In matematica , un gruppo sporadico è uno dei 26 gruppi eccezionali nella classificazione dei gruppi semplici finiti . Un singolo gruppo è un gruppo G non banale che non ha nessun sottogruppo normale diverso dal suo sottogruppo banale (ridotto all'elemento identità ) e G stesso. Il teorema di classificazione afferma che i gruppi semplici finiti possono essere raggruppati in 18 famiglie infinite numerabili, più 26 eccezioni che non seguono uno schema sistematico (o 27, se il gruppo Tits è considerato un gruppo sporadico).
Il più piccolo gruppo sporadico ha 7.920 elementi; il più grande, il gruppo Monster , circa 8 × 10 53 .
Cinque dei gruppi sporadici furono scoperti da Émile Mathieu negli anni '60 dell'Ottocento e gli altri 21 tra il 1965 e il 1975. L'esistenza di molti di questi gruppi fu ipotizzata prima della loro effettiva costruzione. La maggior parte prende il nome dal matematico (i) che per primo ha formulato queste congetture. L'arrivo del computer è stato decisivo per identificare questi gruppi, il cui elenco è il seguente:
Sono state calcolate le rappresentazioni su finiti tutti i gruppi sporadici, ad eccezione del gruppo Monster.
Dei 26 gruppi sporadici, 20 sono sottoquotienti del gruppo Monster. Le sei eccezioni sono J 1 , J 3 , J 4 , O'N , Ru e Ly . Questi sei gruppi vengono talvolta definiti "emarginati".
I restanti 20 gruppi possono essere organizzati in tre generazioni.
La prima generazione di gruppi sporadici sono i gruppi di Mathieu M 11 , M 12 , M 22 , M 23 e M 24 sono gruppi di permutazioni transitive moltiplicate. Sono tutti sottogruppi di M 24 , gruppo di permutazione su 24 elementi.
La seconda generazione riunisce tutti i quozienti dei sottogruppi del gruppo degli automorfismi del reticolo di Leech :
La terza generazione è composta da sottogruppi fortemente legati al gruppo Monster M :
Questa serie non è limitato a questa generazione, il prodotto H 12 e un gruppo di ordine 11 è il centralizzatore di un elemento di ordine 11 M .
Se consideriamo il gruppo Tits 2 F 4 (2) ′ come un gruppo sporadico, fa anche parte di questa generazione: c'è un sottogruppo S 4 × 2 F 4 (2) ′ che normalizza un sottogruppo 2C 2 di B , dando origine a un sottogruppo 2 · S 4 × 2 F 4 (2) ′ normalizzando un certo sottogruppo Q 8 del Mostro. 2 F 4 (2) è un sottogruppo di Fi 22 , Fi 23 , Fi 24 'e B .
La seguente tabella riporta l'elenco dei gruppi sporadici in ordine crescente (in seguito A001228 sequenza del OEIS ).
| Gruppo | Ordine | Factoring | Stima |
|---|---|---|---|
| M 11 | 7 920 | 2 4 3 2 5 11 | ≈ 8 × 10 3 |
| M 12 | 95.040 | 2 6 3 3 5 11 | ≈ 1 × 10 5 |
| D 1 | 175.560 | 2 3 3 5 7 11 19 | ≈ 2 × 10 5 |
| M 22 | 443.520 | 2 7 3 2 5 7 11 | ≈ 4 × 10 5 |
| J 2 o HJ | 604.800 | 2 7 3 3 5 2 7 | ≈ 6 × 10 5 |
| M 23 | 10.200.960 | 2 7 3 2 5 7 11 23 | ≈ 1 × 10 7 |
| HS | 44.352.000 | 2 9 3 2 5 3 7 11 | ≈ 4 × 10 7 |
| J 3 o HJM | 50 232 960 | 2 7 3 5 5 17 19 | ≈ 5 × 10 7 |
| M 24 | 244.823.040 | 2 10 3 3 5 7 11 23 | ≈ 2 × 10 8 |
| McL | 898.128.000 | 2 7 3 6 5 3 7 11 | ≈ 9 × 10 8 |
| Hey | 4.030.387.200 | 2 10 3 3 5 2 7 3 17 | ≈ 4 × 10 9 |
| Ru | 145.926.144.000 | 2 14 3 3 5 3 7 13 29 | ≈ 1 × 10 11 |
| Suz | 448 345 497 600 | 2 13 3 7 5 2 7 11 13 | ≈ 4 × 10 11 |
| NOI | 460 815 505 920 | 2 9 3 4 5 7 3 11 19 31 | ≈ 5 × 10 11 |
| Co 3 | 495 766 656 000 | 2 10 3 7 5 3 7 11 23 | ≈ 5 × 10 11 |
| Co 2 | 42 305 421 312 000 | 2 18 3 6 5 3 7 11 23 | ≈ 4 × 10 13 |
| Fi 22 | 64 561 751 654 400 | 2 17 3 9 5 2 7 11 13 | ≈ 6 × 10 13 |
| F 5 o HN | 273.030 912.000.000 | 2 14 3 6 5 6 7 11 19 | ≈ 3 × 10 14 |
| Ly | 51765179004000000 | 2 8 3 7 5 6 7 11 31 37 67 | ≈ 5 × 10 16 |
| F 3 o Th | 90745 943 887 872 000 | 2 15 3 10 5 3 7 2 13 19 31 | ≈ 9 × 10 16 |
| Fi 23 | 4089 470 473 293 004800 | 2 18 3 13 5 2 7 11 13 17 23 | ≈ 4 × 10 18 |
| Co 1 | 4.157.776.806.543.360.000 | 2 21 3 9 5 4 7 2 11 13 23 | ≈ 4 × 10 18 |
| D 4 | 86775571046077560000 | 2 21 3 3 5 7 11 3 23 29 31 37 43 | ≈ 9 × 10 19 |
| Fi 24 'o F 3+ | 1.255.205.709 190.661.800.000.000 | 2 21 3 16 5 2 7 3 11 13 17 23 23 29 | ≈ 1 × 10 24 |
| F 2 o B | 4.154.781 481.226.426.000.000.000.000.000.000.000 | 2 41 3 13 5 6 7 2 11 13 17 19 23 31 47 | ≈ 4 × 10 33 |
| F 1 o M | 808017 424794 512800.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 | 2 46 3 20 5 9 7 6 11 2 13 3 17 19 23 29 31 41 47 59 71 | ≈ 8 × 10 53 |