 , p. 160.
-
Futorny, Horn e Sergeichuk 2017 .
-
Marcoux e Zhang 2021 .
Bibliografia
-
( fr ) Dragomir . Đoković e Charles R. Johnson , “ Modelli e tracce zero unitariamente realizzabili di parole in A e A * ” , Algebra lineare e sue applicazioni , vol. 421, n ° 1,2007, pag. 63-68 ( DOI 10.1016 / j.laa.2006.03.002 ).
- (it) Allen R. Freedman , Ram Niwas Gupta e Robert M. Guralnick , “ Teorema di Shirshov e rappresentazioni dei semigruppi ” , Pacific Journal of Mathematics , vol. 181, n . 3,1997, pag. 159-176 ( ISSN 0030-8730 , DOI 10.2140 / pjm.1997.181.159 )
- (it) Vyacheslav Futorny , Roger A. Horn e Vladimir V. Sergeichuk , “ Criterio di Specht per sistemi di mappature lineari ” , Algebra lineare e sue applicazioni , vol. 519,2017, pag. 278-295 ( DOI 10.1016 / j.laa.2017.01.006 )
-
(it) Roger A. Horn e Charles R. Johnson , Analisi della matrice , Cambridge University Press ,1985( ISBN 978-0-521-38632-6 ).
- (it) Laurent W. Marcoux e Yuanhang Zhang , " On Specht's Theorem in UHF C⁎-algebras " , Journal of Functional Analysis (en) , vol. 280, n . 1,2021, Articolo n ° 108778 ( DOI 10.1016 / j.jfa.2020.108778 )
-
.
-
(ru) KS Sibirskiǐ , Invarianti algebrici di equazioni differenziali e matrici , Izdat. "Štiinca", Kishinev,1976.
-
(da) Wilhelm Specht , “ Zur Theorie der Matrizen. II ” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , vol. 50,1940, pag. 19-23 ( leggi online ).
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