Principio di minima azione e relatività generale

Si deve a David Hilbert , nel 1915, il primo utilizzo del principio di minima azione per ottenere le equazioni della relatività generale , in particolare le equazioni del campo gravitazionale.

Per la relatività generale, come per la relatività speciale, le equazioni possono essere ottenute senza ricorrere al principio di minima azione: il principio di equivalenza , espresso nella forma "possiamo sempre trovare un sistema di riferimento che annulli localmente il campo gravitazionale", consente trovare direttamente le equazioni del moto di una particella; e l'unicità della forma del tensore geometrico che viene annullata dalla derivata covariante, unicità dimostrata da Élie Cartan , permette di trovare le equazioni del campo gravitazionale, che era il metodo originale di Einstein (sebbene l'unicità in questione non fosse ancora provato all'epoca).

Se vengono fornite le equazioni della relatività generale, possiamo dedurre l'azione che consente di applicare il principio. In particolare, con le equazioni geodetiche possiamo trovare la metrica associata. ${\ displaystyle ds ^ {2} \,}$

Particella

Particella in un campo gravitazionale

In questo lavoro, utilizziamo l'ipotesi che la particella non modifichi il suo ambiente: la massa della particella né la sua posizione non cambiano il campo gravitazionale , questa massa deve quindi essere "piccola".

In virtù del principio di equivalenza di Einstein, la gravità è localmente equivalente alla scelta di un sistema di riferimento accelerato.

Nell'ambito della relatività speciale, prendendo un frame accelerato (coordinate ), la percezione locale è un campo gravitazionale, e il cambiamento di riferimento rispetto a un sistema di riferimento inerziale (coordinate ) impone una metrica con coefficienti non banali . È sufficiente determinare le equazioni del moto in questo quadro di riferimento a causa del principio di minima azione nella relatività ristretta. ${\ displaystyle \ (x '_ {0}; x' _ {1}; x '_ {2}; x' _ {3})}$ ${\ displaystyle \ (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ ds ^ {2} = (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - (x_ {2}) ^ {2} - (x_ {3}) ^ {2} = g ^ {ij} (x ') x' _ {i} x '_ {j}}$

Il principio di equivalenza permette di affermare che un campo gravitazionale reale (non dovuto alla scelta del sistema di riferimento) è determinato anche dalla metrica (e la metrica è determinata dal campo gravitazionale); sebbene l'uso di una metrica che non è causata, e quindi non compensabile oltre un dominio locale dello spazio-tempo, da un cambiamento di quadro di riferimento implica che lo spazio-tempo non è euclideo (si veda l'esperimento mentale del disco rotante, descritto in relatività generale ), e che poi usciamo dal quadro della relatività speciale per costruire una nuova teoria: la relatività generale . ${\ displaystyle \ ds ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ds ^ {2} = g ^ {ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g ^ {ij} x_ {i} x_ {j}}$

Possiamo quindi rimanere nella continuità della relatività speciale, e affermare che l'azione infinitesimale di una particella puntiforme, influenzata dalla sola gravità, nella relatività generale è:

${\ displaystyle dS = -mc {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$

dove assumiamo che senza nulla togliere alla generalità. ${\ displaystyle \ g ^ {ij} = g ^ {ji}}$

Usando il fatto che è il tempo naturale della particella, l'azione minimizzata tra due punti nello spazio-tempo mostra che, come nella relatività speciale, è il tempo naturale per andare dal punto A al punto B che è massimizzato (localmente) dal principio . Le geodetiche sono i percorsi che (localmente) massimizzano il tempo della particella . ${\ displaystyle \ ds = {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$ ${\ displaystyle \ S = -mc \ int _ {A} ^ {B} ds}$

Per mantenere la coerenza fisica, dobbiamo presumere che siano continui; per poter lavorare con strumenti noti, cioè derivazioni, ma anche per supporre che il campo gravitazionale sia continuo, bisogna supporre che siano differenziabili. Successivamente, per le equazioni di Einstein, sarà essenziale assumere che siano C 2 . ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Considerando qualsiasi momento : ${\ displaystyle \ t_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {dS} {dt_ {0}}} = L_ {0} = - mc {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}$

Si usano sempre le equazioni di Eulero-Lagrange dopo averle divise per il coefficiente qui inutile. ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} {\ frac {\ partial L_ {0}} {\ partial V_ {k}}} \ - \ {\ frac {\ partial L_ { 0}} {\ partial x_ {k}}} \ = \ 0 ~~}$ ${\ displaystyle \ -mc}$

Dettagli dimostrativi

Otteniamo : ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {2.g ^ {ik} V_ {i}} {2. {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ right) - \ {\ frac {\ partial ^ {k} g ^ {ij} .V_ {i} V_ {j}} {2. {\ Sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ = \ 0 ~~}$

Prendendo il tempo giusto ora , possiamo usare l'uguaglianza che semplifica la derivazione , ${\ displaystyle t_ {0} =}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}} = c}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}}}$

senza cambiare il risultato se andiamo alla deriva e otteniamo

${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {g ^ {ik} V_ {i}} {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}} \ right) = {\ frac {1} {c}}. (\ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} + g ^ {ik} {\ punto {V_ {i}}})}$

Notando che , che useremo principalmente per ragioni estetiche, e cambiando gli indici per usare solo i, j e k, ${\ displaystyle \ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} = {\ frac {1} {2}}. (\ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ { n} V_ {i} + \ partial ^ {i} g ^ {nk} .V_ {n} V_ {i})}$

Le equazioni di Eulero-Lagrange danno: ${\ displaystyle g ^ {ik} {\ dot {V_ {i}}} + {\ frac {1} {2}}. (- \ partial ^ {k} g ^ {ij} + \ partial ^ {i} g ^ {jk} + \ parziale ^ {j} g ^ {ik}) V_ {i} V_ {j} = 0}$

Con l'uguaglianza e il simbolo di Christoffel : ${\ displaystyle \ g_ {km} g ^ {ki} = \ delta _ {m} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {m} ^ {ij} = {\ frac {1} {2}}. g_ {km} (- \ partial ^ {k} g ^ {ij} + \ partial ^ {i} g ^ {jk} + \ partial ^ {j} g ^ {ik})}$

Otteniamo l'equazione:

${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$

che possiamo anche scrivere:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x_ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} {\ frac {dx_ {i}} {ds}} { \ frac {x_ {j}} {ds}} = 0}$

o :

${\ displaystyle {\ frac {DV_ {k}} {ds}} = 0}$

con la “derivata covariante”: e , dove per tempo proprio. ${\ displaystyle DV_ {k} = dV_ {k} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dV_ {j}}$ ${\ displaystyle DV ^ {k} = dV ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dV ^ {j}}$ ${\ displaystyle \ V_ {k} = {\ frac {dx_ {k}} {dt_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ t_ {0} =}$

Il simbolo di Christoffel si distingue come manifestazione della gravità nelle equazioni del moto. ${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

Le equazioni del moto non dipendono dalla massa della particella (così chiamata perché abbiamo trascurato la sua estensione spaziale e la sua influenza sul suo ambiente): tutte le particelle seguono le stesse traiettorie (in condizioni iniziali identiche), è l'equazione di geodetiche in relatività generale, in presenza della sola gravità.

Tuttavia, queste equazioni di moto non sono valide per una particella di massa zero perché in questo caso, abbiamo dall'inizio , che vieta tutti i calcoli effettuati sopra; abbiamo anche perché non trascorre il tempo appropriato per una particella di massa zero (vedi Relatività ristretta ), il termine non può in nessun caso avere significato. Bisogna considerare che l'onda associata alla particella abbia un'equazione avente un significato, inoltre la luce era intesa come un'onda (elettromagnetica) piuttosto che come una particella (il fotone , di massa zero) quando si scriveva la relatività generale. ${\ displaystyle ~ dS = 0 ~~}$ ${\ displaystyle ~ ds = c.dt_ {0} = 0 ~~}$ ${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m}}$

Particella in un campo elettromagnetico

Simile alla relatività speciale, la definizione dell'azione relativistica infinitesimale di una particella puntiforme di carica in un campo elettromagnetico è . ${\ displaystyle \ e}$ ${\ displaystyle \ L.dt = \ -mc. {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} - eA ^ {j} .dx_ {j}}$

Da calcoli perfettamente simili, deriviamo le equazioni del moto:

${\ displaystyle m. ({\ dot {V}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} V ^ {j}) = e.V_ {j} .F ^ { KJ}}$

che possiamo scrivere:

${\ displaystyle mc. \ left ({\ frac {d ^ {2} x ^ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ frac {dx ^ {i }} {ds}} {\ frac {dx ^ {j}} {ds}} \ right) = eF ^ {kj} {\ frac {dx_ {j}} {ds}}}$

o :

${\ displaystyle mc. {\ frac {DV ^ {k}} {ds}} = eF ^ {kj} V_ {j}}$

Campo gravitazionale

Per determinare la densità lagrangiana, quindi le equazioni, è necessario sviluppare un po 'alcune delle considerazioni discusse sopra, e anche alcune nuove.

Densità lagrangiana nello spazio curvo

A causa dell'invarianza della traiettoria del campo rispetto ai quadri di riferimento da cui si osserva, l'azione che lo caratterizza deve essere invariante per cambio di quadro di riferimento. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega}$

Dettagli che giustificano la densità lagrangiana

Lascia che l'azione sia in due diversi quadri di riferimento. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '}$

Abbiamo: e ${\ displaystyle \ d \ Omega = dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$ ${\ displaystyle \ d \ Omega '= dx' _ {0} .dx '_ {1} .dx' _ {2} .dx '_ {3} = J.dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$

dov'è lo Jacobiano del cambio di variabili. ${\ displaystyle \ J}$

Abbiamo : ${\ Displaystyle J = \ left | \ det \ left ({\ frac {\ partial x '_ {i}} {\ partial x_ {j}}} \ right) \ right | ~}$

Oppure:, prendendo le determinanti . ${\ displaystyle ds ^ {2} = g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j} = g '^ {kl} dx' _ {k} dx '_ {l} \ to \ g ^ {kl} = {\ frac {\ partial x '_ {i}} {\ partial x_ {k}}}. {\ frac {\ partial x' _ {j}} {\ partial x_ {l}}} g '^ {ij } \ to g = J ^ {2} .g '}$

Pertanto : ${\ displaystyle J = {\ frac {| g | ^ {\ frac {1} {2}}} {| g '| ^ {\ frac {1} {2}}}}}$

Quindi è una costante del campo rispetto ai cambiamenti dei quadri di riferimento. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '= \ int L'.Jd \ Omega \ to L = L'.J \ to L. | g | ^ {- { \ frac {1} {2}}} = L '. | g' | ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ Lambda}$

L'obiettivo è quindi quello di trovare gli scalari del campo, invarianti rispetto alle variazioni dei quadri di riferimento.

Notando lo scalare del campo, invariante rispetto alle variazioni dei quadri di riferimento, la densità lagrangiana sarà: $\ \ Lambda$ ${\ displaystyle \ L = \ Lambda. | g | ^ {\ frac {1} {2}}}$

Definizioni di tensori di Riemann e Ricci e curvatura

Alla maniera di Élie Cartan

In termini matematici, lo spazio quadridimensionale definito dalle considerazioni precedenti è una varietà C 2 dove le quattro velocità sono vettori appartenenti allo spazio vettoriale tangente al punto da cui abbiamo derivato, questo spazio vettoriale essendo provvisto della metrica . ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Ricordiamo che le coordinate sono le coordinate dei punti della varietà, fornite con un qualsiasi sistema di coordinate, che rappresentano la scelta arbitraria del sistema di riferimento fisico dell'osservatore. ${\ displaystyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

La misura della gravità, che influenza le geodetiche, può essere effettuata attraverso la differenza di orientamento tra due vettori risultante dal trasporto di un unico vettore originale da parte di due differenti percorsi geodetici verso lo stesso punto finale.

L'equazione della geodetica è equivalente a . ${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {dV_ {k}} {dt_ {0}}} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}$

Perché abbiamo dedotto ; sapendo che lo abbiamo come lo vediamo dalla sua definizione, tanto vale scrivere .

{\ displaystyle V_ {j} = {\ frac {dx_ {j}} {dt_ {0}}}}

{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dx_ {j}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} = \ Gamma _ {k} ^ {ji}}

{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {i} V_ {j}}

Allo stesso modo, otteniamo

{\ displaystyle dV ^ {k} = - \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dx ^ {j}}

Si dice che un vettore sia trasportato parallelamente lungo una geodetica se le variazioni nelle sue coordinate si verificano quando viene spostato lungo la geodetica. ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}$ ${\ displaystyle dA_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ {j}}$ ${\ displaystyle \ (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}}$

Dettagli del metodo di Elie Cartan

Da qualsiasi punto M della varietà, considerare due variazioni infinitesime e lungo due geodetiche qualsiasi, e considerare i due percorsi distinti che utilizzano alternativamente l'una e l'altra di queste geodetiche. $\ d$ ${\ displaystyle \ \ delta}$

1 ° percorso:

{\ Displaystyle M (x_ {i}) \ to M_ {1} (x_ {i} + dx_ {i}) \ to M_ {2} (x_ {i} + dx_ {i} + \ delta (x_ {i } + dx_ {i}))}

2 e percorso:

{\ displaystyle M (x_ {i}) \ to M '_ {1} (x_ {i} + \ delta x_ {i}) \ to M' _ {2} (x_ {i} + \ delta x_ {i } + d (x_ {i} + \ delta x_ {i}))}

Affinché questi due percorsi finiscano nello stesso punto, assumiamo quello , che è realizzabile perché le geodetiche utilizzate dai punti e sono arbitrarie.

{\ displaystyle \ d \ delta x_ {i} = \ delta dx_ {i}}

{\ displaystyle \ M_ {1}}

{\ displaystyle \ M '_ {1}}

Studiamo le variazioni delle coordinate di un vettore trasportato parallelamente lungo ciascuno dei percorsi: ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}$

1 ° percorso:

{\ Displaystyle \ A_ {i} \ to A_ {i} + dV_ {i} \ to A_ {i} + dA_ {i} + \ delta (A_ {i} + dA_ {i}) = A_ {i} + dA_ {i} + \ delta A_ {i} + \ delta dA_ {i} = W_ {i}}

2 e percorso:

{\ displaystyle \ A_ {i} \ to A_ {i} + \ delta A_ {i} \ to A_ {i} + \ delta A_ {i} + d (A_ {i} + \ delta A_ {i}) = A_ {i} + \ delta A_ {i} + dA_ {i} + d \ delta A_ {i} = W '_ {i}}

Abbiamo :

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = \ delta dA_ {i} -d \ delta A_ {i} = \ delta (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ { j}) - d (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} \ delta x_ {j})}

Dopo alcuni calcoli, otteniamo:

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = (\ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ {p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}) dx_ {j} \ delta x_ { k} A_ {l}}

Definiamo il tensore di Riemann da: ${\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

L'uguaglianza indica che questo tensore misura la differenza tra due vettori risultanti dallo stesso vettore originale mediante trasporto parallelo su due percorsi diversi.

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = R_ {i} ^ {jkl} dx_ {j} \ delta x_ {k} A_ {l}}

{\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}

Definiamo il tensore di Riemann da:

${\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

Il tensore di Ricci è una contrazione del tensore di Riemann: ${\ displaystyle R ^ {ij} = R_ {k} ^ {ikj}}$

La sua formula mostra che è un tensore simmetrico:

{\ displaystyle \ R ^ {ij} = R ^ {ji}}

La curvatura Riemanniana è il numero ottenuto dalla contrazione del tensore di Ricci: ${\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

Tutte le uguaglianze usate nei “ dettagli del metodo di Élie Cartan ” sono indipendenti dal quadro di riferimento scelto, e questo è anche il caso delle definizioni dei tensori di Riemann e Ricci (anche per questo ci permettiamo di chiamarli tensori ). Questo è anche il caso della curvatura che è quindi candidata a essere lo scalare invariante del campo gravitazionale. $\ R$ $\ \ Lambda$

Élie Cartan ha dimostrato che gli scalari invarianti per cambiamento del quadro di riferimento sono della forma . ${\ displaystyle \ \ alpha R + \ beta ~}$

{\ displaystyle ~ \ \ alpha}

indica semplicemente che un cambio di unità è sempre possibile, permette di introdurre la costante cosmologica .

{\ displaystyle \ \ beta}

Strumenti analitici

Un'applicazione del principio di inerzia nello spazio curvo

Affinché il nostro lavoro sia effettivamente una conseguenza del principio di minima azione, il metodo qui utilizzato consiste nel determinare le proprietà del collettore dalla metrica dei suoi spazi tangenti.

Gli spazi vettoriali tangenti (di dimensione 4) sono forniti con la loro base "naturale" { }: se è il punto in cui consideriamo lo spazio tangente, ci poniamo ; quello che scriviamo spesso . ${\ displaystyle \ \ {{\ vec {e}} ^ {~ 0}; {\ vec {e}} ^ {~ 1}; {\ vec {e}} ^ {~ 2}; {\ vec {e }} ^ {~ 3}}}$ ${\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ left (~ {\ frac {\ partial x_ {j}} {\ partial x_ {i}}} ~ \ right) _ {j = 0, 1,2,3}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ frac {\ partial ~} {\ partial x_ {i}}}}$

Le equazioni delle geodetiche sono proprietà relative alle coordinate o della quadrivelocità lungo questa traiettoria, non danno un'indicazione per la variazione (la derivazione) di un quadrivettore da un punto all'altro dello spazio, o addirittura per la derivazione del vettore quadri-velocità .

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt_ {o}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {ds}}}

{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i}}

{\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}

Per questo, possiamo usare un principio fisico riscritto per misurare la relatività generale:

Principio di inerzia : lungo una geodetica, e in assenza di intervento esterno, il vettore (quadri-) velocità di una particella è costante.

Cioè :

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Noi abbiamo:

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}} = dV_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec {e} } ^ {~ i} = - \ Gamma _ {i} ^ {jk} dx_ {j} V_ {k}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec { e}} ^ {~ i}}

Essendo arbitraria la velocità del quadrivettore iniziale, si ottiene:

${\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {j} {\ vec {e}} ^ {~ k}}$

Analizzando le equazioni delle geodetiche o tenendo conto del fatto che gli “assi” delle coordinate non sono necessariamente geodetiche, non possiamo affermare che le coordinate del vettore quadrivelocità siano costanti. Sulla scelta

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Derivare significa "determinare la linea che indica la direzione del movimento". L'intero problema è sapere cos'è una linea retta quando il sistema di coordinate è arbitrario, anche in uno spazio curvo; determinate le linee si può definire la derivazione.
Nel quadro che ci interessa, quando lo sperimentatore è in uno spazio di Minkowski e ha scelto un qualsiasi sistema di coordinate, che eventualmente induca la gravità lì, le linee di derivazione sono quelle dello spazio di Minkowski, che sono anche quelle del movimento inerziale. A meno che non si definisca una nuova derivazione, l'uguaglianza è essenziale. ${\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$
Quando lo sperimentatore si trova in un sistema di riferimento in cui è presente la gravitazione, e in assenza di informazioni sulle cause di tale gravitazione (a causa di una massa o a causa di un sistema di riferimento accelerato, o entrambi) le uniche linee rette a cui egli Ha accesso, come fisico, sono quelli del moto inerziale: la derivazione è quindi definita da . ${\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$

Ma questa scelta si basa sul presupposto che, nel suo quadro di riferimento, il movimento inerziale segua effettivamente una linea retta. Se lo sperimentatore sceglie gli assi del suo sistema di riferimento come linee rette, quindi impone , il movimento "inerziale" osservato non è rettilineo ( ) e può essere interpretato come dovuto a una forza (di gravitazione).

{\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ vec {0}}}

{\ displaystyle d {\ vec {V}} \ neq {\ vec {0}}}

Queste due scelte, come altre che si possono immaginare, sono valide solo localmente: la prima assimila localmente la gravità a un sistema di riferimento accelerato in uno spazio di Minkowski, la seconda ipotizza una forza in uno spazio inizialmente destro; due scelte che a loro modo raddrizzano lo spazio-tempo, che possono essere fatte solo localmente. La derivata covariante

Sia un quadrivettore nello spazio tangente al punto . ${\ displaystyle {\ vec {A}} (x) = A_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}$ ${\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

Abbiamo : ${\ displaystyle d {\ vec {A}} (x) = (dA_ {i}) {\ vec {e}} ^ {~ i} + A_ {i} d ({\ vec {e}}} ^ { ~ i}) = (\ partial ^ {j} A_ {i} + A_ {k} \ Gamma _ {i} ^ {jk}) {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j} = D ^ {j} A_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j}}$

Definendo la derivata covariante come:

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ partial ^ {j} A_ {i} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k}}$

Proprietà :

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {il} = \ partial ^ {j} A_ {il} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {kl} + \ Gamma _ {l} ^ {jk} A_ {ik}}$

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} ^ {l} = \ partial ^ {j} A_ {i} ^ {l} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k} ^ {l} - \ Gamma _ {k} ^ {jl} A_ {i} ^ {k}}$

E così via con tutti gli indici di un tensore, secondo le loro posizioni.

Dove troviamo i tensori di Riemann, ecc.

Utilizzando la derivata covariante, e dopo un paio di calcoli, troviamo: . ${\ displaystyle \ left (D ^ {i} D ^ {j} -D ^ {j} D ^ {i} \ right) A_ {k} = R_ {k} ^ {l, ij} dx_ {i} dx_ {j} A_ {l}}$

Si ottengono così i concetti già introdotti “alla maniera di Elie Cartan”.

Uguaglianze e proprietà utili

Teorema di Ricci: e ${\ displaystyle \ D_ {k} g ^ {ij} = 0 ~ \ quad ~}$ ${\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

Posando , abbiamo: ${\ displaystyle \ g = \ det (g ^ {ij}) \ qquad}$ ${\ displaystyle | g | = -g \ qquad g ^ {ij} .g_ {ij} = \ delta _ {i} ^ {i} = 4 \ qquad \ dg = g ~ g_ {ij} ~ dg ^ {ij }}$

Teorema di Ostrogradski:, quando è un tensore. ${\ displaystyle \ int _ {V} {\ sqrt {-g}} ~ D_ {i} A ^ {i} ~ d \ Omega = \ anint _ {\ partial V} {\ sqrt {-g}} A ^ {i} ~ dS_ {i}}$ ${\ displaystyle \ A ^ {i}}$

Progetto di dimostrazioni di uguaglianza

La somma, la differenza e la somma di Einstein dei tensori definiti nello stesso spazio tangente danno un tensore; d'altra parte se si tratta di tensori definiti in diversi spazi tangenti, non è sicuro che questo dia un tensore.

Ad esempio: il simbolo di Christoffel è definito dal tensore metrico. L'equazione geodetica ci mostra che può essere definita utilizzando la quale, sebbene tensore, è costruita da una differenza tra due tensori (i quadri-vettori e ) definiti in due diversi spazi tangenti: il simbolo di Christoffel, lui, non è un tensore (tranne casi particolari), come si può dimostrare utilizzando la sua formula di definizione.

{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} .V_ {k} = \ partial ^ {j} V_ {i}}

{\ displaystyle \ \ partial ^ {j} V_ {i}}

{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m})}

{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m} + dx_ {m})}

Un'uguaglianza tensoriale dimostrata in qualsiasi punto, ma utilizzando un particolare sistema di riferimento, è una vera uguaglianza a questo punto e per tutti i sistemi di riferimento: questo è l'interesse principale dell'uso dei tensori.

Ad esempio, in qualsiasi punto esiste un quadro di riferimento in assenza di gravità (in caduta libera nel campo gravitazionale), vale a dire per quale . In un tale quadro di riferimento, abbiamo e quando è un tensore: che è più semplice da usare per giustificare un'uguaglianza tensoriale che sarà vera qualunque sia il quadro di riferimento.

{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} = 0}

{\ displaystyle R_ {i} ^ {j, kl} = \ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk}}

{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ partial ^ {j} A_ {i}}

{\ displaystyle \ A_ {i}}

Le equazioni di Einstein del campo gravitazionale nel caso esterno

I tensori sono usati per assicurarsi che le uguaglianze siano vere qualunque sia il punto di osservazione del fisico e qualunque sia il suo quadro di riferimento. I tensori trasportano solo informazioni relative al punto di osservazione e al suo spazio tangente, all'improvviso, l'informazione che vi viene utilizzata e che ne viene prodotta è solo locale: si tratta di informazioni sui tensori, a parte i dati universalmente validi come il costante c, G e altri che possono essere trovati lì.

Il primo caso delle equazioni di campo è il caso in cui non c'è materia (localmente): si parla di “caso esterno”, implicito “con la materia”.

In questo caso, l'unica componente dell'azione è la componente del campo gravitazionale , dove è una costante legata alla scelta delle unità: per le unità MKSA, si prende , il segno essendo dovuto al principio di minimizzazione dell'azione. ${\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ displaystyle \ K}$ ${\ displaystyle \ K = - {\ frac {c ^ {3}} {4 \ pi G}}}$ ${\ displaystyle \ -}$

Per trovare le equazioni del campo gravitazionale sotto forma di tensori di densità di energia che sono simmetrici, è più semplice trasformare la lagrangiana sotto l'integrale dell'azione che usare le equazioni di Eulero-Lagrange. Il principio variazionale viene applicato variando i termini della metrica , che è la manifestazione lagrangiana della gravità, secondo il principio di equivalenza applicato sopra. ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Dimostrazione delle equazioni di Einstein nel caso esterno

Usando l'uguaglianza , abbiamo ${\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

${\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ delta \ sinistra ({\ sqrt {-g}}. g_ {ij} .R ^ {ij} \ right) d \ Omega}$ ${\ displaystyle = K [\ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. \ delta (g_ {ij }). R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. G_ {ij}. \ Delta (R ^ {ij}) d \ Omega]}$

Abbiamo perché ${\ displaystyle \ delta ({\ sqrt {-g}}) = {\ frac {- \ delta g} {2 {\ sqrt {-g}}}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} g.g_ {ik}. \ delta g ^ {ik} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}}. g ^ {ik} \ delta g_ {ik}}$ ${\ displaystyle g ^ {ik} .g_ {ik} = 4 \ to \ delta (g ^ {ik}). g_ {ik} = - g ^ {ik}. \ delta (g_ {ik})}$

Per il 1 ° integrale era ${\ displaystyle \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega = \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) Rd \ Omega = - { \ frac {1} {2}} \ int g ^ {ij} .R. {\ sqrt {-g}}. \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

Il 2 ° pareggio rimane invariato.

Per il 3 ° integrale, per semplificare i calcoli, ci poniamo in un quadro di riferimento senza peso e quindi abbiamo . (Ma in generale perché il simbolo di Christoffel non è un tensore). ${\ displaystyle \ R ^ {ij} = \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ partial ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ neq D ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij}}$

Quindi , supponendo che la variazione di lasci il quadro di riferimento privo di peso a questo punto, il che lascia ancora un'infinità di possibili variazioni per loro . ${\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ delta \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ delta \ partial ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj} = \ partial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ partial ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

In qualsiasi repository, dove il simbolo è il simbolo di Christoffel nello stesso punto ma con termini modificati ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '}$ ${\ displaystyle \ sinistra (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ destra) '}$ ${\ displaystyle \ \ Gamma _ {l} ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

abbiamo quella che è una differenza tra due tensori definiti nello stesso punto, quindi è un tensore (a differenza del simbolo di Christoffel). ${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ partial ^ {j} V_ {i} \ to \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} .V_ {j} - \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '. V_ {j} = \ partial ^ {j} V_ {i} - \ sinistra (\ partial ^ {j} V_ {i} \ right) '}$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

E per questo tensore, nel quadro di riferimento in assenza di gravità (e lasciato come tale, nel punto considerato, dalla variazione di ), quindi ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ partial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ partial ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. [g_ {ij} .D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {ij} .D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}] = {\ sqrt {-g}}. [D ^ {l} \ left ( g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) -D ^ {i} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} \ right)] }$

perché e anche ${\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$ ${\ displaystyle ~ \ quad D ^ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

da dove . $~\quad {\sqrt {-g}}.g_{ij}.\delta R^{ij}={\sqrt {-g}}.D^{l}\left(g_{ij}. \delta \Gamma _{l}^{ij}-g_{lj}.\delta \Gamma _{i}^{ij}\right)={\sqrt {-g}}.D^{l}A_{ l}$

Quindi, usando il teorema di Ostrogradski, ${\ displaystyle \ int {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ {l} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. A_ {l} .dS ^ {l} = 0}$

La nullità dell'ultimo integrale è dovuta al fatto che è calcolato sull'ipersuperficie che delimita il volume di integrazione e al fatto che le variazioni di sono nulle sul confine di integrazione. ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Otteniamo : ${\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ sinistra (R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R \ destra) {\ sqrt {-g}} . \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

Il principio di minima azione dicendo quello e le variazioni essendo qualsiasi, si ottiene , spesso, quello che si scrive (e si dimostra) abbassando gli indici. ${\ displaystyle \ \ delta S_ {g} = 0}$ ${\ displaystyle \ \ delta g_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R = 0}$

Le equazioni dedotte sono:

${\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = 0}$

Facendo la "contrazione" si ottiene , il che non significa che lo spazio sia piatto, ma piuttosto che si tratta di una superficie minima di quattro dimensioni, tesa tra le varie masse che vi si evolvono. ${\ displaystyle \ g ^ {ij} R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} .g_ {ij} R = 0}$ ${\ displaystyle \ R = 0}$

Le equazioni di Einstein nel caso esterno sono quindi:

${\ displaystyle \ R_ {ij} = 0}$

Le equazioni di Einstein del campo gravitazionale nel caso interno

Il secondo caso delle equazioni di campo è il caso in cui c'è materia (localmente): si parla di “caso interno”, cioè “nella materia”.

In questo caso, l'azione è costituita dall'azione del campo gravitazionale e dall'azione della materia, compreso il campo elettromagnetico, che si scrive . ${\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ displaystyle \ S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ sqrt {-g}}. \ Lambda _ {m} d \ Omega}$

Dimostrazione delle equazioni di Einstein nel caso interno

Utilizzando lo stesso metodo variazionale, sapendo che , utilizzando l'integrazione per parti, e il teorema di Ostrogradski che permette di scrivere in un sistema di riferimento a gravità zero ${\ displaystyle \ \ delta \ partial = \ partial \ delta}$ ${\ displaystyle \ int \ partial _ {l} [{\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ right)} {\ partial \ left (\ partial _ {l } g_ {ik} \ right)}}] d \ Omega = \ int \ partial _ {l} [{\ sqrt {-g}} {\ frac {\ partial \ left (\ Lambda _ {m} \ right) } {\ partial \ left (\ partial _ {l} g_ {ik} \ right)}}] d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}} {\ frac {\ partial \ left (\ Lambda _ { m} \ right)} {\ partial \ sinistra (\ partial _ {l} g_ {ik} \ right)}} dS_ {l} = 0}$

Definendo il tensore impulso-energia dall'uguaglianza ${\ displaystyle \ T ^ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} = {\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ right)} {\ partial g_ {ik}}} - \ partial _ {l} [{\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ right)} {\ parziale \ sinistra (\ partial _ {l} g_ {ik} \ right)}}]}$

Otteniamo : ${\ displaystyle \ delta S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} \ delta g_ {ij } d \ Omega}$

Quindi, posando , e concludiamo allo stesso modo del caso esterno . ${\ displaystyle \ chi = - {\ frac {1} {2c.K}}}$

Le equazioni dedotte sono:

${\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = \ chi T_ {ij}}$

Con la contrazione simile al caso esterno , sapendo che e posando , abbiamo . La curvatura principale è quindi proporzionale alla densità di energia totale (o traccia tensoriale ). ${\ displaystyle \ g_ {ij} g ^ {ij} = 4}$ ${\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ R = - \ chi T}$ ${\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ T_ {ij}}$

Possiamo quindi scrivere anche:

${\ displaystyle \ R_ {ij} = \ chi \ sinistra (T_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} T \ destra)}$

Appunti

Jean-Claude Boudenot risale al 1916, pagina 162 del suo libro Électromagnétisme et gravitation relativistes , ellipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 ) ; in Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 2: Teoria dei campi [ dettaglio delle edizioni ], §93 nota a piè di pagina all'inizio del paragrafo, si dice che questo metodo fu suggerito da Hilbert già nel 1915, il che conferma Jean-Paul Auffray p. 247 (paragrafo Hilbert va a pescare ) dal suo libro Einstein et Poincaré , edizione Le Pommier , 1999, ( ISBN 2 746 50015 9 ) .
Elie Cartan, Journal of Pure and Applied Mathematics, 1, 1922, p. 141-203 .

Fonti

Jean-Claude Boudenot; Relativistic Electromagnetism and Gravitation , Ellipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 )
Jean-Louis Basdevant; Principi variazionali e dinamici , Vuibert (2005), ( ISBN 2711771725 ) .
Edgard Elbaz; Relatività generale e gravitazione , ellisse (1986).

Bibliografia

Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 2: Teoria dei campi [ dettaglio delle edizioni ]
Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (in) e Matthew Sands (in) , il La fisica di Feynman [ pubblicazione di dettagli ], Elettromagnetismo (I) , cap. 19, InterEditions, 1979 ( ISBN 2-7296-0028-0 ) ; canna. Dunod, 2000 ( ISBN 2-10-004861-9 )
Florence Martin-Robine, Storia del principio di azione minore , Vuibert, 2006 ( ISBN 2711771512 )