Indici di Miller e indici di direzione

Gli indici Miller sono un modo per designare l'orientamento dei piani di cristallo in un cristallo . Indici simili sono usati per denotare le direzioni in un cristallo, gli indici di direzione .

Un cristallo è una pila ordinata di atomi , ioni o molecole , di seguito denominati "modelli". La periodicità del pattern è espressa da una rete composta da nodi che rappresentano i vertici della mesh . I bordi della maglia elementare definiscono i vettori della base . I piani definiti da tre nodi della rete e le direzioni definite da due nodi della rete sono qualificati come “nodali” (piano nodale, direzione nodale) o meglio ancora “reticolari”. Una direzione reticolare è anche chiamata riga .

In metallurgia lavoriamo spesso con cristalli costituiti da un unico tipo di atomo; si parla quindi di “piano atomico”, di “direzione atomica” o di “fila di atomi”, ma questi sono solo casi particolari.

Importanza di densi piani e direzioni

Poiché il cristallo non è isotropo , non c'è motivo per cui le sue proprietà lo siano. Le linee e i piani di grande densità presenteranno proprietà particolari:

• ottica  : la propagazione di un'onda luminosa nel cristallo ( rifrazione ) avviene mediante scattering di Rayleigh passo dopo passo, tra gli atomi; la velocità di propagazione può quindi differire a seconda della densità della direzione, che può indurre il fenomeno della birifrangenza  ;
• relativo alla tensione superficiale  : se il materiale si condensa sotto forma di cristallo, è perché un pattern è più stabile quando è circondato da altri pattern;
  • propagazione di una fessura e piano di scissione  : i motivi di una superficie libera sono esposti all'aria; la superficie libera è più stabile se corrisponde a un piano ad alta densità, perché allora ogni motivo è circondato da un massimo di motivi;
  • a forma di poro , per lo stesso motivo di cui sopra;
• adsorbimento e reattività: il numero di siti di adsorbimento, e quindi la reattività chimica, dipende dalla densità degli atomi;
• lussazioni  :
  • il cuore di una dislocazione si estenderà maggiormente in un piano denso, questo riduce l' attrito durante lo spostamento della dislocazione ( forza di Peierls-Nabarro durante la deformazione plastica ); gli scivolamenti avvengono quindi preferenzialmente su piani densi;
  • il disturbo rappresentato da una dislocazione ( vettore di Burgers ) è una direzione densa: infatti, uno spostamento di un pattern in una direzione densa rappresenta una debole distorsione (i pattern sono vicini tra loro);
  • la linea di una dislocazione tenderà anche ad essere una direzione densa, in modo da diminuire la tensione della linea (un loop di dislocazione tenderà quindi ad essere un poligono ).

Individuazione di una direzione

Una direzione reticolare del cristallo può essere rappresentata da un vettore di direzione del suo reticolo di Bravais , che unisce due nodi di questa direzione. Se la mesh usata per rappresentare la rete è primitiva, le coordinate u , v , w di questo vettore sono intere. Poiché questo vettore di direzione è definito fino a una costante moltiplicativa, si accetta di scegliere per queste coordinate i numeri primi tra di loro nel loro insieme .

I valori assoluti di queste tre coordinate danno tre numeri naturali chiamati indici di direzione . Sono scritti tra parentesi quadre e quelli la cui coordinata corrispondente è sottolineata in negativo. La direzione è così annotata . [uvw]{\ displaystyle [uvw]}

Ad esempio indica la direzione di cui uno dei vettori di direzione ha le coordinate 1, 1, -1. [111¯]{\ displaystyle [11 {\ bar {1}}]}

Nel caso generale, la base della rete Bravais è arbitraria. Normalmente si sceglie una base ortogonale nel caso di un reticolo a simmetria ortorombica o tetragonale, e ortonormale nel caso di un reticolo a simmetria cubica . (a→,b→,vs→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}

Individuazione di un piano

Prendiamo come origine un nodo della rete e consideriamo un particolare piano reticolare passante per tre nodi posti sui tre assi:

• A1(p,0,0){\ displaystyle A_ {1} (p, 0,0)} l'intersezione del piano con l'asse x,
• A2(0,q,0){\ displaystyle A_ {2} (0, q, 0)} l'intersezione del piano con l'asse y,
• A3(0,0,r){\ displaystyle A_ {3} (0,0, r)}l'intersezione del piano con l'asse della quota. con p , q e r interi.

L'equazione per questo piano è . Si ottiene un'equazione equivalente moltiplicando tutti i coefficienti di questa equazione per il PPCM di p , q , r , in modo che l'equazione del piano così ottenuta diventi a coefficienti interi. Xp+yq+zr=1{\ displaystyle {\ frac {x} {p}} + {\ frac {y} {q}} + {\ frac {z} {r}} = 1}

Chiediamo quindi:

• h=PPVSM(p,q,r)p,{\ displaystyle h = {\ frac {\ mathrm {PPCM} (p, q, r)} {p}},}
• K=PPVSM(p,q,r)q,{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {PPCM} (p, q, r)} {q}},}
• l=PPVSM(p,q,r)r.{\ displaystyle l = {\ frac {\ mathrm {PPCM} (p, q, r)} {r}}.}

I tre numeri così ottenuti sono chiamati indici di Miller e corrispondono agli inversi delle lunghezze ritagliate sugli assi dal primo piano della famiglia dei piani reticolari. Se la mesh utilizzata per rappresentare la rete è primitiva, allora sono primi tra di loro nel loro insieme . Sono annotati tra parentesi e quelli negativi sono evidenziati. Qualsiasi piano reticolare parallelo al piano iniziale ha l'equazione , dove n è un numero intero relativo (poiché i nodi appartenenti a questo piano hanno coordinate intere). Al contrario, qualsiasi piano avente un'equazione di questa forma è un piano reticolare in virtù dell'identità di Bézout che garantisce l'esistenza di soluzioni intere a tale equazione. Quindi, due successivi piani reticolari paralleli hanno l'equazione e . hX+Ky+lz=non{\ displaystyle hx + ky + lz = n}hX+Ky+lz=non{\ displaystyle hx + ky + lz = n}hX+Ky+lz=non+1{\ displaystyle hx + ky + lz = n + 1}

Se il piano reticolare è parallelo a un asse, l'indice di Miller corrispondente è zero.

Viceversa, se ( h , k , l ) sono tre numeri interi relativi, primi tra loro nel loro insieme e non tutti zero, definiscono una famiglia di piani reticolari paralleli di equazione . Prendiamo in particolare per n il valore m = PPCM ( h , k , l ). Poi il corrispondente piano reticolare passa attraverso i nodi , e . Si può quindi sempre scegliere un'origine e tre nodi sugli assi che permettono di definire una data famiglia di piani reticolari. Deduciamo che i seguenti vettori sono nel piano  : hX+Ky+zl=non{\ displaystyle hx + ky + zl = n}A1(m/h,0,0){\ displaystyle A_ {1} (m / h, 0,0)}A2(0,m/K,0){\ displaystyle A_ {2} (0, m / k, 0)}A3(0,0,m/l){\ displaystyle A_ {3} (0,0, m / l)}(hKl){\ displaystyle (hkl)}

• A1A2→(-mh,mK,0),{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {1} A_ {2}}} \ left (- {\ frac {m} {h}}, {\ frac {m} {k}}, 0 \ right),}
• A1A3→(-mh,0,ml),{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {1} A_ {3}}} \ left (- {\ frac {m} {h}}, 0, {\ frac {m} {l}} \ right),}
• A2A3→(0,-mK,ml).{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {2} A_ {3}}} \ left (0, - {\ frac {m} {k}}, {\ frac {m} {l}} \ right).}.

Questi vettori non essendo collineari, le coppie di questi vettori formano una base del piano . (hKl){\ displaystyle (hkl)}

Se uno degli indici di Miller è zero, il punto corrispondente viene rifiutato all'infinito, il che significa che il piano reticolare è parallelo all'asse corrispondente a questo punto. In tal modo :

• se poi il vettore di coordinate è nel piano,h=0{\ displaystyle h = 0}(1,0,0){\ displaystyle (1,0,0)}
• se poi il vettore di coordinate è nel piano,K=0{\ displaystyle k = 0}(0,1,0){\ displaystyle (0,1,0)}
• se allora il vettore di coordinate è nel piano.l=0{\ displaystyle l = 0}(0,0,1){\ displaystyle (0,0,1)}

Se la base è ortonormale quindi i prodotti scalari di coordinate di un vettore con , e sono pari a zero: (h,K,l){\ displaystyle (h, k, l)}A1A2→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {1} A_ {2}}}}A1A3→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {1} A_ {3}}}}A2A3→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {2} A_ {3}}}}

(-mh,mK,0)⋅(h,K,l)=m(-1+1+0)=0,{\ displaystyle \ left (- {\ frac {m} {h}}, {\ frac {m} {k}}, 0 \ right) \ cdot (h, k, l) = m (-1 + 1 + 0) = 0,}(-mh,0,ml)⋅(h,K,l)=m(-1+0+1)=0,{\ displaystyle \ left (- {\ frac {m} {h}}, 0, {\ frac {m} {l}} \ right) \ cdot (h, k, l) = m (-1 + 0 + 1) = 0,}(0,-mK,ml)⋅(h,K,l)=m(0-1+1)=0.{\ displaystyle \ left (0, - {\ frac {m} {k}}, {\ frac {m} {l}} \ right) \ cdot (h, k, l) = m (0-1 + 1 ) = 0.}

Quindi, nel caso di un reticolo cubico, il vettore di coordinate è perpendicolare alla superficie, è un vettore normale. Nel caso generale, questo non è più il caso e il vettore di coordinate deve essere espresso in un'altra base in modo che sia perpendicolare al piano (vedi sotto ). (h,K,l){\ displaystyle (h, k, l)}(h,K,l){\ displaystyle (h, k, l)}

Simmetrie cristalline e permutazione degli indici

Alcune strutture cristalline hanno particolari simmetrie che consentono la permutazione degli indici.

Cristallo a simmetria cubica

Per un cristallo che segue un reticolo di Bravais cubico, le quattro diagonali sono equivalenti, le tre facce del cubo sono equivalenti, ecc. Possiamo quindi permutare o prendere gli opposti della direzione o indici di Miller, questo rappresenterà immutabilmente una direzione o un piano avente le stesse proprietà.

• L'insieme di direzioni ottenuto da permutazioni o opposizioni è chiamato "famiglia di direzioni" e annotato tra chevron:

⟨uvw⟩{\ displaystyle \ langle uvw \ rangle}indicazioni designati , , , , , e tutte le loro combinazioni ottenute cambiando i segni.[uvw]{\ displaystyle [uvw]}[uwv]{\ displaystyle [uwv]}[vuw]{\ displaystyle [vuw]}[vwu]{\ displaystyle [vwu]}[wuv]{\ displaystyle [wuv]}[wvu]{\ displaystyle [wvu]}

Per esempio indica le direzioni , , , , e . ⟨100⟩{\ displaystyle \ langle 100 \ rangle}[100]{\ displaystyle [100]}[1¯00]{\ displaystyle [{\ bar {1}} 00]}[010]{\ displaystyle [010]}[01¯0]{\ displaystyle [0 {\ bar {1}} 0]}[001]{\ displaystyle [001]}[001¯]{\ displaystyle [00 {\ bar {1}}]}

• L'insieme di piani ottenuto da permutazioni o opposizioni è chiamato "famiglia di piani" e annotato tra parentesi graffe:

{hKl}{\ displaystyle \ {hkl \}}mezzi piani , , , , , e tutte le loro combinazioni ottengono scambiando i segni.(hKl){\ displaystyle (hkl)}(hlK){\ displaystyle (hlk)}(Khl){\ displaystyle (khl)}(Klh){\ displaystyle (klh)}(lhK){\ displaystyle (lhk)}(lKh){\ displaystyle (lkh)}

Ad esempio , i piani , , , , e . {100}{\ displaystyle \ {100 \}}(100){\ displaystyle (100)}(1¯00){\ displaystyle ({\ bar {1}} 00)}(010){\ displaystyle (010)}(01¯0){\ displaystyle (0 {\ bar {1}} 0)}(001){\ displaystyle (001)}(001¯){\ displaystyle (00 {\ bar {1}})}

Cristallo di simmetria esagonale

Nel caso di strutture con simmetria esagonale o trigonale, talvolta definiamo un quarto indice per designare i piani, ( hkil )  ; questa è la notazione Bravais-Miller. L'indice i , posto in terza posizione, è ridondante (i tre indici h , k e l sono sufficienti da soli a definire un piano); è definito da

io = - h - k .

Questa notazione rende possibile applicare permutazioni circolari di indici per definire famiglie di piani.

Infatti, se consideriamo il piano di base (001), questo piano ha una simmetria di ordine 3, cioè è invariante per una rotazione di 1/3 di giro (2π / 3  rad , 120 °). Contiene quindi tre direzioni identiche [100], [010] e [ 11 0]. Se prendiamo l'intersezione del piano con questi tre assi, l'inverso delle ascisse delle intersezioni dà gli indici h , k e i .

Calcoli geometrici nello spazio reciproco

Ortogonalità e base reciproca

Per definire correttamente un vettore ortogonale ad un piano reticolare è opportuno introdurre la base reciproca associata alla base della rete. La base reciproca è definita come segue: (hKl){\ displaystyle (hkl)}(a∗→,b∗→,vs∗→){\ displaystyle ({\ vec {a ^ {*}}}, {\ vec {b ^ {*}}}, {\ vec {c ^ {*}}})}(a→,b→,vs→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}

a∗→=1Vb→∧vs→,{\ displaystyle {\ vec {a ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {b}} \ wedge {\ vec {c}},} b∗→=1Vvs→∧a→,{\ displaystyle {\ vec {b ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {c}} \ wedge {\ vec {a}},} vs∗→=1Va→∧b→{\ displaystyle {\ vec {c ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {a}} \ wedge {\ vec {b}}}

dove V è il volume della mesh di base che calcoliamo: (a→,b→,vs→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}

V=a→⋅(b→∧vs→)=vs→⋅(a→∧b→)=b→⋅(vs→∧a→){\ displaystyle V = {\ vec {a}} \ cdot ({\ vec {b}} \ wedge {\ vec {c}}) = {\ vec {c}} \ cdot ({\ vec {a}} \ wedge {\ vec {b}}) = {\ vec {b}} \ cdot ({\ vec {c}} \ wedge {\ vec {a}})}.

Dalle proprietà del prodotto incrociato , abbiamo:

per ogni indice j diverso da k  : oej∗→⋅eK→=0{\ displaystyle {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} \ cdot {\ vec {e_ {k}}} = 0}ej∗→⊥eK→{\ displaystyle {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} \ bot {\ vec {e_ {k}}}} per qualsiasi indice j  :ej∗→⋅ej→=1{\ displaystyle {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} \ cdot {\ vec {e_ {j}}} = 1}

Nota il vettore avente le coordinate ( h , k , l ) in questa base reciproca: H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}

H→=ha∗→+Kb∗→+lvs∗→{\ displaystyle {\ vec {H}} = h {\ vec {a ^ {*}}} + k {\ vec {b ^ {*}}} + l {\ vec {c ^ {*}}}}

Quindi questo vettore è normale all'aereo . Infatti, i vettori appartenenti a questo piano sono proprio quelli per cui = 0 o non è altro che , tenendo conto delle relazioni che legano i vettori della base a quelli della base reciproca. Quindi appartiene al piano se e solo se . (hKl){\ displaystyle (hkl)}U→=Xa→+yb→+zvs→{\ displaystyle {\ vec {U}} = x {\ vec {a}} + y {\ vec {b}} + z {\ vec {c}}}hX+Ky+lz{\ displaystyle hx + ky + lz}hX+Ky+lz{\ displaystyle hx + ky + lz}(ha∗→+Kb∗→+lvs∗→)⋅(Xa→+yb→+zvs→){\ displaystyle (h {\ vec {a ^ {*}}} + k {\ vec {b ^ {*}}} + l {\ vec {c ^ {*}}}) \ cdot (x {\ vec {a}} + y {\ vec {b}} + z {\ vec {c}})}U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(hKl){\ displaystyle (hkl)}H→⋅U→=0{\ displaystyle {\ vec {H}} \ cdot {\ vec {U}} = 0}

Distanza interreticolare

Due piani reticolari successivi della famiglia aventi per la rispettiva equazione e , dove n è un qualsiasi numero intero relativo, la distanza interreticolare tra questi due piani è: (hKl){\ displaystyle (hkl)}hX+Ky+lz=non{\ displaystyle hx + ky + lz = n}hX+Ky+lz=non+1{\ displaystyle hx + ky + lz = n + 1}dhKl{\ displaystyle d_ {hkl}}

dhKl=1‖H→‖=1H→TG∗H→{\ displaystyle d_ {hkl} = {\ frac {1} {\ | {\ vec {H}} \ |}} = {\ frac {1} {\ sqrt {{\ vec {H}} ^ {T} G ^ {*} {\ vec {H}}}}}}

o :

• H→=ha∗→+Kb∗→+lvs∗→{\ displaystyle {\ vec {H}} = h {\ vec {a ^ {*}}} + k {\ vec {b ^ {*}}} + l {\ vec {c ^ {*}}}}è un vettore normale a un piano familiare  ;(hKl){\ displaystyle (hkl)}
• a∗→{\ displaystyle {\ vec {a ^ {*}}}}, e sono i vettori di base della rete reciproca  ;b∗→{\ displaystyle {\ vec {b ^ {*}}}}vs∗→{\ displaystyle {\ vec {c ^ {*}}}}
• H→T{\ displaystyle {\ vec {H}} ^ {T}}è la trasposizione del vettore  ;H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}
• G∗{\ displaystyle G ^ {*}}è il tensore metrico del reticolo reciproco.

Angolo tra i piani reticolari

L'angolo tra due piani reticolari ed è l'angolo tra le loro normali e . Esso è dato da: θ{\ displaystyle \ theta}(hKl)1{\ displaystyle (hkl) _ {1}}(hKl)2{\ displaystyle (hkl) _ {2}}H1→{\ displaystyle {\ vec {H_ {1}}}}H2→{\ displaystyle {\ vec {H_ {2}}}}

cos⁡θ=(H1→|H2→)‖H1→‖‖H2→‖{\ displaystyle \ cos {\ theta} = {\ frac {({\ vec {H_ {1}}} | {\ vec {H_ {2}}})} {\ | {\ vec {H_ {1}} } \ | \ | {\ vec {H_ {2}}} \ |}}}

con

• (H1→|H2→)=H1→TG∗H2→{\ displaystyle ({\ vec {H_ {1}}} | {\ vec {H_ {2}}}) = {\ vec {H_ {1}}} ^ {T} G ^ {*} {\ vec { H_ {2}}}}
• ‖Hio→‖=Hio→TG∗Hio→{\ displaystyle \ | {\ vec {H_ {i}}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {H_ {i}}} ^ {T} G ^ {*} {\ vec {H_ {i}} }}}}

o :

• Hio→=hioa∗→+Kiob∗→+liovs∗→{\ displaystyle {\ vec {H_ {i}}} = h_ {i} {\ vec {a ^ {*}}} + k_ {i} {\ vec {b ^ {*}}} + l_ {i} {\ vec {c ^ {*}}}}è un vettore normale all'aereo  ;(hKl)io{\ displaystyle (hkl) _ {i}}
• a∗→{\ displaystyle {\ vec {a ^ {*}}}}, e sono i vettori di base della rete reciproca;b∗→{\ displaystyle {\ vec {b ^ {*}}}}vs∗→{\ displaystyle {\ vec {c ^ {*}}}}
• Hio→T{\ displaystyle {\ vec {H_ {i}}} ^ {T}}è la trasposizione del vettore  ;Hio→{\ displaystyle {\ vec {H_ {i}}}}
• G∗{\ displaystyle G ^ {*}} è il tensore metrico del reticolo reciproco.

Indicizzazione dei picchi di diffrazione

Negli esperimenti di diffrazione con una lunghezza d' onda dell'ordine dei parametri reticolari ( diffrazione dei raggi X , diffrazione dei neutroni , diffrazione degli elettroni in microscopia elettronica a trasmissione ), la posizione dei picchi di diffrazione può essere calcolata secondo le distanze interplanari , la legge di Bragg .

È così possibile collegare ogni picco a un piano reticolare. Gli indici di Miller ( hkl ) del piano sono anche gli indici di Laue hkl del picco corrispondenti al primo ordine di diffrazione.

Spazio reciproco e diffrazione

La base reciproca è la base adatta allo studio dei vettori d' onda . Lo spazio reciproco , cioè lo spazio vettoriale fornito con questa base, permette di determinare facilmente le condizioni di diffrazione (vedi anche l'articolo Teoria della diffrazione su un cristallo ).

Infatti, i vettori aventi coordinate intere nella base reciproca corrispondono alle condizioni di diffrazione per un cristallo . In tal modo :

• nel caso di diffrazione su un singolo cristallo ( immagine di Laue , microscopia elettronica a trasmissione ), uno spot di diffrazione può essere associato ad un piano cristallografico;
• nel caso di una polvere ( metodo Debye-Scherrer , diffrattometro di Bragg-Brentano), un anello di Debye o un picco di diffrazione può essere associato ad un piano cristallografico.

Si parla quindi di spot, ring o peak ( hkl ). Questa associazione è chiamata "indicizzazione".

Appunti

1. cristalli cubici sono tuttavia chiamati isotropi a causa dell'isotropia delle loro proprietà ottiche.
2. Per "picco" si denotano non solo i picchi dei diffrattogrammi nel caso di registrazioni digitali, ma anche i punti di diffrazione nel caso di diffrazione su un singolo cristallo ( immagine di Laue , microscopia elettronica a trasmissione ), nonché gli anelli di diffrazione nel caso di diffrazione su una polvere ( camera di Debye-Scherrer ). Vedi l'articolo Teoria della diffrazione su un cristallo .
3. Ci sono due modi per definire il vettore d'onda; o la sua norma è 1 / λ, abbiamo quindi le formule sopra indicate per la base reciproca; oppure la sua norma è 2π / λ e quindi abbiamo ( i , j , k ) una permutazione circolare di (1, 2, 3). Analogamente, . Questo fattore 2π solo produce un'omotetia (dilatazione) dello spazio reciproco, ma non modifica i risultatieio∗→=2πV⋅ej→∧eK→{\ displaystyle {\ vec {e_ {i} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} \ cdot {\ vec {e_ {j}}} \ wedge {\ vec {e_ { K}}}}em→⋅em∗→=2π{\ displaystyle {\ vec {e_ {m}}} \ cdot {\ vec {e_ {m} ^ {*}}} = 2 \ pi}

Vedi anche

Articolo correlato

• Rete Bravais

link esterno

• Elementi di cristallografia
  • Piani nodali e indici di Miller
  • Indici di Miller
  • Cristallografia geometrica e radiocristallografia

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