Simson ha ragione

In un triangolo ABC , sia M un punto sul piano e U , V e W le proiezioni ortogonali di M sulle rette ( BC ), ( AC ) e ( AB ). Quindi le due proposizioni seguenti sono equivalenti:

• M è sul cerchio circoscritto al triangolo;
• U , V e W sono allineati.

In questo caso, i punti di supporto giuste U , V e W è chiamato il giusto Simson (o destro di Wallace , che era in realtà il primo a scoprire nel 1799) associato al punto M .

In particolare :

• la linea di Simson associata a un vertice è l'altezza risultante da questo vertice;
• La linea di Simson dal punto diametralmente opposto a un vertice sul cerchio circoscritto è il lato opposto a questo vertice.

Varie proprietà

Prova dell'esistenza della linea Simson

Ci accontenteremo qui di una dimostrazione per analogia a partire dalla figura proposta in illustrazione.

Per mostrare l'esistenza della linea di Simson, dobbiamo mostrare che i punti U , V e W sono allineati. Ciò equivale a dimostrare che gli angoli e sono aggiuntivi , vale a dire che . Cerchiamo quindi di valutare la seguente somma: UVM^{\ displaystyle {\ widehat {UVM}}}MVW^{\ displaystyle {\ widehat {MVW}}}UVM^+MVW^=180∘{\ displaystyle {\ widehat {UVM}} + {\ widehat {MVW}} = 180 ^ {\ circ}}

(io) UVM^+MVW^{\ displaystyle {\ widehat {UVM}} + {\ widehat {MVW}}}

Ora e sono dritti, quindi M , V , U e C sono ciclici e MVUC forma un quadrilatero scrivibile . MVVS^{\ displaystyle {\ widehat {MVC}}}MUVS^{\ displaystyle {\ widehat {MUC}}}

Ne deduciamo che è ancora: UVM^+UVSM^=180∘{\ displaystyle {\ widehat {UVM}} + {\ widehat {UCM}} = 180 ^ {\ circ}}

(ii) UVM^+BVSM^=180∘{\ displaystyle {\ widehat {UVM}} + {\ widehat {BCM}} = 180 ^ {\ circ}}

Allo stesso modo e sono retti, quindi M , V , A e W sono ciclici e MVAW forma un quadrilatero scrivibile . MVA^{\ displaystyle {\ widehat {MVA}}}MWA^{\ displaystyle {\ widehat {MWA}}}

Ne deduciamo che:

(iii) MVW^=MAW^=180∘-MAB^{\ displaystyle {\ widehat {MVW}} = {\ widehat {MAW}} = 180 ^ {\ circ} - {\ widehat {MAB}}}

Sostituendo in (i) e con il loro valore dato in (ii) e (iii) si ottiene: UVM^{\ displaystyle {\ widehat {UVM}}}MVW^{\ displaystyle {\ widehat {MVW}}}

(iv) UVM^+MVW^=180∘-BVSM^+180∘-MAB^=360∘-BVSM^-MAB^{\ displaystyle {\ widehat {UVM}} + {\ widehat {MVW}} = 180 ^ {\ circ} - {\ widehat {BCM}} + 180 ^ {\ circ} - {\ widehat {MAB}} = 360 ^ {\ circ} - {\ widehat {BCM}} - {\ widehat {MAB}}}

Tuttavia, per ipotesi A , B , C e M sono ciclici e ABCM forma un quadrilatero scrivibile . Quindi abbiamo:

(v) BVSM^+MAB^=180∘{\ displaystyle {\ widehat {BCM}} + {\ widehat {MAB}} = 180 ^ {\ circ}}

Rinviando (v) in (iv) otteniamo: UVM^+MVW^=180∘{\ displaystyle {\ widehat {UVM}} + {\ widehat {MVW}} = 180 ^ {\ circ}}

CQFD.

Se H è l'ortocentro del triangolo ABC , la linea MH e la linea di Simson associata a M si intersecano sul cerchio di Eulero del triangolo ABC .

Se M e M ' sono due punti del cerchio circoscritto, allora l'angolo tra le linee di Simson di questi due punti è la metà dell'arco MM' . In particolare, se M ed M ' sono diametralmente opposti sul cerchio le loro linee di Simson sono perpendicolari e inoltre il loro punto di intersezione è sul cerchio di Eulero del triangolo.

Due triangoli essere dato, inscritto nel cerchio stesso, Simson le due linee di un punto M rispetto ai due triangoli sono ad un angolo costante, che non dipende dalla scelta del punto M .

Busta della linea Simson

Teorema  -  L'inviluppo delle linee di Simson di un triangolo è un deltoide .

L'articolo sul deltoide di Steiner ne presenta le proprietà.

Vedi anche

Articoli Correlati

• Triangolo
• Steiner ha ragione
• Elenco degli elementi notevoli di un triangolo

link esterno

• Busta della linea di Simson sul sito abracadabri (associato a Cabri Géomètre )
• (it) Teorema della linea di Simson e Teorema dell'angolo tra due linee di Simson di Antonio Gutierrez, sul sito Geometry Step by Step from the Land of the Incas
• (it) Linea Simson sul taglio del nodo
• Jean-Denis Eiden, Geometria analitica classica, Calvage & Mounet, 2009, ( ISBN  978-2-91-635208-4 )
• Simson ha ragione su mathwebs.com .