Von Neumann stabilità

Nell'analisi numerica , l' analisi di stabilità di von Neumann è un metodo per verificare la stabilità numerica di schemi utilizzando il metodo delle differenze finite per equazioni alle derivate parziali . Questa analisi si basa sulla scomposizione dell'errore numerico seriale di Fourier ed è stata sviluppata presso il Los Alamos National Laboratory dopo essere stata brevemente descritta in un articolo di Crank e Nicolson. Il metodo è stato successivamente trattato in modo più rigoroso in un articolo scritto in collaborazione con von Neumann .

Stabilità numerica

La stabilità di un diagramma digitale è intimamente legata all'errore digitale. Si dice che uno schema a differenze finite sia stabile se gli errori fatti in una fase temporale non aumentano gli errori nelle iterazioni. Se gli errori diminuiscono e alla fine svaniscono, si dice che lo schema digitale è stabile. Se, al contrario, l'errore aumenta ad ogni iterazione, il diagramma si dice instabile. La stabilità di un pattern può essere determinata utilizzando l'analisi di von Neumann. Per i problemi dipendenti dal tempo, la stabilità garantisce che un metodo numerico produca una soluzione limitata quando la soluzione dell'esatta equazione differenziale è limitata. La stabilità di un diagramma può essere difficile, soprattutto quando l'equazione considerata non è lineare .

In alcuni casi, la stabilità di von Neumann è sufficiente e necessaria per la stabilità nel senso di Lax-Richtmyer (come usato nel teorema di Lax ): la PDE e lo schema alle differenze finite sono lineari; l'EDP ha coefficienti costanti con condizioni al contorno periodiche e dipende da due variabili indipendenti; e lo schema non utilizza più di due livelli temporali. La stabilità di Von Neumann è necessaria in una varietà molto più ampia di casi. La relativa semplicità di questo metodo significa che viene spesso utilizzato al posto di un'analisi di stabilità più dettagliata al fine di dare una buona idea delle restrizioni sulle dimensioni del passo.

Illustrazione del metodo

Il metodo di von Neumann si basa sulla scomposizione dell'errore in serie di Fourier . Per illustrare questa procedura, considerare quello dimensionale equazione del calore

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = \ alpha {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}}}

definito su , che in questo caso può essere discretizzato come segue $L$

{\ displaystyle \ quad (1) \ qquad u_ {j} ^ {n + 1} = u_ {j} ^ {n} + r \ sinistra (u_ {j + 1} ^ {n} -2u_ {j} ^ {n} + u_ {j-1} ^ {n} \ destra)}

{\ displaystyle r = {\ frac {\ alpha \, \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}}}

e la soluzione dell'equazione discreta approssima la soluzione analitica della PDE sui punti della griglia. ${\ displaystyle u_ {j} ^ {n}}$ $u (x, t)$

Definisci l' errore di arrotondamento per ${\ displaystyle \ epsilon _ {j} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ epsilon _ {j} ^ {n} = N_ {j} ^ {n} -u_ {j} ^ {n}}

dove è la soluzione dell'equazione discretizzata (1) che sarebbe implementata in assenza di errori di arrotondamento, ed è la soluzione numerica ottenuta con precisione aritmetica finita . Poiché la soluzione esatta deve verificare la soluzione discretizzata, l'errore deve verificare anche l'equazione discretizzata. In tal modo ${\ displaystyle u_ {j} ^ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {j} ^ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {j} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {j} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ quad (2) \ qquad \ epsilon _ {j} ^ {n + 1} = \ epsilon _ {j} ^ {n} + r \ left (\ epsilon _ {j + 1} ^ {n} -2 \ epsilon _ {j} ^ {n} + \ epsilon _ {j-1} ^ {n} \ right)}

è una relazione di ricorrenza per l'errore. Le equazioni (1) e (2) mostrano che l'errore e la soluzione numerica hanno lo stesso comportamento in funzione del tempo. Per equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno periodiche, la variazione spaziale dell'errore può essere scomposta in una serie finita di Fourier sull'intervallo , da $L$

{\ displaystyle \ quad (3) \ qquad \ epsilon (x) = \ sum _ {m = 1} ^ {M} A_ {m} e ^ {ik_ {m} x}}

dove il numero d'onda con e . La dipendenza dal tempo dell'errore è inclusa assumendo che l'entità dell'errore sia una funzione del tempo. Sapendo che l'errore tende ad aumentare o diminuire esponenzialmente nel tempo, è ragionevole supporre che l'ampiezza vari esponenzialmente nel tempo; da dove ${\ displaystyle k_ {m} = {\ frac {\ pi m} {L}}}$ ${\ displaystyle m = 1,2, \ ldots, M}$ ${\ displaystyle M = L / \ Delta x}$ $A_m$

{\ displaystyle \ quad (4) \ qquad \ epsilon (x, t) = \ sum _ {m = 1} ^ {M} e ^ {at} e ^ {ik_ {m} x}}

dov'è una costante. $a$

Poiché l'equazione delle differenze dell'errore è lineare, è sufficiente considerare la crescita dell'errore per un termine scelto:

{\ displaystyle \ quad (5) \ qquad \ epsilon _ {m} (x, t) = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} x}}

Le caratteristiche di stabilità possono essere studiate utilizzando questa forma di errore, senza perdita di generalità. Per trovare la variazione dell'errore in funzione del tempo, sostituiamo l'equazione (5) nell'equazione (2), dopo aver notato che

${\ displaystyle {\ begin {align} \ epsilon _ {j} ^ {n} & = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} x} \\\ epsilon _ {j} ^ {n + 1} & = e ^ {a (t + \ Delta t)} e ^ {ik_ {m} x} \\\ epsilon _ {j + 1} ^ {n} & = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} (x + \ Delta x)} \\\ epsilon _ {j-1} ^ {n} & = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} (x- \ Delta x)}, \ end {allineato} }}$

per arrivare (previa semplificazione)

{\ displaystyle \ quad (6) \ qquad e ^ {a \ Delta t} = 1 + {\ frac {\ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ left (e ^ {ik_ {m } \ Delta x} + e ^ {- ik_ {m} \ Delta x} -2 \ right).}

Utilizzando le seguenti identità

{\ displaystyle \ qquad \ cos (k_ {m} \ Delta x) = {\ frac {e ^ {ik_ {m} \ Delta x} + e ^ {- ik_ {m} \ Delta x}} {2}} \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ sin ^ {2} {\ frac {k_ {m} \ Delta x} {2}} = {\ frac {1- \ cos (k_ {m} \ Delta x )} {2}}}

possiamo riscrivere (6) come

{\ displaystyle \ quad (7) \ qquad e ^ {a \ Delta t} = 1 - {\ frac {4 \ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ sin ^ {2} (k_ {m} \ Delta x / 2)}

Definisci il fattore di ampiezza

{\ displaystyle G \ equiv {\ frac {\ epsilon _ {j} ^ {n + 1}} {\ epsilon _ {j} ^ {n}}}}

La condizione necessaria e sufficiente affinché l'errore rimanga limitato è , tuttavia, ${\ displaystyle \ green G \ green \ leq 1.}$

{\ displaystyle \ quad (8) \ qquad G = {\ frac {e ^ {a (t + \ Delta t)} e ^ {ik_ {m} x}} {e ^ {at} e ^ {ik_ {m } x}}} = e ^ {a \ Delta t}}

Quindi, dalle equazioni (7) e (8) deriviamo che la condizione di stabilità è data da

{\ displaystyle \ quad (9) \ qquad \ left \ vert 1 - {\ frac {4 \ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ sin ^ {2} (k_ {m} \ Delta x / 2) \ right \ vert \ leq 1}

Affinché la condizione di cui sopra sia vera per tutto , abbiamo ${\ Displaystyle \ sin ^ {2} (k_ {m} \ Delta x / 2)}$

{\ displaystyle \ quad (10) \ qquad {\ frac {\ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ leq {\ frac {1} {2}}}

L'equazione (10) fornisce la condizione di stabilità per lo schema FTCS applicato all'equazione del calore unidimensionale. Dice che per un dato, il valore di deve essere abbastanza piccolo da verificare l'equazione (10). $\ Delta x$ $\ Delta t$

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Analisi di stabilità di Von Neumann " ( vedere l'elenco degli autori ) .

( entra ) Eugene Isaacson e Herbert Bishop Keller ( entra ) , Analysis of numerical methods , Dover ,1994, 576 p. ( ISBN 978-0-486-13798-8 , leggi online ) , p. 523-530
(in) J. Crank e P. Nicolson , " A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type " , Proc. Camb. Phil. Soc. , vol. 43,1947, p. 50-67 ( DOI 10.1007 / BF02127704 )
(in) JG Charney , R. Fjørtoft e J. von Neumann , " Numerical Integration of the barotropic Vorticity Equation " , Tellus , vol. 2,1950, p. 237-254 ( DOI 10.1111 / j.2153-3490.1950.tb00336.x )
(in) GD Smith , Soluzione numerica di equazioni differenziali parziali: metodi alle differenze finite , 1985, 3 e ed. , p. 67-68
() Anderson, JD, Jr. ( entra ) , Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications , McGraw-Hill ,1994