Potenziale bene

Un pozzo potenziale designa, in fisica, le vicinanze di un minimo locale di energia potenziale .

Studio matematico

Considera una curva piana, situata su un piano verticale, a forma di ciotola. Un punto materiale, di massa m, vi si sposta, scivolando senza attrito. La conservazione dell'energia dà, assumendo come sconosciuta l'ascissa curvilinea s (t), l'equazione del moto di questo punto:

{\ displaystyle {\ dot {s}} ^ {2} + 2gh (s) = 2E / m = 2gH}

che in matematica è chiamata equazione differenziale di Leibniz. Per derivazione, otteniamo un'equazione differenziale di Newton del secondo ordine:

{\ displaystyle {\ ddot {s}} + g {\ frac {\ mathrm {d} h} {\ mathrm {d} s}} = 0}

Dall'equazione di Leibniz, deriviamo la velocità ± ${\ displaystyle v (s) = {\ dot {s}} =}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2g (Hh (s)}}}$

Il che ci riporta allo studio di un diagramma orario . Ad esempio si studia il semplice caso (noto come Torricelli) di y. ${\ displaystyle h (s) = | s |}$

Succede che consideriamo in fisica un'equazione simile: il movimento di un punto materiale su un asse x'Ox, sotto l'azione di una forza F (x):

{\ displaystyle {\ ddot {x}} = F / m: = g (x)}

(Chiamiamo energia potenziale V (x) è l'opposto dell'antiderivativa di F (x)). La conservazione dell'energia dà lo stesso tipo di equazione di Leibniz. Diciamo quindi che la particella è confinata in un pozzo potenziale , sull'intervallo [a, b], aeb, radici contigue di V (x) = E.

Ciotola simmetrica

Lasciate l'origine O, in fondo alla cuvetta, senza restrizione di generalità. Sia A il punto dell'ascissa s = a tale che h (A) = H.

Il movimento è qualitativamente descritto molto bene: la velocità, massima in O, non smette di diminuire fino all'arrivo in A, all'istante t1. Quindi la particella retrocede secondo lo stesso movimento e arriva in O, con velocità opposta. Descrive quindi l'altro bordo della ciotola, simmetricamente, fino al punto simmetrico A 'e ritorna: il movimento è periodico con periodo T = 4 t1. Il metodo del diagramma orario si applica bene a questo caso che può quindi essere spiegato e sperimentato senza alta matematica; possiamo quindi tracciare T (H).

Esempio: la cicloide Huygens (1659)

Huygens trova quale deve essere la forma della curva affinché le oscillazioni siano isocrone: occorre una coppa che si alzi più velocemente del cerchio osculatore in O, di raggio R; trova la cicloide adatta. Quindi . ${\ displaystyle T (H) = cste = T_ {o} = 2 \ pi {\ sqrt {R / g}}}$

Tasso armonico

L'oscillazione non è generalmente armonica. È normale chiedere:

{\ Displaystyle v ^ {2} (s) = 2g (Hh (s)): = (sa (H)) ^ {2} N ^ {2} (s)}

e s = a (H). \ cos .

\ phi

In tal modo :

{\ Displaystyle t = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {\ mathrm {d} u} {N [a (H) \ cos (u)]}}}

{\ Displaystyle T (H) = 4 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} u} {N [a (H) \ cos (u) ]}}}

la funzione N (s) (in hertz ) essendo generalmente limitata: N1 <N <N2, quindi T2 <T (H) <T1.

Il caso del pendolo cicloidale , visto nel paragrafo precedente, è il più semplice, perché N (s) = cste = No, quindi T (H) = cste = A.

Il caso del pendolo semplice , molto più difficile da analizzare, è abbastanza banale (diciamo generico): se la coppa ha una sommità concava arrotondata, di altezza , allora solitamente T (H) tende logaritmicamente all'infinito quando H tende verso . Questo effetto di rallentamento è chiamato effetto Ramsauer nella fisica nucleare e ha la sua controparte nella meccanica quantistica. Assomiglia molto all'effetto " solitone ": $H _ {{max}}$ $H _ {{max}}$

o la serie di Fourier di decomposizione di s (t) , ${\ Displaystyle s (t) = \ sum _ {n} b_ {n} \ cos \ left [{\ frac {2 \ pi nt} {T (H)}} \ right]}$

la velocità delle armoniche è praticamente non decrescente fino a un valore , poi collassa esponenzialmente (quindi molto rapidamente), non appena n> : ciò è essenzialmente dovuto al carattere indefinitamente differenziabile di s (t), cioè - diciamo alla "regolarità" della ciotola (cfr. Appell, meccanica, 1915). ${\ displaystyle \ aleph _ {0} (H)}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} (H)}$

Va precisato, però, che non si deve credere che l'anarmonicità sia sempre dovuta a questo meccanismo di rallentamento T (H); conosciamo casi di cuvette (non simmetriche) dove T (H) = cste = To, ma dove l'anarmonicità diventa molto grande. In questo caso, la funzione periodica s (t) sembra quindi un rigonfiamento molto acuto. Ad esempio , studiato in fisica del plasma. ${\ displaystyle V (x) = x - {\ sqrt {(}} x)}$

Restano infine i casi in cui V (x) presenta singolarità: il caso ovvio è quello di una particella semplicemente bloccata tra due pareti riflettenti: | x | <a

Quindi abbiamo ovviamente la velocità v (x) costante (tranne il segno), uguale a e il periodo . L'analisi di Fourier di s (t), che è una funzione "triangolo", fornisce coefficienti che decrescono come 1 / n ^ 2 e non esponenzialmente. ${\ displaystyle {\ sqrt {2E / m}}}$ ${\ displaystyle T (E) = 2a {\ sqrt {2E / m}}}$

Esistono altri tipi più complessi di potenziali pozzi (ci penseremo , dove il numero di radici di V '(x) aumenta indefinitamente man mano che x si avvicina a a). ${\ displaystyle \ exp (-x ^ {2}) x ^ {10} (xa) ^ {2} \ sin (a ^ {2} / (xa) ^ {2})}$

Questi problemi con diverse "finestre di uscita" saranno difficili da quantificare in meccanica quantistica: è il problema delle barriere di potenziale doppio o addirittura triplo nella radioattività.

Alcuni casi di cuvette simmetriche

La ciotola del solitone : troviamo ${\ displaystyle U (x) = - {\ dfrac {g ^ {2}} {\ cosh ^ {2} (x)}}}$ ${\ Displaystyle x (t) = \ arg \ operatorname {sh} \ left [- {\ dfrac {\ sqrt {g ^ {2} + E}} {E}} \ sin (\ omega t) \ right]}$ e il periodo ${\ displaystyle T (E) = \ pi {\ sqrt {- {\ dfrac {2} {E}}}}}$
la cuvetta del solitone modificata : troviamo ${\ displaystyle U (x) = {\ dfrac {g ^ {2}} {\ sin ^ {2} (x)}}}$ ${\ Displaystyle x (t) = \ arg \ cos \ left ({\ sqrt {1 - {\ dfrac {g ^ {2}} {E}}}} \ cos (\ omega t) \ right)}$ e il periodo ${\ displaystyle T (E) = \ pi {\ sqrt {\ dfrac {2} {E}}}}$
Ciotola di Jacobi : troviamo il periodo ${\ displaystyle U (x) = {\ dfrac {g ^ {2}} {\ sinh (x, k)}}}$ ${\ displaystyle T = {\ dfrac {4} {\ sqrt {2 (ad esempio ^ {2} k ^ {2})}}} K (k '')}$ con , essendo la funzione ellittica del primo tipo. ${\ displaystyle k '' = k ^ {2} {\ dfrac {Es ^ {2}} {Es ^ {2} k ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle K (k)}$
la ciotola : troviamo il periodo di oscillazione ${\ displaystyle U (x) = g ^ {2} \ cosh (2x)}$ ${\ displaystyle T = {\ dfrac {4} {\ sqrt {E + g ^ {2}}}} K (k)}$ , con ${\ displaystyle k ^ {2} = {\ dfrac {Es ^ {2}} {E + g ^ {2}}}}$

Nota: secondo Corinne Symmetry , a queste cuvette corrispondono potenziali barriere, il cui effetto tunnel può essere valutato in meccanica quantistica ; questo è uno dei motivi per trovare quanti più esempi possibili per poter interpretare più esperienze.

Determinazione di h (s) grazie all'osservazione di T (H)

Questo si chiama risoluzione di un problema inverso . Landau e Lifschitz (meccanici, ed Mir) affrontano questo difficile problema.

La nozione matematica che si applica bene qui è la nozione di derivata frazionaria di ordine 1/2, chiamata Abele. Infatti è la funzione reciproca s (h) che determiniamo {abbiamo già visto nel caso del pendolo semplice che h (e non s) è la buona funzione sconosciuta, e quindi deduciamo s (h (t)) }: la formula è:

{\ displaystyle s (h) = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {g}} \ int _ {0} ^ {h} {\ frac {T (H) \ mathrm {d} H} {\ sqrt {hH}}}}

la cui omogeneità è immediatamente verificata s = sqrt (gHo) To. Guarda la dimostrazione di seguito.

Alcuni controlli di casi noti

la cuvetta Torricelli (cfr diagramma orario ) con : . ${\ displaystyle T = 4 \ cdot {\ sqrt {\ dfrac {2H} {g \ sin \ alpha}}}}$ ${\ displaystyle s = {\ dfrac {h} {\ sin \ alpha}}}$
la cicloide isocrona: s (h) tale che ${\ displaystyle s ^ {2} (h) = 16ah}$
e anche tutte le cuvette di potenziale en , che soddisfano automaticamente il teorema viriale, il cui V(X)=XK{\ displaystyle V (x) = x ^ {k}} ${\ displaystyle V (x) = x ^ {k}}$
- Il movimento di Keplero :, che dà U ~ . ${\ displaystyle T ^ {2} = a ^ {3} = {\ dfrac {1} {(- E) ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {-1} {| s |}}}$
- se aggiungiamo la barriera centrifuga, la cuvetta non è simmetrica, ma il ragionamento (adattato) dà bene, qualunque sia il momento angolare , il risultato, ~ . $U$ ${\ displaystyle {\ dfrac {-1} {r}}}$
la ciotola dà: . ${\ displaystyle h = Ho \ tan ^ {2} ({\ dfrac {s} {a}})}$ ${\ displaystyle gT ^ {2} = {\ dfrac {4 \ pi ^ {2} a ^ {2}} {(Ho + H)}}}$

Dimostrazione della formula

La semi-primitiva frazionaria della derivata è la semi-derivata di (teorema di reciprocità di Abele); $f '(x)$ $f (x)$

ma possiamo optare per una manifestazione senza l'artiglieria pesante (derivati frazionari!); ecco quello preso in prestito da Landau (abbiamo preso g = 1):

notare che ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ sqrt {(bx) (xa)}}} = \ pi}$

(si pensi , nel triangolo rettangolo AMB, inscritto nel semicerchio di diametro AB: allora ; da qui la risposta). ${\ displaystyle HM ^ {2} = HA.HB}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {\ mathrm {d} x} {HM}} = \ mathrm {d} \ phi}$

notare che T (H) è scritto , e quindi ${\ displaystyle T (H) = \ int _ {0} ^ {H} {\ frac {s '(z) \ mathrm {d} z} {\ sqrt {Hz}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {T (H)} {\ sqrt {hH}}} = \ int _ {0} ^ {H} {\ frac {s '(z) \ mathrm {d} z} {\ sqrt {(hH) (Hz)}}}}$ ,

o integrando sulla nuova variabile H, da 0 ad h, quindi invertendo l'ordine di integrazione, prima in H, poi in z, ottenendo la formula di reciprocità di Abele .

Possiamo esercitarci con i risultati precedenti.

Cuvette asimmetriche

Basti notare con Newton che è importante solo la sezione del pozzo potenziale V (x) per la linea di energia E. Ritorniamo quindi, "à la Cavalieri", ad un pozzo potenziale simmetrico.

Sono di questo tipo:

potenziale (1-2) (detto Newton radiale) ; ${\ displaystyle {\ dfrac {-g ^ {2}} {x}} + {\ dfrac {h ^ {2}} {x ^ {2}}}}$
il potenziale armonica: ; ${\ displaystyle g ^ {2} x ^ {2} + {\ dfrac {h ^ {2}} {x ^ {2}}}}$
il potenziale di Lenard-Jones (6-12);
il potenziale interatomico in una molecola biatomica, dice di Morse: ${\ displaystyle U (x) = g ^ {2} (2e ^ {x} + e ^ {- 2x} -3)}$
potenziale nucleare: ${\ displaystyle U (x) = {\ dfrac {g ^ {2}} {sh ^ {2} (x)}} - {\ dfrac {h ^ {2}} {ch ^ {2} (x)} }}$
Nota: porta la particella all'infinito in tempo finito; è quindi del tutto irrealistico avere tali forze repulsive. ${\ displaystyle U (x) = - g ^ {2} x ^ {4}}$

Nota: supersimmetria

I suddetti potenziali non si trovano a caso; risultano da una sorta di fattorizzazione, già notata da Schrödinger nel 1940, e poi trovata da Ingold e molti altri, per esigenze molto diverse.

Ovviamente, risulta che l'oscillatore armonico radiale e l'atomo di Rutherford ne fanno parte.

Formula di disturbo

Molto spesso in fisica il pozzo potenziale è leggermente disturbato dall'aggiunta di un parametro controllabile (campo magnetico: classico effetto Zeeman; campo elettrico: classico effetto Stark, ecc.). È quindi interessante sapere qual è il nuovo periodo T (H).

La regola è la seguente :

Sia il moto indisturbato s (t, H), del periodo T (H). Nel piano delle fasi, l'orbita chiusa, dell'energia H è descritta in direzione retrograda con il periodo T (H) racchiudendo un'area I (H) (in joule secondi), chiamata Azione I (H). Un risultato classico della meccanica hamiltoniana è T (H) = dI / dH.
Sia il nuovo potenziale V (x) + k · V 1 (x), dove k è un reale adimensionale molto piccolo.
Sia k · I 1 (H) la piccola azione (in joule · secondo) = T (H) · [media temporale di k · V 1 (x)].
La variazione del periodo T 1 (H) è:

{\ displaystyle T_ {1} (H) = - k \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} I_ {1}} {\ mathrm {d} H}}}

Se vogliamo il secondo ordine, in , dovremo aggiungere: $k ^ 2$

{\ displaystyle + {\ dfrac {1} {2!}} \ cdot k ^ {2} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} I_ {2} (H)} {\ mathrm {d } H ^ {2}}}}

con I 2 (in joule² · secondo) = T (H) [media temporale di V 1 (x)]; eccetera.

^ 2

Applicazione : Si trova la formula di Borda per il pendolo semplice : In effetti, i calcoli lo dimostrano ${\ displaystyle T_ {1} = T_ {o} \ cdot (1 + {\ frac {\ theta _ {o} ^ {2}} {16}})}$

Ci sono anche le formule della molla morbida o della molla dura. Possiamo anche testare gli sviluppi limitati delle formule esatte dei potenziali pozzi precedenti.

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