Spazio emimetrico

In matematica , le nozioni di spazio emimetrico e di funzione emimetrica sono la generalizzazione di quelle di spazio e deviazione pseudometrica , non richiedendo che la funzione sia simmetrica.

Definizione

Una funzione emimetrica (o emimetrica) su un set è una funzione $E$

{\ Displaystyle \ mathrm {d}: E \ times E \ to \ mathbb {R} _ {+}}

tale che per tutto , ${\ displaystyle x, y, z \ in E}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} (x, x) = 0}$ ;
${\ Displaystyle \ mathrm {d} (x, z) \ leq \ mathrm {d} (x, y) + \ mathrm {d} (y, z)}$ ( disuguaglianza triangolare ).

Uno spazio emimetrico è un insieme dotato di un emimetrico . ${\ displaystyle (E, \ mathrm {d})}$ $E$ ${\ mathrm d}$

Esempi

Questo è il caso delle distanze in una rete comprendente segmenti unidirezionali e generalmente in qualsiasi grafo orientato .

Casi speciali

Un emimetrico simmetrico è uno spazio vuoto , che definisce uno spazio pseudometrico .
Un emimetrico che distingue due punti (cioè che verifica la proprietà di separazione) è un quasimetrico , che definisce uno spazio quasimetrico .
Un emimetrico che soddisfa entrambe queste proprietà è una distanza , che definisce uno spazio metrico . Indurendo la disuguaglianza triangolare, si ottiene anche uno spazio ultrametrico , utilizzato in particolare nella classificazione automatica .

Un emimetrico induce una topologia attiva . Una base aperta di questa topologia è data dall'insieme: $E$

{\ displaystyle \ {B_ {r} \ sinistra (x \ destra): x \ in E, r> 0 \},}

dov'è la sfera di raggio aperta centrata su . ${\ displaystyle B_ {r} \ left (x \ right) = \ {y \ in E: \ mathrm {d} (x, y) <r \}}$ $r$ $X$

Riferimenti

( fr ) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Spazio emimetrico " ( vedere l'elenco degli autori ) .