Metrica di Cayley-Klein

In matematica, una metrica di Cayley-Klein è una metrica definita sul complemento di una quadrica fissa di uno spazio proiettivo , la quadrica assoluta, utilizzando il rapporto incrociato . Questa metrica è stata costruita da Arthur Cayley nel 1859; la costruzione fu completata da Felix Klein tra il 1871 e il 1873. Le metriche di Cayley-Klein forniscono un quadro unificato per le diverse geometrie euclidee e non euclidee , definendo in tutti i casi la nozione di distanza mediante la stessa costruzione.

Storico

Tra le idee che hanno costituito la base per la costruzione di Cayley-Klein, c'è "l' algebra dei getti (in) " creata da Karl von Staudt nel 1847, un approccio alla geometria che non coinvolge distanze o angoli, e utilizza solo i concetti di divisione armonica e rapporto incrociato . Nel 1853, Edmond Laguerre ottenne un altro importante risultato (in) , mostrando che l'angolo tra due linee (in geometria euclidea) può essere calcolato da un incrocio. Infine, nel 1859, Arthur Cayley formulò nel suo articolo Sulla teoria della distanza, relazioni esprimenti distanze dai calcoli (in geometria proiettiva ) legate ad una quadrica da lui definita come l' assoluto della geometria studiata. Felix Klein , negli articoli del 1871 e del 1873, poi in una serie di lavori, riprende l'opera di von Staudt, rimuove gli ultimi riferimenti alla distanza euclidea, e la combina con la teoria di Cayley per definire la nuova metrica come il logaritmo di una croce -ratio, eliminando il rischio di una definizione circolare e mostrando che le geometrie non euclidee potrebbero, come la geometria euclidea, essere definite da questa metrica.

La geometria di Cayley-Klein (seguendo i principi del programma di Erlangen ) è lo studio del gruppo di isometria per questa metrica; dimostriamo che questo è il sottogruppo delle trasformazioni proiettive che lasciano globalmente invariante la quadrica assoluta ; ogni scelta di quadrica corrisponde ad una delle geometrie classiche ( euclidea , iperbolica , ellittica , ecc.).

Definizione

Fissiamo una quadrica Q di uno spazio proiettivo E sul campo dei complessi; Q è detta quadrica assoluta della geometria che vogliamo definire. Se un e b sono due punti distinti in E , non in Q , la linea ( a, b ) interseca Q in altri due punti p e q . La distanza Cayley – Klein d ( a , b ) è proporzionale al logaritmo del rapporto di incrocio ( a, b; p, q ): , dove è una costante. ${\ displaystyle d (a, b) = C \ ln (a, b; p, q)}$ $VS$

Se il incrocio è positivo, è reale (questo corrisponde ad una geometria iperbolica ; il valore 1/2 dà una curvatura ); in caso contrario, è necessario prendere complessi (uno è allora nel caso di una geometria ellittica ). $VS$ ${\ stile di visualizzazione K = -1}$ $VS$

Per i calcoli algebrici (e usando una forma di rappresentazione più moderna), ci si pone in coordinate omogenee , e si fissa una forma quadratica ; indichiamo la forma bilineare associata , chiamata in questo contesto forma polare di , definita da . Quadrica assoluta quindi equazione ( nello specifico , essendo un punto coordinato , con nel caso del piano e nello spazio, inoltre, la matrice è simmetrica, we ); dimostriamo quindi che la distanza Cayley – Klein tra i punti e è: ${\ stile di visualizzazione Q}$ $B$ ${\ stile di visualizzazione Q}$ ${\ displaystyle B (u, v) = {\ frac {1} {2}} \ sinistra (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ destra)}$ ${\ stile di visualizzazione Q (x) = 0}$ ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ $X$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3,4 \}}$ ${\ stile di visualizzazione Q}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha \ beta} = q _ {\ beta \ alpha}}$ $X$ $sì$

{\ displaystyle d = C \ ln {\ frac {B (x, y) + {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}} {B (x, y) - {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}}}}

; con questa notazione .

{\ displaystyle B (x, y) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}}

Prendendo per semplicità, si deduce che nel caso iperbolico: ${\ stile di visualizzazione C = 1/2}$

{\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

e nel caso ellittico (prendendo ): ${\ stile di visualizzazione C = i / 2}$

{\ displaystyle d = \ operatorname {arccos} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

Forme normali della quadrica assoluta

Nel caso reale, qualsiasi quadrica definita dall'equazione può essere posta da cambio (lineare) di variabile nella forma , con ( riduzione gaussiana ), il numero di ogni tipo non dipende dal cambio di variabile, secondo la legge di inerzia di Silvestro . Si ottiene nel consueto spazio euclideo la seguente classificazione (si veda l'articolo quadrico e gli articoli di dettaglio per le illustrazioni): ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ ${\ displaystyle Q (X) = \ sum \ epsilon _ {i} X_ {i} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i} \ in \ {0,1, -1 \}}$ $\ epsilon _ {i}$

Classificazione delle quadriche I. Quadriche regolari . 1 .. Superficie vuota.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}

2 .. Superfici topologicamente simili alla sfera.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Ellissoide (nessuna intersezione con il piano dell'infinito). b) Paraboloide ellittico (tangente al piano dell'infinito). c) Iperboloide a due strati (secante con il piano dell'infinito). 3. . Superfici topologicamente simili alla bottiglia di Klein .

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Iperboloide di un foglio (secante con il piano dell'infinito). b) Paraboloide iperbolico (tangente al piano dell'infinito). II. Coni . 1 .. "coni" vuoti.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Cono ridotto alla sua sommità. b) Cilindro vuoto (vertice nel piano all'infinito). 2 .. "coni" ordinari.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Cono b) Cilindro ellittico (vertice nel piano all'infinito) c) Cilindro parabolico (doppia linea nel piano infinito) d) Cilindro iperbolico (due rette nel piano all'infinito) III. Coppie di piani . 1 .. Piani immaginari coniugati.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Intersezione a distanza finita. b) Piani paralleli. 2 .. Piani reali.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Intersezione a distanza finita. b) Piani paralleli. c) Un piano a distanza finita e il piano dell'infinito. IV. Doppio piano. 1 ..

{\ stile di visualizzazione x_ {1} ^ {2} = 0}

a) Doppio piano a distanza finita. b) Piano dell'infinito contato due volte.

Le trasformazioni proiettive biunivoche (le collineazioni ) che lasciano invariate queste forme sono legate alle trasformazioni di Möbius . Queste forme portano a semplici equazioni per la distanza di Cayley-Klein; il piano euclideo ha quindi per assolute le linee isotrope (o, se si preferisce, i punti ciclici ). Allo stesso modo, il piano iperbolico ha come unità assoluta il cerchio , e come distanza di Cayley-Klein . ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0, \ x_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}}}$

Relatività

Nelle sue lezioni del 1919 e del 1920 (pubblicate postume nel 1926) sulla storia della matematica, Klein scrisse:

“Il caso (o , stare in tre dimensioni e usare coordinate omogenee ) ha recentemente acquisito un significato speciale attraverso la teoria della relatività . " ${\ stile di visualizzazione x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}$

In altre parole, la geometria iperbolica assoluta conica (o quadrica), o corrisponde agli intervalli o al tempo-spazio , e lasciando invarianti le trasformazioni quadriche assolute sono in corrispondenza delle trasformazioni di Lorentz . Allo stesso modo, le equazioni del cerchio o della sfera unitaria in geometria iperbolica corrispondono a velocità fisiche o , che, in relatività, sono limitate dalla velocità della luce c , quindi per qualsiasi vettore fisico velocità v , il rapporto v / c deve rimanere all'interno della sfera unitaria, che costituisce l'assoluto di questa geometria. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}$ ${\ stile di visualizzazione x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ stile di visualizzazione x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sinistra ({\ tfrac {dx} {dt}} \ destra) ^ {2} + \ sinistra ({\ tfrac {dy} {dt}} \ destra) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ sinistra ({\ tfrac {dx} {dt}} \ destra) ^ {2} + \ sinistra ({\ tfrac {dy} {dt}} \ destra) ^ {2} + \ sinistra ({\ tfrac {dz} {dt}} \ destra) ^ {2} = 1}$

Altri aspetti di questa relazione tra la metrica Cayley – Klein per lo spazio iperbolico e quella dello spazio Minkowski nella relatività ristretta furono evidenziati da Klein nel 1910, nonché nell'edizione del 1928 delle sue lezioni sulla geometria non euclidea .

Geometria affine CK

Nel 2008, Horst Martini e Margarita Spirova hanno generalizzato il primo dei teoremi di Clifford sui cerchi (in) e altri teoremi della geometria euclidea utilizzando la geometria affine associata a una metrica di Cayley-Klein: l'idea è di applicare la stessa costruzione alle coniche assolute degeneri ( formato dal prodotto di una linea e la linea dell'infinito); il ruolo svolto dai complessi nella geometria euclidea è devoluto ai complessi scissi nelle loro costruzioni.

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “ Cayley – Klein metric ” ( vedi elenco degli autori ) .

Klein & Rosemann (1928), p. 163
Klein & Rosemann (1928), p. 138
Cayley (1859), p 82, §§209-229
Klein & Rosemann (1928), p. 303
Pierpont (1930), p. 67ff
Klein (1871, 1873), Klein (1893ab), Fricke/Klein (1897), Klein (1910), Klein/Ackerman (1926/1979), Klein/Rosemann (1928)
Klein & Rosemann (1928), pp. 163, 304
Russell (1898), pagina 32
Campo & Papadopoulos (2014)
Se questa retta è tangente a Q , abbiamo p = q .
Klein & Rosemann (1928), p. 164
Klein & Rosemann (1928), p. 167ff
Veblen & Young (1918), p. 366
Veblen & Young (1918), p. 372
Klein & Rosemann (1928), p. 68; si vedano anche le classificazioni alle pagine 70, 72, 74, 85 e 92.
Klein & Rosemann (1928), capitolo III
Klein & Rosemann (1928), pp. 132f
Klein & Rosemann (1928), pp. 185, 251
Klein/Ackerman (1926/1979), p. 138
Klein (1910)
Klein & Rosemann (1928), capitolo XI, §5
Martini e Spirova (2008)

Bibliografia

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complementi

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