Multifrattale

La geometria multifrattale è un'estensione della geometria frattale a misure matematiche . Per estensione, le misurazioni multifrattali rispettano la proprietà dell'invarianza di scala. Il passaggio da un insieme di punti a una misura induce una complessificazione dei comportamenti di ridimensionamento. In un normale frattale , solo un comportamento in scala governa la sua forma.

Con una misurazione multifrattale, invece di avere un singolo comportamento di ridimensionamento, osserviamo una moltitudine di comportamenti di ridimensionamento intermiscelati. Per descrivere questa pluralità di comportamenti in scala, una singola dimensione frattale è insufficiente ei ricercatori ricorrono a strumenti più sofisticati. Un primo approccio consiste nell'usare dimensioni frattali generalizzate. Un secondo approccio si basa sulla valutazione di uno spettro multifrattale. In pratica, per una grande classe di oggetti multifrattali, questi due approcci sono equivalenti e si passa dall'uno all'altro da una trasformata di Legendre.

Spettro

${\ displaystyle D_ {q} = {\ frac {1} {q-1}} log (\ sum _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} ^ {q})}$

Dimensioni

Nella geometria multifrattale, come nella geometria frattale classica, la nozione di dimensione è plurale. In letteratura , ci sono principalmente due tipi di misure che sono: dimensioni relative alle cosiddette dimensioni di conteggio scatole e dimensioni relative alla dimensione di Hausdorff.

Per tutte le misurazioni esistono solo le dimensioni relative alla dimensione di Hausdorff. Ma in pratica si possono calcolare solo le dimensioni relative alle cosiddette dimensioni <<Box-counting>>.

La dimensione multifrattale del conteggio delle scatole è definita come un passaggio al limite dell'entropia di Rényi .

Applicazione in finanza

Laurent-Emmanuel Calvet e Adlai Fisher hanno sviluppato modelli multifrattali per valutare il rischio delle attività finanziarie.

Note e riferimenti

(in) Laurent Emmanuel Calvet, Multifractal Volatility: Theory, Forecasting and Pricing , Academic Press ,2008, 258 p. ( ISBN 978-0-12-150013-9 e 0-12-150013-6 , leggi online )

link esterno

Stanley HE, Meakin P., " Fenomeni multifrattali in fisica e chimica ", Nature , vol. 335, n o 6189,1988, p. 405–9 ( DOI 10.1038 / 335405a0 , leggi online [Recensione])
Alain Arneodo , Benjamin Audit , Pierre Kestener e Stephane Roux , " Analisi multifrattale basata su Wavelet ", Scholarpedia , vol. 3, n o 3,2008, p. 4103 ( ISSN 1941-6016 , DOI 10.4249 / scholarpedia.4103 , leggi in linea )
(en) Film di visualizzazioni di multifrattali
Commutazione markov multifrattale