Sottospazio caratteristico

Definizioni

Lasciate E sia un K - finito dimensionale spazio vettoriale , u un endomorphism di E e À un autovalore di u .

• chiamato autovettore generalizzato , spettrale subspaziale o autospazio generalizzato di u associato al sottospazio del vettore λ

NONλ(u)=ker⁡[(u-λiod)m],{\ Displaystyle N _ {\ lambda} (u) = \ ker \ left [(u- \ lambda {\ rm {Id}}) ^ {m} \ right],}

Id essere la carta d'identità e m la molteplicità di λ nel polinomio minimo di u . Questo esponente m è quello per cui il nucleo nella formula raggiunge la sua dimensione massima: se viene sostituito da un valore maggiore, il nucleo non cambia più. Per questo motivo possiamo anche prendere la molteplicità di λ nel polinomio caratteristico , perché è sempre m , secondo il teorema di Cayley-Hamilton . ⩾{\ displaystyle \ geqslant} 

• un vettore x è un autovettore generalizzato di u associato a λ se x non è zero e se esiste un intero k ≥ 1 tale che x ∈ ker [( u - λ Id ) k ], in altre parole se x ∈ N λ ( u ) \ {0}.

Interesse

I sottospazi caratteristici sono utilizzati nella caratterizzazione della trigonalizzazione di un endomorfismo . Infatti, un endomorfismo u di uno spazio vettoriale E è trigonalizzabile se e solo se E è la somma (diretta) dei sottospazi caratteristici di u , cioè se e solo se esiste una base di E formata da autovettori generalizzati di u . Questa caratterizzazione si unisce a quella data utilizzando il caratteristico polinomio, che deve essere scisso in modo che l'endomorfismo possa essere trigonalizzato.