Forma simplettica

In matematica , ci sono tre nozioni distinte ma strettamente correlate di forme simplettiche :

forme simplettiche di spazi vettoriali ;
forme simplettiche di fasci di vettori ;
forme simplettiche su varietà differenziali .

Spazio vettoriale simplettico

In algebra lineare , una forma simplettica su uno spazio vettoriale è una forma bilineare non degenere alternata . Uno spazio vettoriale con una forma simplettica è chiamato spazio vettoriale simplettico . $V$ ${\ displaystyle \ omega: V \ times V \ to \ mathbb {R}}$

Esempi:

${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}$ dove , per la doppia base canonica di , è uno spazio vettoriale simplettico. ${\ Displaystyle \ omega = \ sum _ {k = 1} ^ {n} e_ {k} ^ {*} \ wedge f_ {k} ^ {*}}$ ${\ displaystyle (e_ {k} ^ {*}, f_ {k} ^ {*}) _ {k = 1, ..., n}}$ $\ mathbb {R} ^ {{2n}}$
If è uno spazio vettoriale reale e quindi , dove $W$ ${\ displaystyle V: = W \ oplus W ^ {*}}$ $(V, \ omega)$

{\ displaystyle \ omega ((w_ {1} \ oplus \ alpha _ {1}), (w_ {2} \ oplus \ alpha _ {2})): = \ alpha _ {1} (w_ {2}) - \ alpha _ {2} (w_ {1}), \ quad \ forall w_ {1}, w_ {2} \ in W, \; \ forall \ alpha _ {2}, \ alpha _ {2} \ in W ^ {*}}

è uno spazio vettoriale simplettico.

Fibra simplettica

Nella geometria differenziale , una forma simplettica su un fascio vettoriale reale è una sezione complessiva liscia del fascio che non è fibra per fibra degenerata. Un fascio vettoriale con una forma simplettica è chiamato fascio vettoriale simplettico . ${\ displaystyle E \ to M}$ $\omega$ ${\ displaystyle E ^ {*} \ wedge E ^ {*} \ to M}$

Appunti:

Una forma simplettica di un fascio simplettico è una famiglia liscia di forme simplettiche di spazi vettoriali i cui spazi vettoriali in questione sono le fibre del fascio . ${\ displaystyle \ {\ omega _ {x} \} _ {x \ in M}}$ $Ex}$ ${\ displaystyle E \ to M}$

Esempi:

If è un vero e proprio pacchetto vettoriale e quindi , dove ${\ displaystyle F \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle E: = F \ oplus F ^ {*}}$ ${\ displaystyle (E, \ omega)}$

{\ displaystyle \ omega _ {x} ((w_ {1} \ oplus \ alpha _ {1}), (w_ {2} \ oplus \ alpha _ {2})): = \ alpha _ {1} (w_ {2}) - \ alpha _ {2} (w_ {1}), \ quad \ forall x \ in M, \; \ forall w_ {1}, w_ {2} \ in F_ {x}, \; \ forall \ alpha _ {2}, \ alpha _ {2} \ in F_ {x} ^ {*}}

è un pacchetto di vettori simplettici su . $M$

Quest'ultimo esempio mostra la naturalezza delle forme simplettiche. A differenza delle metriche Riemanniane , la loro esistenza è poco conosciuta, ma almeno vengono naturali.

Varietà simplettica

Sempre nella geometria differenziale, una forma simplettica su una varietà differenziale è una forma 2- differenziale che è: $M$ $\omega$

chiuso (nel senso del differenziale esterno ), cioè ; ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}$
non degenere (fibra per fibra), cioè per ogni diverso da zero, è diverso da zero. ${\ displaystyle v \ in TM}$ ${\ displaystyle \ omega (v, \ cdot)}$

Una varietà differenziale con una forma simplettica è chiamata varietà simplettica .

Appunti:

La forma simplettica di una varietà simplettica è anche una forma simplettica di un fascio vettoriale il cui fascio in questione è il fascio tangente della varietà differenziale . Tuttavia, qui aggiungiamo la condizione di chiusura . Quando è una forma simplettica per il fascio ma non soddisfa necessariamente la condizione di chiusura , si dice che la coppia sia una varietà quasi simplettica . $\omega$ $(M, \ omega)$ $TM$ $M$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}$ $\omega$ $TM$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}$ $(M, \ omega)$
La condizione di essere un simplettico chiuso forma un simplettico implica il teorema di Darboux , che intorno ad ogni punto di c'è un sistema di coordinate locali come scrive in modo canonico . $\omega$ $(M, \ omega)$ $X$ $M$ ${\ displaystyle (p_ {k}, q_ {k}) _ {k = 1, ..., \ dim M}}$ $\omega$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ dim M} \ mathrm {d} p_ {k} \ wedge \ mathrm {d} q_ {k}}$
L'esistenza di forme simplettiche su varietà differenziali è una questione aperta.

Esempi:

Se è una varietà simplettica di dimensione ed è una sottovarietà differenziale di , allora: (M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)} $(M, \ omega)$ 2non{\ displaystyle 2n} $2n$ P{\ displaystyle P} $P$ M{\ displaystyle M} $M$
- Il fascio tangente di è limitato a un fascio di rango su , notato . Ed è un pacchetto simplettico . $M$ $2n$ $P$ ${\ displaystyle T_ {P} M \ rightarrow P}$ ${\ displaystyle (T_ {P} M, \ omega | _ {T_ {P} M})}$ $P$
- Se in qualsiasi momento di , forma bilineare non è degenerato in restrizione spazio tangente , allora è una varietà simplettica. $X$ $P$ $\ omega _ {x}$ ${\ displaystyle T_ {x} P}$ ${\ displaystyle (P, \ omega | _ {T_ {P} P})}$

Vedi anche

Forma di Liouville

Bibliografia

(en) Dusa McDuff e Dietmar Salamon , Introduzione alla topologia simplettica ,2017.