Integrazione per parti

In matematica , l' integrazione per parti (a volte abbreviata in IPP) è un metodo per trasformare l' integrale di un prodotto di funzioni in altri integrali. Viene spesso utilizzato per calcolare un integrale (o un antiderivativo ) di un prodotto di funzioni. Questa formula può essere vista come una versione integrale della regola del prodotto .

Il matematico Brook Taylor scoprì l'integrazione delle parti, pubblicando l'idea per la prima volta nel 1715. Esistono formulazioni più generali dell'integrazione delle parti per l'integrale di Riemann-Stieltjes e per l' integrale di Lebesgue-Stieltjes . L'analogo discreto per le sequenze è chiamato sommatoria per parti .

Dichiarazione standard

La formula standard è come segue, dove $u$ e $v$ sono due differenziabili funzioni , con continue derivati e $un$ e $b$ due reali della loro definizione intervallo :

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u (x) v '(x) \, \ mathrm {d} x = [uv] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} u '(x) v (x) \, \ mathrm {d} x}

o ancora, notando che $u ' ( x ) d x$ e $v' ( x ) d x$ sono rispettivamente i differenziali di $u$ e $v$ :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u \, \ mathrm {d} v = [uv] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} v \, \ mathrm {di}

. Dimostrazione

La dimostrazione del teorema segue direttamente dalla regola del prodotto :

(uv) '= u'v + uv'

Quindi abbiamo

{\ displaystyle uv '= (uv)' - u'v}

poi

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u (x) v '(x) ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} (uv)' (x) ~ \ mathrm {d} x- \ int _ {a} ^ {b} u '(x) v (x) ~ \ mathrm {d} x}

che, secondo il secondo teorema fondamentale dell'analisi , dà l'uguaglianza annunciata.

Variante di "dimostrazione" con la notazione di Leibniz

Lasciate Essere due funzioni derivabili $u$ e $v$ . La regola di derivazione del prodotto ci dà:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (uv)} {\ mathrm {d} x}} = u {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}} + v { \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}}}

Passando ai differenziali , otteniamo:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} (uv) = u \ mathrm {d} v + v \ mathrm {d} u}

Quindi riorganizziamo l'espressione come segue:

{\ Displaystyle u \ mathrm {d} v = \ mathrm {d} (uv) -v \ mathrm {d} u}

Ora è sufficiente integrare l'equazione:

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u \, \ mathrm {d} v = \ int _ {a} ^ {b} \ mathrm {d} (uv) - \ int _ {a} ^ { b} v \, \ mathrm {d} u}

Otteniamo quindi:

> .

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u \, \ mathrm {d} v = [uv] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} v \, \ mathrm {di}

Scelta delle funzioni del prodotto

Una delle due possibili scelte per le funzioni $u$ e $v '$ potrebbe rivelarsi migliore dell'altra.

{\ displaystyle I = \ int _ {1} ^ {2} x \ ln x \, \ mathrm {d} x}

Se si sceglie $u = ln$ e $v ' ( x ) = x$ , abbiamo $u' ( x ) = 1 / x$ e si può prendere $v ( x ) = x 2 /2$ , dove:

{\ Displaystyle I = \ int _ {1} ^ {2} x \ ln x \, \ mathrm {d} x = \ left [{\ frac {x ^ {2}} {2}} \ ln x \ right ] _ {1} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ int _ {1} ^ {2} x \, \ mathrm {d} x = \ left [{\ frac {x ^ { 2}} {2}} \ ln x \ right] _ {1} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ left [{\ frac {x ^ {2}} {2}} \ destra] _ {1} ^ {2}}

D'altra parte, se scegliamo $u ( x ) = x$ e $v ' = ln$ , abbiamo $u' = 1$ e possiamo prendere $v ( x ) = x ln ( x ) - x$ , quindi:

{\ Displaystyle I = \ int _ {1} ^ {2} x \ ln x \, \ mathrm {d} x = \ left [x (x \ ln xx) \ right] _ {1} ^ {2} - \ int _ {1} ^ {2} (x \ ln xx) \, \ mathrm {d} x}

Notiamo immediatamente che questo integrale è più complicato dell'integrale iniziale, tuttavia da allora si riduce ad esso . ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {2} (x \ ln xx) \, \ mathrm {d} x = I-3/2}$

Esempi

Calcoliamo ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} x \ cos x \, \ mathrm {d} x}$ grazie all'integrazione per parti.
Per fare ciò, sia $u ( x ) = x$ , tale che $u ' = 1$ e $v' = cos$ , tale che $v = sin$ , ad esempio ( cioè fino ad una costante additiva, che comunque scomparirebbe durante l'intermedio calcoli). Egli viene : ${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} x \ cos x \, \ mathrm {d} x & = \ left [u (x) v ( x) \ right] _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} - \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} u '(x) v (x) \ , \ mathrm {d} x \\ & = \ left [x \ sin x \ right] _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} - \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} \ sin (x) \, \ mathrm {d} x \\ & = {\ frac {\ pi {\ sqrt {3}}} {6}} + \ left [\ cos x \ right ] _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} \\ & = {\ frac {\ pi {\ sqrt {3}}} {6}} - {\ frac {1} {2}} . \ end {allineato}}}$
Questo è il metodo classico per trovare un antiderivativo del logaritmo naturale : ${\ displaystyle \ int _ {\ mathrm {e}} ^ {x} \ ln t \, \ mathrm {d} t = x \ ln xx}$ .
Un'integrazione per parti su un integrale improprio stabilisce l' equazione funzionale della funzione gamma .
Una doppia integrazione per parti (l'integrale ottenuto dall'applicazione della formula è calcolato anche da una nuova integrazione per parti) consente ad esempio di mostrare che ${\ Displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ sin x \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} \ left (\ sin x- \ cos x \ destra)} {2}} + C}$ e allo stesso modo, ${\ Displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ cos x \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} \ left (\ sin x + \ cos x \ destra)} {2}} + C}$ ,dove la $C$ reale è una costante di integrazione.

Generalizzazioni

Possiamo estendere questo teorema alle funzioni continue e alla classe C 1 a tratti sul segmento di integrazione (ma la continuità è essenziale).
Per induzione, possiamo generalizzare questo teorema a funzioni di classe C $n +1$ :

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u (x) v ^ {(n + 1)} (x) \, \ mathrm {d} x = \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} u ^ {(k)} v ^ {(nk)} \ right] _ {a} ^ {b} + (- 1) ^ {n + 1} \ int _ {a} ^ {b} u ^ {(n + 1)} (x) v (x) \, \ mathrm {d} x}

Se, $[ un , b ]$ , $u$ è assolutamente continua e $g$ è integrabile , allora

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} ug = [uv] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} u'v}

, per qualsiasi funzione

v

tale che

{\ Displaystyle \ forall x \ in [a, b] \ quad v (x) = v (a) + \ int _ {a} ^ {x} g}

. La dimostrazione è essenzialmente la stessa di sopra, con le derivate definite solo quasi ovunque e utilizzando l'assoluta continuità di

v

uv

Formule di integrazione per parti con più variabili

L'integrazione parziale può essere estesa a funzioni di più variabili applicando una versione appropriata del teorema fondamentale di analisi (ad esempio una conseguenza del teorema di Stokes come il teorema del gradiente o il teorema della divergenza ) a un'operazione generalizzante la regola di derivazione di un prodotto .

Esistono quindi molte versioni di integrazioni per parti riguardanti funzioni con più variabili, che possono coinvolgere funzioni con valori scalari o anche funzioni con valori vettoriali .

Alcune di queste integrazioni parziali sono chiamate identità verdi .

Un esempio che coinvolge la divergenza

Ad esempio, se u ha valori scalari e V è valori vettoriali ed entrambi sono regolari , abbiamo la regola della divergenza di un prodotto

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (u \, \ mathbf {V}) = u \, \ operatorname {div} \ mathbf {V} + \ operatorname {grad} u \ cdot \ mathbf {V}.}

Sia Ω un insieme aperto di ℝ d che è limitato e il cui bordo Γ = ∂Ω è liscio a tratti . Applicando il teorema della divergenza si ottiene:

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} u \, \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ Gamma = \ int _ {\ Omega} \ operatorname {div} (u \ , \ mathbf {V}) \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Omega} u \, \ operatorname {div} \ mathbf {V} \, \ mathrm {d} \ Omega + \ int _ {\ Omega} \ operatorname {grad} u \ cdot \ mathbf {V} \, \ mathrm {d} \ Omega}

dove n è l'unità in uscita normale a Γ. Quindi abbiamo

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} u \, \ operatorname {div} (\ mathbf {V}) \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Gamma} u \, \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ Gamma - \ int _ {\ Omega} \ operatorname {grad} (u) \ cdot \ mathbf {V} \, \ mathrm {d} \ Omega}

Possiamo dargli ipotesi deboli: il bordo può essere solo Lipschitzian e le funzioni U e V appartengono al spazi di Sobolev H 1 (Ω) e H 1 (Ω) d .

La prima identità di Green

Sia ( e 1 , ...., e d ) la base canonica di ℝ d . Applicando la formula di integrazione per parti sopra per u i e v e io dove u e v sono funzioni scalari regolari, si ottiene una nuova formula di integrazione per parti

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} u \, {\ frac {\ partial v} {\ partial x_ {i}}} \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Gamma} u \, v \, n_ {i} \, \ mathrm {d} \ Gamma - \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {i}}} \, v \, \ mathrm {d } \ Omega}

dove n = ( n 1 , ...., n d ).

Considera ora un campo vettoriale regolare

{\ Displaystyle \ mathbf {U} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + u_ {n} \ mathbf {e} _ {n}}

Applicando la formula di integrazione per parti sopra a u i e v e i e sommando su i , otteniamo nuovamente una nuova formula di integrazione per parti

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ mathbf {U} \ cdot \ operatorname {grad} v \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Gamma} v \, \ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ Gamma - \ int _ {\ Omega} v \, \ operatorname {div} \ mathbf {U} \, \ mathrm {d} \ Omega}

La formula corrispondente al caso in cui U deriva da un potenziale regolare u :

{\ displaystyle \ mathbf {U} = \ operatorname {grad} u}

si chiama la prima identità di Green :

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ operatorname {grad} u \ cdot \ operatorname {grad} v \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Gamma} v \, \ operatorname {grad} u \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ Gamma - \ int _ {\ Omega} v \, \ Delta u \, \ mathrm {d} \ Omega}

Note e riferimenti

vedere gli esempi della lezione "Integrazione per parti" su Wikiversità .
(in) Stanisław Hartman (de) e Jan Mikusiński , The Theory of Lebesgue Measure and Integration , Pergamon ,1961( leggi in linea ) , p. 103.

Vedi anche

J.-C. Michel, " Integration by parts " , Molti esempi ben dettagliati di integrazione per parti, su gecif.net