Integrazione motivata

L'integrazione motivica è una nozione di geometria algebrica introdotta da Maxim Kontsevich nel 1995 e sviluppata da Jan Denef e François Loeser . Dalla sua introduzione, questa nozione si è dimostrata molto utile in vari rami della geometria algebrica , in particolare la geometria birazionale e la teoria delle singolarità . Vista in senso lato, l'integrazione motivica attribuisce ai sottoinsiemi dello spazio degli archi di una varietà algebrica un volume nell'anello di Grothendieck delle varietà algebriche . La denominazione "motivica" riflette il fatto che, a differenza dell'integrazione ordinaria, per la quale i valori sono numeri reali , nell'integrazione motivica i valori sono di natura geometrica.

Descrizione

L'integrazione motivica si è sviluppata "a un ritmo frenetico" da quando Maxime Kontsevich ha tenuto la prima conferenza su questo argomento a Orsay nel dicembre 1995. Una misura motivica differisce dalle misure usuali in due modi; il primo è che non ha valori reali. Piuttosto, assume valori in un gruppo di dissezioni . La seconda caratteristica è che, invece di operare in un'algebra booleana di insiemi misurabili, lavoriamo direttamente con le formule booleane sottostanti che definiscono questi insiemi.

Il gruppo di dissezione poligonale è definito come il gruppo abeliano libero soggetto a due famiglie di relazioni, le relazioni di dissezione e congruenza. Possiamo mostrare che questo gruppo è isomorfo al gruppo additivo dei numeri reali. In questo isomorfismo, il numero reale associato a una classe di poligoni è la sua area.

Di solito, consideriamo la misura di un insieme X = {x | φ (x)} (diciamo un sottoinsieme di uno spazio localmente compatto) definito da una formula φ, ma non la misura della formula φ che definisce l'insieme. Nel caso della misura motivica, definiamo la misura direttamente sulla formula. In concreto, l'equazione

x ^ 2 + y ^ 2 = 1

definisce il cerchio

{\ displaystyle \ {(x, y) \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}}

Con misura motivica, consideriamo la misura dell'equazione del cerchio piuttosto che la misura del cerchio stesso. L'attenzione si sposta dagli insiemi alle formule. Misurare le formule piuttosto che i sottoinsiemi definisce una misura universale in quanto il valore che attribuisce alla formula non dipende da un particolare dominio, perché ogni formula definisce una collezione infinita di insiemi a seconda del dominio in cui si trova.

Note e riferimenti

(it) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Integrazione motivica " ( vedere l'elenco degli autori ) .

Thomas Callister Hales 2005 .

Bibliografia

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