Nell'analisi complessa , le funzioni ellittiche di Weierstrass formano un'importante classe di funzioni ellittiche, vale a dire di funzioni meromorfe doppiamente periodiche . Qualsiasi funzione ellittica può essere espressa usando questi.
Supponiamo di voler costruire una tale funzione di periodo 1. Possiamo prendere qualsiasi funzione, definita su [0, 1] e tale che f (0) = f (1) ed estenderla opportunamente. Un tale processo ha dei limiti. Ad esempio, raramente otterremo funzioni analitiche in questo modo.
Un'idea più sofisticata è quella di prendere una funzione definita e introdurre la funzione definita da .
Un semplice esempio è dato da
.Se otteniamo una funzione infinitamente differenziabile, definita su ℝ \ ℤ e di periodo 1. Se , la serie non converge, possiamo invece introdurre
,che è anche scritto
,o
.È a priori il più interessante del lotto, poiché gli altri sono (salvo fattori costanti) le derivate successive. Nel quadro della teoria delle funzioni olomorfe , dimostriamo che questa serie converge uniformemente su qualsiasi compatto verso la funzione .
Nel suo libretto sulle funzioni ellittiche da cui si ispira questa introduzione, André Weil riprende il lavoro di Gotthold Eisenstein , finge di ignorare le funzioni trigonometriche e le trova con ingegnosi metodi elementari della serie sopra.
Un periodo di una funzione continua f è un numero T diverso da zero tale che, per ogni x reale , abbiamo f ( x + T ) = f ( x ). La differenza di due periodi è un periodo, quindi i periodi formano un sottogruppo del gruppo (ℝ, +), chiuso per la continuità di f . Tale sottogruppo, se non è ridotto a zero, è o uguale a ℝ nel suo insieme (la funzione f è quindi costante, caso banale) o della forma a ℤ per un reale a > 0, che i fisici chiamano il più piccolo periodo di f .
Una funzione doppiamente periodica è una funzione il cui gruppo di periodi è isomorfo a ℤ 2 . Da quanto sopra, tali funzioni continue di una variabile reale non esistono . Devi prendere le funzioni di due variabili o, cosa più interessante, le funzioni di una variabile complessa . Il gruppo di periodi di tale funzione è un reticolo , cioè un sottogruppo di (ℂ, +) generato da due elementi indipendenti su ℝ.
Qualsiasi funzione olomorfa doppiamente periodica è costante, poiché tale funzione è necessariamente limitata su ℂ ( teorema di Liouville ). Fu durante la ricerca sulle funzioni ellittiche che Joseph Liouville fu portato a formulare e dimostrare questo teorema. Dobbiamo quindi lavorare con funzioni meromorfiche .
O L una rete di complessi piani di base . Per analogia con l'introduzione, siamo portati a considerare le funzioni
che sono scritti
Se l'intero k è almeno 3, convergono. Si tratta di una convergenza uniforme su qualsiasi compact non conforme alla rete. Ciò risulta da una serie di osservazioni.
Per quanto riguarda la convergenza, è sufficiente considerare tale ( sarebbe apparentemente sufficiente, questo è un trucco tecnico qui).
il che si riduce, secondo la nostra prima osservazione, alla convergenza della serie di Riemann .
Quest'ultimo converge se k > 2.
Per k = 2, d'altra parte, questo argomento è errato. Sempre per analogia con l'introduzione, presentiamo la serie modificata
.La serie (1) converge uniformemente in ogni compatto non soddisfa L . La somma è una funzione meromorfa che ammette doppie poli nei punti di L . È pari e L- periodico. È stato scoperto da Weierstrass , da cui il nome " funzione Weierstrass" o funzione ellittica di Weierstrass.
Ci poniamo in un disco , che contiene solo un numero finito di elementi di L , che possiamo rimuovere dalla serie senza danneggiarlo per lo studio della sua convergenza.
Per gli altri, abbiamo
uniformemente rispetto a . In queste condizioni, e siamo ricondotti a una questione che è già stata risolta.
Dai risultati di derivazione da termine a termine di cui sopra e classici ,
,il che mostra che la funzione è dispari e L -periodica. Così è anche. A causa della periodicità di , la funzione (for or ) è costante e questa costante è valida .
Possiamo dimostrare che ogni L -periodic meromorfa funzione che ammette doppi pali nei punti di L è della forma un ℘ + b e, più in generale, che qualsiasi L -periodic meromorfa funzione è una frazione razionale in ℘ e ℘ ' (A coefficienti complessi).
La funzione verifica l'equazione differenziale
Qui, ci siamo chiesti (le annotazioni fanno parte di una venerabile tradizione)
Il principio di prova è il seguente. La funzione è certamente meromorfa e L -periodica. Un argomento di sviluppo limitato mostra che è zero all'origine. È quindi olomorfo e limitato, quindi costante (e qui identicamente zero) secondo il teorema di Liouville.
L'applicazione invia ℂ nel cubo di ℂ × ℂ di equazione . La corrispondente curva E del piano proiettivo complesso , chiamata cubica di Weierstrass, è data in coordinate omogenee dall'equazione. Si ha quindi una mappa continua (e anche olomorfa) a condizione di sapere cos'è una varietà complessa ) di ℂ in E data da che si estende dalla continuità ai poli , invia il "punto all'infinito" [(0, 1, 0)] di E .
Proprio come il quoziente ℝ / ℤ è omeomorfo al cerchio, il quoziente ℂ / L è omeomorfo a un toro di dimensione 2; è anche una superficie Riemann compatta.
Si dimostra che l'applicazione visto sopra definito dal passaggio al quoziente un omeomorfismo e applicando biholomorphic ℂ / L in E .
Il discriminante modulare Δ è definito come il quoziente per 16 del discriminante del polinomio che appare nell'equazione differenziale sopra:
La curva E è liscia , cioè senza singolarità. Per vederlo, è sufficiente mostrare che Δ è diverso da zero. Questo è il caso, perché le sue tre radici sono distinte. Secondo la relazione algebrica fondamentale, se , allora è una radice di questo polinomio. Ma la funzione , dispari e L -periodica, svanisce se , quindi per . A causa della biiezione tra ℂ / L e E , i numeri , e sono distinti.
Una struttura di gruppi additivi sull'insieme di punti di tale cubo è descritta nell'articolo “ Curva ellittica ”. L'elemento neutro è il punto all'infinito [(0, 1, 0)], e tre punti P , Q , R sono allineati se e solo se P + Q + R = 0. La mappa è un isomorfismo di gruppi tra ℂ / L e e .
Gli elementi neutri corrispondono tra loro. I punti di E corrispondenti ed essendo allineati, questa è una conseguenza della formula di addizione, citata senza prova:
"Struttura del gruppo su E " e "struttura del gruppo su ℂ / L " sono equivalenti: un risultato profondo, che richiama la teoria delle forme modulari assicura che per ogni cubo liscio , esista una rete unica L tale che e (vedere & 6 del capitolo XII del libro di Godement citato in bibliografia).
(it) Eric W. Weisstein , " Lemniscate Case " , su MathWorld
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