Operatore bilaplaciano
L'operatore bilaplaciano , o operatore biarmonico, è, come suggerisce il nome, il nome dato all'operatore laplaciano applicato due volte.
Espressione
In un sistema di coordinate cartesiane , viene scritto il bilaplaciano
X1,X2,...Xnon{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ... x_ {n}}![{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ... x_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0568afbc0ba2ed04ce54c7339ee60c325ff4f3)
Δ2=∇4=∑io∂4(∂Xio)4+2∑io<j∂4(∂Xio)2(∂Xj)2{\ displaystyle \ Delta ^ {2} = \ nabla ^ {4} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial ^ {4}} {(\ partial x_ {i}) ^ {4}}} + 2 \ sum _ {i <j} {\ frac {\ partial ^ {4}} {(\ partial x_ {i}) ^ {2} (\ partial x_ {j}) ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ Delta ^ {2} = \ nabla ^ {4} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial ^ {4}} {(\ partial x_ {i}) ^ {4}}} + 2 \ sum _ {i <j} {\ frac {\ partial ^ {4}} {(\ partial x_ {i}) ^ {2} (\ partial x_ {j}) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5968ea930c18e3997da533d43fe5b65b2606d827)
.
D'altra parte, in uno spazio di dimensione euclideo , si verifica sempre la seguente relazione:
non{\ displaystyle n}![non](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Δ2(1r)=3(15-8non+non2)r5{\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) = {\ frac {3 (15-8n + n ^ {2})} {r ^ {5}} }}
con la distanza euclidea :
r{\ displaystyle r}![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
r=X12+X22+...+Xnon2=(∑K=1nonXK2)12{\ displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ ldots + x_ {n} ^ {2}}} = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}![{\ displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ ldots + x_ {n} ^ {2}}} = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16bb15373ee80c639c7aec45da54933f4cc78747)
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Vedi anche
Riferimento