Il numero fortunato di Eulero

In matematica , un numero Eulero fortunato è un numero naturale $p > 1$ tale che:

{\ displaystyle P_ {p} (n) = n ^ {2} + n + p}

è un numero primo per tutto .

{\ displaystyle n = 0,1, ..., p-2}

Formulazione equivalente, a volte riscontrata:

{\ displaystyle Q_ {p} (n) = n ^ {2} -n + p}

è un numero primo per tutto o per tutto .

{\ displaystyle n = 1, ..., p-1}

{\ displaystyle n = 0,1, ..., p-1}

Elenco dei numeri fortunati di Eulero

Leonhard Euler ha identificato sei numeri fortunati:

{\ displaystyle p = 2,3,5,11,17,41}

e la loro denominazione numero fortunato di Eulero è stata proposta da François Le Lionnais .

In realtà non ce n'è altro, come fu dimostrato nel 1952 . Questo risultato si basa su un teorema di Rabinowitch che afferma che un intero $p > 1$ è fortunato se e solo se $4 p - 1$ (l'opposto del discriminante del polinomio quadratico $P p$ ) è un numero di Heegner . Tuttavia, l'elenco dei numeri di Heegner si è ridotto ai nove numeri 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 e 163, i primi tre dei quali non sono della forma $4 p - 1$ con $p > 1$ .

p (numero fortunato di Eulero)	4 p - 1 (numero di Heegner corrispondente)
2	7
3	11
5	19
11	43
17	67
41	163

Caso speciale di 41

Il maggior numero fortunato di Eulero è quindi $p$ = 41. I 40 numeri primi $P 41 ( n )$ per $n$ = 0, 1,…, 39 sono: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83,…, 1447 , 1523, 1601. Il polinomio n² + n + 41 ha la particolarità di fornire molti numeri primi per n> 41, e non c'è nessun altro polinomio della forma n² + an + b, con coefficienti aeb interi positivi e minori di 10.000, che produce una sequenza più lunga di numeri primi.

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Lucky numbers of Euler " ( vedere l'elenco degli autori ) .

$n = p - 1$ viene automaticamente escluso poiché $P p ( p - 1) = p 2$ .
$Q p ( n ) = P p ( n - 1)$ .
(a) Eric W. Weisstein , " Lucky Number of Euler " su MathWorld .
$Q p (0) = Q p (1)$ .
Seguendo A014556 di OEIS .
François Le Lionnais , I numeri notevoli , Parigi, Hermann, 1983, p. 88 e 144.
(De) G. Rabinowitch , "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern" , in Proc. Quinto Internat. Congresso di matematica. (Cambridge) , vol. 1,1913( leggi in linea ) , p. 418-421.
(De) Georg Rabinowitsch , " Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern " , Journal für die Reine und angewandte Mathematik , vol. 142,1913, p. 153-164 ( leggi in linea ).
Gérard Villemin, "Numeri - Curiosità, teoria e usi" .

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