In matematica , e più precisamente nella teoria dei gruppi , se H è un sottogruppo di un gruppo G , l' indice del sottogruppo H in G è il numero di copie distinte di H che otteniamo moltiplicando per sinistra per un elemento di G , che vale a dire il numero di xH quando x attraversa G (si può infatti scegliere indifferentemente di moltiplicare a sinistra oa destra). Le classi xH che formano una partizione, e la moltiplicazione a sinistra in un gruppo per un dato elemento essendo biiettiva , il prodotto dell'indice del sottogruppo H in G per l' ordine di H è uguale all'ordine di G , da cui deduciamo, per un gruppo finito , il teorema di Lagrange .
Sia ( G , •) gruppo e H un sottogruppo di G . Il rapporto x -1 y∈H è una relazione di equivalenza (in x ed y ) in G e le corrispondenti classi di equivalenza sono le porzioni G della forma xH dove x viene eseguito G . Chiamiamo queste parti G i cosets sinistra (elementi di G ) dopo H , o modulo M .
Analogamente, il rapporto yx -1 ∈H è una relazione di equivalenza in G e le corrispondenti classi di equivalenza sono le porzioni G della forma Hx , dove x viene eseguito G . Chiamiamo queste parti G i cosets giuste (elementi di G ) dopo H , o modulo M .
(È chiaro che le classi a sinistra e le classi a destra degli elementi di G modulo H coincidono se G è commutativa. Più in generale, coincidono se e solo se H è un distinto sottogruppo di G. )
La mappa X↦X –1 è una biiezione dell'insieme di classi a sinistra sull'insieme di classi a destra, quindi l'insieme di classi a sinistra e l'insieme di classi a destra hanno la stessa cardinalità . Questo cardinale è chiamato indice di H in G e denotato ( G : H ), o [ G : H ], o ancora | G : H |.
Sia G gruppo, H un sottogruppo di G e K un sottogruppo di H , cioè un sottogruppo di G contenuto in H . Dimostriamo la formula degli indici :
Per K banale , troviamo che per ogni sottogruppo H di un gruppo G ,
che è palesemente più direttamente osservando che classi Modulo H è equipotente ad H , in modo che G è disgiunto riunione [ G : H ] "copie" H .
La relazione (1) mostra che l'indice di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo. Nel caso in cui il gruppo sia finito, è il teorema di Lagrange .
In questa sezione, indichiamo con G / H tutti cosets sinistra del G Modulo sottogruppo H di G .
Se H e K sono due sottogruppi di G allora
perché l'applicazione
è iniettiva . In particolare, se [ G : H ] e [ G : K ] sono entrambi finiti, anche [ G : H∩K ] è finito (teorema di Poincaré).
Se H o K è normale in G o anche solo sub-normale , [ G : K ] non è solo un limite superiore ma un multiplo di [ H : H∩K ]. Sotto questo presupposto abbiamo quindi:
ma questa struttura non è vero senza tale ipotesi, come mostra l'esempio G = S 3 , H = {1, s }, K = {1, t }, dove s e t sono due distinti trasposizioni .