Prodotto in fibra

In matematica , il prodotto in fibra è un'operazione tra due insiemi entrambi provvisti di una mappa per lo stesso terzo insieme. La sua definizione si estende a certe categorie soddisfacendo una proprietà universale di fattorizzazione dei diagrammi, in dualità con la somma amalgamata .

Il prodotto in fibra viene utilizzato in particolare in geometria algebrica per definire il prodotto di due diagrammi , oppure in topologia algebrica per costruire, da uno spazio di fibra (come un rivestimento ), un altro spazio della stessa fibra, la fibra indottafascio indotto , salendo lungo un'applicazione tra i due database, da cui il nome in inglese pullback ("tirato indietro") talvolta usato in francese.

Definizione di ensemblist

Date due applicazioni allo stesso set:

{\ displaystyle {\ begin {array} {crc} && E \\ && \ downarrow \! \! {\ scriptstyle p} \\ A & {\ stackrel {f} {\ longrightarrow}} & B \ end {array} }}

il prodotto in fibra e sopra è definito come l'insieme di coppie di prodotti cartesiani × i cui componenti hanno la stessa immagine . Si nota: $A$ $E$ $B$ $(a; e)$ $A$ $E$ $f (a) = p (e)$

A {\ underset {B} {\ times}} E

Essendo il prodotto in fibra un sottoinsieme del prodotto cartesiano, le proiezioni su ciascun fattore consentono di completare il quadrato commutativo:

{\ displaystyle {\ begin {array} {crc} A {\ underset {B} {\ times}} E & {\ stackrel {\ pi _ {E}} {\ to}} & E \\\ downarrow \! \! {\ scriptstyle \ pi _ {A}} \! \! \! \! \! \! && \ downarrow \\ A & \! \! \! \! \ longrightarrow & B \ end {array}}}

Nelle categorie impostate, come quelle degli spazi topologici o degli spazi vettoriali, il prodotto in fibra costituisce esso stesso un oggetto della categoria.

Proprietà universale

Con le notazioni della parte precedente, se è un insieme dotato di mappe a e che permette di costruire un quadrato commutativo: $X$ $A$ $E$

{\ begin {array} {crc} X & {\ stackrel {p_ {E}} {\ longrightarrow}} & E \\\ downarrow \! \! ^ {{p_ {A}}} \! \! \! \! \! \! && \ downarrow \\ A & \ longrightarrow & B \ end {array}}

allora esiste un'applicazione unica dell'insieme al prodotto in fibra che tiene conto del diagramma: $io$ $X$

p_ {A} = \ pi _ {A} \ circ i \ qquad p_ {E} = \ pi _ {E} \ circ i

In altre parole, il prodotto in fibra è il limite (nel senso delle categorie) del diagramma formato utilizzando le due mappature iniziali e . È anche possibile vederlo come il prodotto (nel senso di categorie) in una categoria di morfismi di vermi . $f$ $p$ $B$

Più in generale, il prodotto in fibra in qualsiasi categoria è il limite di tale diagramma, quando esiste, come nel caso delle categorie abeliane .

Note e riferimenti

Le notazioni utilizzate derivano dal fatto che se la mappa è la proiezione di uno spazio in fibra sulla sua base, il prodotto in fibra fornito con la sua proiezione su costituisce uno spazio in fibra della stessa fibra. $p$ $A$

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