Legge di Tukey-lambda
Legge di Tukey-lambda
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impostazioni
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λ∈R{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } parametro di forma
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Supporto
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{x∈[−1λ,1λ] pour λ>0x∈R pour λ<0{\displaystyle {\begin{cases}x\in [{\frac {-1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }}]&{\text{ pour }}\lambda >0\\x\in \mathbb {R} &{\text{ pour }}\lambda <0\end{cases}}}
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Densità di probabilità
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dato dai quantili: (Q(p;λ),Q′(p;λ)−1),0≤p≤1{\displaystyle (Q(p;\lambda )\,,Q'(p;\lambda )^{-1}),\,0\leq \,p\,\leq \,1}
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Funzione di distribuzione
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(e−x+1)−1, pour λ=0{\displaystyle (e^{-x}+1)^{-1},{\text{ pour }}\lambda =0}
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Speranza
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0 pour λ>−1{\displaystyle 0{\text{ pour }}\lambda >-1}
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Mediano
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0
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Moda
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0
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Varianza
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{2λ2(11+2λ−Γ(λ+1)2Γ(2λ+2)) si λ>−1/2π23 si λ=0{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}{\frac {1}{1+2\lambda }}-{\frac {\Gamma (\lambda +1)^{2}}{\Gamma (2\lambda +2)}}{\bigg )}&{\text{ si }}\lambda >-1/2\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}&{\text{ si }}\lambda =0\end{cases}}}
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Asimmetria
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0 pour λ>−1/3{\displaystyle 0{\text{ pour }}\lambda >-1/3}
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Curtosi normalizzata
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(2λ+1)22(4λ+1)g22(3g22−4g1g3+g4)g4(g12−g2)2−3,{\displaystyle {\frac {(2\lambda +1)^{2}}{2(4\lambda +1)}}{\frac {g_{2}^{2}{\big (}3g_{2}^{2}-4g_{1}g_{3}+g_{4}{\big )}}{g_{4}{\big (}g_{1}^{2}-g_{2}{\big )}^{2}}}-3,} dove e .
gk=Γ(kλ+1){\displaystyle \scriptstyle g_{k}=\Gamma (k\lambda +1)} λ>−1/4{\displaystyle \scriptstyle \lambda >-1/4}![\ scriptstyle \ lambda> -1/4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c7af47fdfd3773b618ef28a934719c5d42818f) |
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Entropia
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∫01log(Q′(p;λ))dp{\displaystyle \int _{0}^{1}\log(Q'(p;\lambda ))\,dp}![\ int _ {0} ^ {1} \ log (Q '(p; \ lambda)) \, dp](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc3a946e3c1de37043acb9122f6d6f3726bb336) |
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Funzione caratteristica
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∫01exp(itQ(p;λ))dp{\displaystyle \int _{0}^{1}\exp(\,it\,Q(p;\lambda ))\,dp}![\ int _ {0} ^ {1} \ exp (\, it \, Q (p; \ lambda)) \, dp](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803c9a1746031e15e83abfd2f3ad188d2c69d327) |
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In teoria e statistica della probabilità , la legge di Tukey-lambda è una legge di probabilità con supporto compatto o infinito, a seconda del valore del suo parametro. Questa legge è densità, tuttavia la sua densità non ha espressione analitica. La legge è quindi definita dai suoi quantili .
Impostazioni diverse
La legge Tukey -lambda è nota implicitamente dalla distribuzione del suo quantile :
G(p)≡F−1(p)={[pλ−(1−p)λ]/λ,si λ≠0log(p)−log(1−p),si λ=0{\displaystyle G(p)\equiv F^{-1}(p)={\begin{cases}\left[p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\right]/\lambda ,&{\mbox{si }}\lambda \neq 0\\\log(p)-\log(1-p),&{\mbox{si }}\lambda =0\end{cases}}}![G (p) \ equiv F ^ {{- 1}} (p) = {\ begin {case} \ left [p ^ {\ lambda} - (1-p) ^ {\ lambda} \ right] / \ lambda , & {\ mbox {si}} \ lambda \ neq 0 \\\ log (p) - \ log (1-p), & {\ mbox {si}} \ lambda = 0 \ end {cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3339458c45a04018aea1adbcff49280786c64258)
Il parametro è un parametro di forma , come riepilogato nella tabella seguente.
λ{\displaystyle \lambda }![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
La densità e la funzione di distribuzione di questa legge devono essere approssimate numericamente. Questa legge è stata successivamente generalizzata.
Leggi di Tukey-lambda generalizzate
- La versione di Ramberg e Schmeiser
G(p)=λ1+pλ3−(1−p)λ4λ2{\displaystyle G(p)=\lambda _{1}+{p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}} \over \lambda _{2}}}
- La versione di Freimer, Mudholkar, Kollia e Lin
G(p)=λ1+pλ3λ3−(1−p)λ4λ4λ2{\displaystyle G(p)=\lambda _{1}+{{{\frac {p^{\lambda _{3}}}{\lambda _{3}}}-{\frac {(1-p)^{\lambda _{4}}}{\lambda _{4}}}} \over \lambda _{2}}}
Note e riferimenti
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(in) Oldrich Vasicek , " A Test for Normality Based on Sample Entropy " , Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological) , vol. 38, n o 1,1976, p. 54-59
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(in) WT Shaw e J. McCabe , " Campionamento Monte Carlo con una funzione caratteristica: Quantile Momentum Mechanics in Space " , Eprint-arXiv: 0903.1592 ,2009
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Hastings, C e Mosteller, F e Tukey JW e Winsor, C P. Momenti bassi per piccoli campioni: uno studio comparativo delle statistiche degli ordini , Ann. Matematica. Statista. 18.413-426; 1947
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Ramberg, John S. e Schmeiser, Bruce W., Un metodo approssimativo per la generazione di variabili casuali simmetriche , Communications of the ACM , Volume 15, Numero 11 (novembre 1972) Pagine: 987 - 990, Anno di pubblicazione: 1972
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Freimer, M e Mudholkar, GS e Kollia, G e Lin GT, Uno studio della famiglia lambda di tukey generalizzata , Communications in Statistics-Theory and Methods , 1988
link esterno
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