Gruppo Fregio

Un gruppo di fregi , in matematica , è un sottogruppo del gruppo delle isometrie affini del piano euclideo tale che l'insieme di traslazioni che contiene formi un gruppo isomorfo al gruppo di interi relativi . Un fregio è quindi una parte del piano tale che l'insieme delle isometrie che lo lasciano globalmente invariante è un gruppo di fregi. Di solito, un fregio è rappresentato da un motivo che si ripete periodicamente in una determinata direzione. Questo concetto modella i fregi utilizzati nell'architettura o nella decorazione.

I gruppi di fregio sono simili ai gruppi di simmetria puntiforme , usati per piastrellature del piano o in cristallografia . Possiamo mostrare che ci sono esattamente sette gruppi di fregi, fino all'isomorfismo.

Possibili isometrie

Se t è un generatore del gruppo di traslazioni del gruppo di fregio considerato, la direzione del vettore di traslazione costituisce un'unica direzione privilegiata per il fregio, quella in cui l'andamento del fregio si ripete periodicamente. Questa direzione deve essere mantenuta in qualsiasi isometria mantenendo il fregio, in modo che le uniche isometrie possibili siano:

• le traduzioni parallele a questa direzione to
• un singolo asse riflette questa direzione. Se esistessero due di tali simmetrie, il loro composto sarebbe una traslazione di direzione ortogonale alla direzione iniziale, esclusa per ipotesi.Σ{\ displaystyle \ Sigma}
• i riflessi scivolati , composti dal riflesso precedente con una traduzione.
• le riflessioni dell'asse ortogonale alla direzione del fregio
• le rotazioni piane di un mezzo giro (o simmetrie centrali ). I centri di queste rotazioni sono allineati su una linea parallela alla direzione del fregio. Infatti, il composto di due rotazioni così distinte è una traslazione la cui direzione è quella di una retta che collega i centri delle due rotazioni.

I sette gruppi di fregi

Ad eccezione dell'isomorfismo, ci sono solo sette gruppi di fregi. Possiamo determinarli considerando le parti generatrici di questi gruppi di cardinalità crescente.

Le notazioni per designarli sono quelle usate in cristallografia, dove si considerano le isometrie dello spazio ( notazione di Hermann-Mauguin ). Per questo vengono utilizzate quattro lettere. Si assume che il fregio sia contenuto nel piano xy ortogonale all'asse z , e si supponga che la direzione delle traslazioni che lasciano il fregio invariante sia x . La prima lettera, p , designa le traslazioni lungo l'asse x . Ciascuno dei seguenti tre lettere indica la natura delle isometrie utilizzati in relazione rispettivamente alla x , y e z asse . Questa lettera è m se il gruppo ha una riflessione invertendo l'asse considerato (che può essere x o y ), a se è una riflessione scorrevole (invertendo l'asse y ), 1 se non viene utilizzata alcuna isometria n ' diversa dall'identità e 2 se si tratta di un'inversione a U (solo lungo l'asse z ).

Gruppi di fregi generati da un'isometria

Quelli sono :

1) p111  : Il gruppo generato dalla traduzione t . Questo gruppo è isomorfo a . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

2) p1a1  : Il gruppo generato dalla riflessione scivolata . Il composto di questo riflesso scivolato con se stesso restituisce la traslazione t . Questo gruppo è isomorfo a . Σ∘t/2{\ displaystyle \ Sigma \ circ t / 2}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

Gruppi generati da due isometrie

Quelli sono :

3) p1m1  : Il gruppo generato dalla traslazione t e dalla riflessione . Queste due isometrie commutano. Il gruppo è isomorfo al prodotto diretto , le traduzioni svolgono il ruolo degli elementi di e generano un gruppo di due elementi isomorfo a . Σ{\ displaystyle \ Sigma}Z×Z/2Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Σ{\ displaystyle \ Sigma}Z/2Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}

4) PM11  : Il gruppo generata dalla conversione t e una riflessione ortogonale alla direzione del fregio. Il composto di queste due isometrie è una riflessione il cui asse è traslato di t /2 rispetto all'asse iniziale. Questo gruppo è isomorfo al prodotto semidiretto . E' composto, per n e p interi relativi, delle traslazioni del vettore nt che indicheremo con la coppia , e delle riflessioni rispetto ad un asse traslato di pt /2 rispetto ad un asse di riferimento e che indicheremo rappresentare dalla coppia . La regola di composizione dell'isometria viene quindi scritta nella forma , , e , che è riassunta dalla singola formula , oppure r e s sono 1 o -1. Z⋊Z/2Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}(non,1){\ stile di visualizzazione (n, 1)}(p,-1){\ stile di visualizzazione (p, -1)}(non,1)(p,1)=(non+p,1){\ stile di visualizzazione (n, 1) (p, 1) = (n + p, 1)}(non,1)(p,-1)=(non+p,-1){\ stile di visualizzazione (n, 1) (p, -1) = (n + p, -1)}(non,-1)(p,1)=(non-p,-1){\ displaystyle (n, -1) (p, 1) = (np, -1)}(non,-1)(p,-1)=(non-p,1){\ displaystyle (n, -1) (p, -1) = (np, 1)}(non,r)(p,S)=(non+rp,rS){\ displaystyle (n, r) (p, s) = (n + rp, rs)}

5) p112  : Il gruppo generato dalla traslazione t e mezzo giro. Questo gruppo è anche isomorfo al prodotto semidiretto . Abbiamo le stesse regole di cui sopra, ma stavolta notando l'inversione a U il cui centro è traslato di pt /2 rispetto ad un centro di riferimento. Z⋊Z/2Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}(p,-1){\ stile di visualizzazione (p, -1)}

6) pma2  : Il gruppo generato da una riflessione ortogonale alla direzione del fregio, e la riflessione scivolata . La combinazione dei due dà un mezzo giro, ma il cui centro è traslato di -t /4 rispetto all'intersezione degli assi delle due simmetrie. Questo gruppo è anche isomorfo al prodotto semidiretto . Abbiamo la stessa regola di sopra, ma stavolta notando le traslazioni nt , il composto , le semispire di cui si trasla il centro rispetto ad un centro O di riferimento, e le riflessioni di asse ortogonale alla direzione del fregio e passante per il punto . Σ∘t/2{\ displaystyle \ Sigma \ circ t / 2} Z⋊Z/2Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}(non,r)(p,S)=(non+rp,rS){\ displaystyle (n, r) (p, s) = (n + rp, rs)}(2non,1){\ stile di visualizzazione (2n, 1)}(2non+1,1){\ stile di visualizzazione (2n + 1,1)}Σ∘(non+1/2)t{\ displaystyle \ Sigma \ circ (n + 1/2) t}(2p+1,-1){\ stile di visualizzazione (2p + 1, -1)}2p+14t{\ displaystyle {\ frac {2p + 1} {4}} t}(2p,-1){\ stile di visualizzazione (2p, -1)}oh+p2t{\ displaystyle O + {\ frac {p} {2}} t}

Possiamo verificare che qualsiasi altro gruppo di fregio generato da due isometrie restituisce i gruppi precedenti.

Gruppo generato da tre isometrie

7) pmm2  : Il gruppo generato dalla traslazione t , una riflessione ortogonale alla direzione del fregio, e la riflessione , quest'ultima permutando con le due precedenti. Il composto delle due riflessioni dà a mezzo giro di centro l'intersezione dei due assi di simmetria. Questo gruppo è isomorfo a . Una tripletta ( s , n , r ) permette di rappresentare un'isometria di questo gruppo, l'elemento s del se la riflessione è stata applicata o meno, e la coppia ( n , r ) elemento indica qualsiasi traduzione e riflessione ortogonale sono usati . Σ{\ displaystyle \ Sigma}Z/2×(Z⋊Z/2Z){\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ times (\ mathbb {Z} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}Z/2{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2}Σ{\ displaystyle \ Sigma}Z⋊Z/2Z){\ displaystyle \ mathbb {Z} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}

Gruppi di fregi nella storia dell'arte

Troviamo occorrenze dei sette gruppi di fregi dall'Antichità, in particolare su ceramiche mesopotamiche e greche.

Gruppi di nastro

I gruppi di nastri sono una generalizzazione dei gruppi di fregi. Un nastro è un fregio stampato su entrambi i lati. In relazione alle isometrie che si verificano nei gruppi di fregi, sono inoltre autorizzate le seguenti isometrie:

• Una riflessione rispetto al piano xy , eventualmente composta da una traslazione del vettore t /2 per ottenere una riflessione scivolata. Queste isometrie invertono l'asse z .
• Un mezzo giro dell'asse x , eventualmente composto da una traslazione del vettore t /2 per ottenere un serraggio . Nelle notazioni che seguono, tale avvitamento sarà indicato con il simbolo 2 1 .
• Le simmetrie centrali, composte da una riflessione e da un mezzo giro d'asse ortogonale al piano della riflessione. Queste simmetrie centrali sono indicate dal simbolo .1¯{\ displaystyle {\ overline {1}}}

Ci sono quindi esattamente 31 gruppi di nastri. La tabella sottostante li classifica in funzione del gruppo lineare formato dalle isometrie vettoriali associate alle isometrie affini del gruppo di bande considerato. Usiamo le convenzioni di notazione usate per i gruppi di fregi. Quando un'inversione a U e una riflessione vengono utilizzate contemporaneamente rispetto allo stesso asse, sono simboleggiate dalla notazione 2 / m (o 2 / a se è una riflessione scivolata, o 2 1 / m s' è un avvitamento).

Sembra che in questi gruppi le y e z assi giocano ruoli simili. Troviamo in particolare i gruppi di fregio del piano xy ei gruppi di fregio del piano xz .

Gruppi di nastro

Gruppo lineare associato	Nome del gruppo della barra multifunzione	Particolari isometrie del gruppo nastro
1 (o ID)	p111	solo traduzioni
1¯{\ displaystyle {\ overline {1}}} (Sì D)	p1¯{\ displaystyle {\ overline {1}}}	simmetrie centrali
2 (gruppo generato da un'inversione a U)	p211 o p2 1 11 o p121 o p112	mezzo giro o avvitamento sull'asse x
m (gruppo generato da una riflessione)	pm11 o p1m1 o p1a1 o p11m o p11a	riflessioni, o riflessione scivolata dal piano ortogonale a y o z
2/m (gruppo generato da un mezzo giro e dalla riflessione rispetto al piano ortogonale all'asse di questo mezzo giro)	p2 / m11 o p2 1 / m11 o p12 / m1 o p12 / a1 o p112 / m o p112 / a	Inversioni a U e riflessioni, o inversioni a U e riflessione scivolata dal piano ortogonale all'asse y o z di queste inversioni a U
222 (gruppo generato da semigiri rispetto a ciascun asse)	p222 o p2 1 22	mezzo giro rispetto a ciascun asse, oppure mezzo giro dell'asse y e z e avvitamento dell'asse x
2mm (gruppo generato dalle riflessioni rispetto ai piani ortogonali con due assi e mezzo giro dell'asse intersezione dei due piani)	p2mm o p2 1 am o p2 1 ma o p2aa o pm2m o pm2a o pmm2 o pma2	riflessioni rispetto ai piani ortogonali con due assi e mezzo giro dell'asse l'intersezione dei due piani, o riflessione scivolata e relativo avvitamento
mmm (gruppo generato da riflessioni rispetto a piani ortogonali a tre assi. Questo gruppo contiene anche mezzi giri rispetto ai tre assi. Vengono omessi nella notazione per non appesantirla)	pmmm o pmam o pmma o pmaa	riflessioni da piani ortogonali a tre assi o riflessioni di scorrimento; corrispondenti mezzi giri o collegamenti a vite.

Articoli Correlati

• Gruppo di sfondi
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Bibliografia

• (it) HSM Coxeter , Introduzione alla Geometria [ dettaglio delle edizioni ]
• Jean Sivardière , Simmetria in matematica, fisica, chimica , Grenoble, PUG , coll.  "Scienze di Grenoble",1 ° aprile 1995, 880  pag. ( ISBN  2-7061-0606-9 e 978-2-7061-0606-4 , OCLC  32619833 , avviso BnF n o  FRBNF35779988 )
• Henri Bacry ( pref.  Alain Connes), Simmetria in tutti i suoi stati , Parigi, Vuibert ,2000, 447  pag. ( ISBN  2-7117-5267-4 e 978-2-7117-5267-6 , OCLC  45969756 , avviso BnF n o  FRBNF37218851 )Questo libro ha un capitolo sui sette tipi di fregi (ma senza i gruppi).

Riferimenti

1. Mickaël Launay , Il grande romanzo di matematica , Paris, Flammarion,2016, 316  pag. ( ISBN  978-2-290-14180-9 ) , cap.  1 (“Matematici loro malgrado”), p.  16-20.

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