Formula di Airone

Nella geometria euclidea , la formula dell'Erone , dal nome dell'Erone di Alessandria , permette di calcolare l' area $S$ di un qualsiasi triangolo conoscendo solo le lunghezze $a$ , $b$ e $c$ dei suoi tre lati:

{\ displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}} \ quad {\ text {con}} \ quad p = {\ frac {a + b + c} {2}}.}

Dimostrazioni

Airone di Alessandria afferma e dimostra il suo teorema nel suo trattato The Metrics . La sua dimostrazione si basa sulle proprietà del cerchio inscritto in un triangolo e sullo sfruttamento dei rapporti di lunghezza in triangoli simili .

Le proprietà trigonometriche consentono una prova più breve di questa uguaglianza.

Pertanto, la formula di Erone può essere dedotta algebricamente dalla legge dei coseni .

Dimostrazione usando la legge del coseno

La legge dei coseni è scritta ${\ displaystyle 2ab \ cos \ gamma = a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2},}$

unito alla formula classica per l' area del triangolo data da questo angolo e dai lati adiacenti: ${\ displaystyle {\ begin {allineato} S & = {\ frac {ab} {2}} \ sin \ gamma \\ & = {\ frac {2ab} {4}} {\ sqrt {1- \ cos ^ { 2 } \ gamma}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2ab (1+ \ cos \ gamma) 2ab (1- \ cos \ gamma)}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(2ab + a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (2ab-a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ { 2})}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {\ sinistra ((a + b) ^ {2} -c ^ {2} \ destra) \ sinistra (c ^ { 2} - (ab) ^ {2} \ destra)}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (c + ab ) (c-a + b)}}. \ end {allineato}}}$

Allora, notando, $p = a + b + c / 2$ il mezzo perimetro , concludiamo: ${\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2p (2p-2c) (2p-2b) (2p-2a)}} = {\ sqrt {p (pc) (pb) ( papà)}}.}$

Ci sono molte altre dimostrazioni: vedi in particolare l'articolo " Legge delle cotangenti ".

Esiste anche un modo semplice per trovare la formula di Erone mediante considerazioni sulla forma che deve assumere il polinomio $S 2$ sfruttando le proprietà dei triangoli piatti, le proprietà di omogeneità e di simmetria.

Ricerca analisi dimensionale

L'area del triangolo dipende dalla lunghezza dei 3 lati: $S ( a , b , c )$ e queste tre variabili hanno esattamente la stessa importanza (c'è simmetria).

Se assumiamo per scontato che il quadrato dell'area sia un polinomio in $( a , b , c )$ , questo polinomio è simmetrico. Dall'analisi dimensionale sappiamo che questo polinomio è di grado 4 perché è il quadrato di un'area, e che il polinomio è omogeneo.

Inoltre, l'area si annulla solo quando il triangolo è piatto, cioè quando la somma delle lunghezze di due dei lati è uguale alla lunghezza del terzo. Quindi ci sono tre modi per cancellare il polinomio.

Il polinomio $S 2$ è allora della forma

{\ displaystyle S ^ {2} (a, b, c) = k \ volte (b + ca) (a + cb) (a + bc).}

Ora come $S 2$ è simmetrico omogeneo di grado 4, $k$ è un polinomio simmetrico e omogeneo di grado 1 della forma $k = C ( a + b + c )$ con $C$ una costante reale da determinare.

Per trovare $C$ , osserviamo un caso particolare che è quello del triangolo rettangolo isoscele. Era allora $S = a 2 /2$ , $a = b$ e , dando ${\ displaystyle c = a {\ sqrt {2}}}$

{\ displaystyle {\ frac {a ^ {4}} {4}} = C \ sinistra (2a + {\ sqrt {2}} a \ destra) \ sinistra (2a - {\ sqrt {2}} a \ destra ) \ sinistra ({\ sqrt {2}} a \ destra) ^ {2} = C (4a ^ {2} -2a ^ {2}) (2a ^ {2})}

quindi $C = 1/16$ .

Quindi abbiamo . ${\ displaystyle S ^ {2} (a, b, c) = {\ frac {1} {16}} (a + b + c) (b + ca) (a + cb) (a + bc)}$

Troviamo quindi la formula dimostrata dalla trigonometria sopra sostituendo $p$ con . ${\ displaystyle {\ frac {a + b + c} {2}}}$

Formule alternative

Utilizzo di polinomi simmetrici

Secondo i calcoli intermedi sopra, abbiamo anche: ${\ displaystyle {\ begin {allineato} 16 \, S ^ {2} & = (a + b + c) (a + bc) (- a + b + c) (a-b + c) \\ & = 2 ( a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ { 4}) \\ & = (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ { 4} ).\Fine {allineato}}}$ ${\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b^ {4} + c^ {4})}}.}$

Per un'implementazione digitale

La formula di Erone presenta un'instabilità durante il calcolo numerico, che si manifesta per i triangoli pin, vale a dire un lato dei quali è di dimensioni molto piccole rispetto agli altri (confronto di valori piccoli e grandi).

Scegliendo i nomi dei lati in modo che a > b > c , e riorganizzando i termini in modo da ottimizzare le quantità aggiunte o sottratte, William Kahan propone una formula più stabile:

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {[a + (b + c)] \, [c- (ab)] \, [c + (ab)] \, [a + (bc )]}}.}$

Generalizzazione

In geometria sferica

Nella trigonometria sferica esiste una formula simile alla formula di Erone che permette di dedurre l'area di un triangolo sferico dai suoi lati: è data dal teorema di Huilier .

Per quadrilateri

Esistono formulazioni simili per determinare l'area di un quadrilatero , ma a meno che non sia scrivibile , sono necessari i dati aggiuntivi di angoli o diagonali. Vedi: Formula Bretschneider (in) e Formula Brahmagupta .

Per tetraedri

Il volume di un tetraedro è dato in funzione della lunghezza dei suoi bordi dal determinante di Cayley-Menger (en) .

Note e riferimenti

Per uno studio dettagliato della sua dimostrazione vedere (in) Christy Williams, Crystal Kayla Holcomb e Gifford, " Formula di Heron per l'aera triangolare " sull'Università del Kentucky .
. Esercizi di matematica -CSK - 2017/2018 , Esercizio 14, sul sito animath.frfr
(in) W. Kahan, " Calcolo errato dell'area e degli angoli di un triangolo a forma di ago " , su UC Berkeley ,2014.
Vedi anche “ Determinanti Cayley-Menger ” , su mathafou.free.fr .

Vedi anche

link esterno

Michel Hort, " La formula di Héron " , su le-triangle-et-ses-calculs.ch
(it) Eric W. Weisstein , “ La formula di Heron ” , su MathWorld
(it) A. Bogomolny, " La formula di Heron " , su Taglia il nodo