Il principio dei poteri virtuali o PPV è un principio fondamentale nella meccanica, che postula un equilibrio di potenza in un movimento virtuale, è una duplice formulazione del principio fondamentale della dinamica o PFD. Permette di trovare alcuni principi o teoremi come il principio fondamentale della dinamica e il teorema dell'energia cinetica , e costituisce anche la base di un approccio di modellazione per media continui ( teoria del primo gradiente , teoria del secondo gradiente ). A volte parliamo del principio del lavoro virtuale o PTV che è essenzialmente lo stesso principio.
Il principio di base è il seguente: se un solido è in equilibrio ( statica del solido ), la somma delle forze esercitate su di esso è zero. Quindi, se induciamo l'oggetto a fare uno spostamento fittizio (virtuale), la somma delle potenze delle forze e dei momenti è zero.
Questo principio a volte consente calcoli più semplici, in particolare nella teoria delle piastre .
In pratica, la stima delle forze applicate a un sistema viene sempre effettuata mediante uno spostamento (o deformazione) di questo sistema:
Se idealmente si effettuano le precedenti esperienze in tempi sempre più brevi, si passa al limite; la misura delle forze si ottiene misurando le potenze utilizzate, per le velocità servite da test (velocità virtuali).
Sia un punto di massa materiale in equilibrio rispetto ad un riferimento galileiano . Notiamo la risultante delle forze esterne . Se è un vettore di spazio , l'equazione classica della statica del punto:
è equivalente a:
Il prodotto è chiamato il potere virtuale della forza in relazione a .
Se il punto è in movimento rispetto a , si nota l'accelerazione del punto rispetto a questa tacca di riferimento.
L'equazione classica della dinamica di
è equivalente a:
Il prodotto è chiamato la potenza virtuale delle quantità di accelerazione rispetto a .
L'origine di questo principio va a Jean Bernoulli , che enunciò nel 1725 il principio delle velocità virtuali, che consiste nel considerare il disturbo dell'equilibrio di un sistema meccanico da parte di un movimento infinitesimale rispettando le condizioni di connessione del sistema, un movimento virtuale, e dedurre un'uguaglianza di potere. Questo principio fu successivamente generalizzato da D'Alembert e Lagrange in quello che oggi è noto come principio D'Alembert (1743).
Il principio dei poteri virtuali è una sintesi di questi principi, ancorati in un quadro molto più rigoroso e matematico (si parla quindi di “dualizzazione” e non più di “disturbo” dell'equilibrio o del movimento da parte di un movimento infinitesimale).
Qui viene presentato solo l'aspetto più classico del PPV, ovvero quello in cui il campo cinematico è virtuale. È altrettanto facile sviluppare questo principio con un campo di forza virtuale, ma il concetto di campo di forza ammissibile è più pesante da impostare e meno intuitivo.
Un sistema meccanico è definito da un dominio di spazio che decidiamo di studiare, sul quale è definita una distribuzione di massa. Questa massa definisce su una misura nel senso della matematica.
Esempi di sistemi meccanici:
Vale a dire un sistema meccanico, si chiama movimento ammissibile del dato di un campo di velocità in qualsiasi punto del dominio del sistema. L'insieme dei campi di velocità virtuali ammissibili ha una struttura spaziale vettoriale topologica . L'arte della meccanica è quella di scegliere lo spazio vettoriale topologico più adatto al problema che si sta studiando.
Nota: euristicamente, possiamo dire che più lo spazio vettoriale dei campi di velocità virtuali che avremo scelto sarà "ricco", più le equazioni del problema che stiamo studiando saranno complesse da risolvere, ma in In ritorno, le informazioni raccolte al termine del calcolo saranno tanto più “interessanti”.
Movimento di irrigidimento di un sistema meccanicoUn movimento di irrigidimento di un sistema (solido o no) è un movimento che conferisce al sistema un movimento di corpo rigido.
Se consideriamo un sistema nello spazio e questa è l'origine di un riferimento spaziale, allora qualsiasi movimento di irrigidimento può essere scritto:
dove e sono vettori uniformi
Potenza in accelerazioneLa potenza di accelerazione di un sistema è la potenza sviluppata dalle grandezze di accelerazione nel campo di movimento.
Per un punto di massa materiale nel campo di velocità otteniamo:
Per un sistema di punti materiali di massa si ottiene in campo :
Nel caso di un mezzo continuo (solidi, fluidi, ecc. ) Di densità in un campo :
Potere degli sforzi esterni
Il potere esterno o il potere degli sforzi esterni è il potere sviluppato dagli sforzi esterni nel campo della velocità.
Per un punto materiale soggetto alla forza nel campo di velocità è espresso da:
Per un sistema di punti sottoposto a forze sul campo :
Per un mezzo di confine continuo soggetto alle forze voluminali e alle forze superficiali nel campo :
Potere degli sforzi interiori
Il potere delle forze interne è il potere sviluppato dalle forze interne (o interne) nel sistema considerato. Sono molto spesso forze di contatto (sistemi di punti materiali o solidi, mezzi granulari) o forze di coesione (mezzi continui).
L'assiomatico sotto riportato indica che questa potenza è sempre zero quando il movimento si sta irrigidendo. Per un sistema di punti materiali o solidi, può essere espresso in modo simile alla potenza esterna (considerando le azioni su ciascuno dei punti / solidi da parte degli altri).
Per un mezzo continuo, la sua espressione dipende dalla modellazione adottata e può essere dedotta dal PPV e da alcune ipotesi di modellazione.
Cerchiamo di essere un quadro di riferimento galileiano . Le velocità , le accelerazioni e le potenze sono prese in relazione a questo riferimento.
Per un sistema meccanico:
Il principio dei poteri virtuali (PPV) consente di trovare, tra le altre cose, il principio fondamentale della dinamica e il teorema dell'energia cinetica.
Se si applica il PPV ad un sistema di materiale non specificato sottoposto alle forze voluminali e superficiali scegliendo un campo di irrigidimento si ottiene:
Cosa si traduce nel fatto che la riduzione del torsore delle azioni esterne in - punto fisso - è uguale alla derivata della riduzione del torsore cinetico nello stesso punto:
Dov'è il torsore degli sforzi esterni,
è il torsore dinamico
ed è il torsore cinematico di un campo di irrigidimento.
Per trovare il teorema dell'energia cinetica ( qui annotato ), è sufficiente scegliere come movimento virtuale il movimento reale, otteniamo quindi immediatamente:
Nota: nell'ambito dell'assiomatica dei poteri virtuali, si può dimostrare quello che spesso viene chiamato "principio di azione e reazione", e quindi diventa un teorema.
Sia un sistema arbitrario formato da due parti e . Chiamiamo e rispettivamente la risultante delle forze di on e di on . Scegliamo un qualsiasi movimento traslazionale virtuale del sistema completo definito dal campo di velocità virtuale . Questo movimento virtuale si sta irrigidendo. In virtù dell'assiomatico, le forze interne a hanno potenza zero:
da dove
Il risultato delle azioni di on è l'opposto di quelle di on .
Una dimostrazione analoga, scegliendo un moto rotatorio virtuale di , mostrerebbe che i momenti delle interazioni di e sono anche opposti.
Il PPV costituisce un processo di modellazione: ha infatti due “componenti”, una che riflette un equilibrio di potere, l'altra una nullità in un tipo di movimento. Tra i tre tipi di poteri, ce ne sono due le cui espressioni sono relativamente semplici (anche se in realtà coinvolgono già ipotesi e fanno quindi già parte di un modellamento ) e uno, quello delle forze interne, che pone un vero problema non appena si esce dalla struttura dei sistemi di punti materiali o solidi indeformabili.
Per poter applicare il PPV, è quindi necessario proporre una scrittura per la potenza degli sforzi interni. Per fare ciò, ci sono principalmente due approcci. La prima consiste nel cambiare scala, nel considerare un volume elementare di materia e nel dedurne un'espressione delle forze interne e quindi della loro potenza. Qui viene presentato un altro approccio, che porta alla teoria del primo gradiente e alle teorie dei gradienti di ordine superiore .
Esempi di modellazione di media continui Teoria del gradiente di ordine zeroL'ipotesi 2. equivale a rappresentare le forze interne con un campo vettoriale.
O il campo di irrigidimento , secondo il PPV ha così:
Che porta a
Abbiamo appena dimostrato che se rappresentiamo le forze interne con un campo vettoriale, questo campo è necessariamente zero.
Teoria del gradientePossiamo sostituire l'ipotesi 2 con la seguente ipotesi:
2 '. la densità volumetrica di potenza degli sforzi interni è una forma lineare che coinvolge e le sue successive sfumature.
Se si sceglie di fermarsi al primo gradiente, si ottiene la teoria del primo gradiente , che è la modellizzazione più attuale per un mezzo continuo, si può quindi dimostrare che le forze interne sono rappresentate da un tensore di ordine 2 , che è simmetrico e controlla qual è il vettore normale uscente al confine e F la forza superficiale applicata a quel confine.
Possiamo prendere gradienti di ordini superiori, il che porta a modelli più complessi ma che consente di tenere conto di effetti più sottili. Così, con la prima pendenza, non si può tagliare una zolletta di burro, e bisogna salire alla terza pendenza per poterla forare, mentre la seconda sfumatura permette già di tagliarla con il filo di burro.
: documento utilizzato come fonte per questo articolo.