La costruzione di un pentagono regolare con righello e compasso è una delle prime costruzioni non banali (dopo il triangolo equilatero e il quadrato ) realizzabili grazie agli assiomi di Euclide .
L'esatta costruzione di un pentagono regolare coinvolge la sezione aurea e soprattutto la sua controparte geometrica: il triangolo d'oro . Euclide propone una costruzione di un pentagono regolare inscritto in un dato cerchio.
Ma esistono altri metodi di costruzione più veloci, alcuni dei quali sono discussi di seguito.
Altri matematici o geometri offrono anche costruzioni approssimative che possono essere ottenute con una singola spaziatura della bussola. Questo è il caso per esempio di Abu l-Wafa nel suo libro sulle artigiani indispensabili in realtà la costruzione ( X ° secolo) o Mathias Roriczer nella sua deutsch Geometria (1486), costruita nel corso di Albrecht Dürer (1525).
Euclide costruisce un pentagono regolare ( equilatero ed equiangolo ) inscritto in un cerchio. Il suo elemento base è il triangolo d'oro : un triangolo isoscele i cui angoli con la base sono il doppio dell'angolo in alto (e quindi l'angolo in alto è il 5 ° dell'angolo piatto, 180/5 = 36).
Nella figura allegata, I è il punto medio di [AC], AC = AB, IB = ID, AD = AE = BF. Euclide dimostra che il triangolo ABF è un triangolo d'oro utilizzando proprietà abbastanza lunghe:
Oggigiorno la dimostrazione è più semplice perché se annotiamo AC = 1, otteniamo
Le dimensioni del triangolo ABF sono quindi 1, 1 e . È davvero un triangolo d'oro.
Euclide dimostra che può costruire un triangolo d'oro inscritto in un cerchio.
L'animazione utilizza la seguente proprietà: nel pentagono ABCDE sopra, inscritto in un cerchio di raggio 1, possiamo dimostrare, usando il teorema di Pitagora, che i lati AC e AB hanno le rispettive lunghezze:
In effetti, AC è un lato dell'angolo retto nel triangolo rettangolo AA'C, le cui altre due dimensioni sono 2 e .
Per quanto riguarda DC, la presenza di angoli retti nel quadrilatero ACA'D ci permette di affermare che AA '× DC = 2 × AC × A'C
Nell'animazione presentata, gli ultimi due cerchi costruiti hanno raggi AM e AN (vedi figura a lato). Tuttavia AM è l'ipotenusa del triangolo rettangolo MOA le cui altre due dimensioni sono 1 e . Quindi il teorema di Pitagora permette di dimostrare che AM corrisponde effettivamente alla lunghezza AB.
Per quanto riguarda AN, è l'ipotenusa del triangolo rettangolo ONA le cui altre dimensioni sono 1 e quindi AN corrisponde bene alla lunghezza AC.
Possiamo semplificare notevolmente la costruzione di Euclide mantenendo lo stesso principio: costruire triangoli d'oro o d'argento.
D, D1, D2, D3, D4 formano un pentagono regolare.
Infatti, controlliamo che BOD2 è un triangolo d'oro e BOD1 un triangolo d'argento (le loro basi sono rispettivamente R / φ e φR mentre i loro lati sono R ).
Dimostrazione :
Mostriamo che OC = cos (2 ) = .
Il teorema di Pitagora nel triangolo AOJ dà AJ 2 = (1/2) 2 + 1 2 .
Oppure AB = AJ (raggi del cerchio blu) e OB = AB - AO. Quindi OB = AJ - (1/2), o OB = , da cui il risultato poiché OC = 1/2 OB.
Dimostrazione: Se chiamiamo r il raggio del cerchio inscritto, possiamo provare grazie al teorema di Pitagora che . Da dove viene quella dov'è la sezione aurea. Il triangolo OEH è quindi un triangolo d'oro e l'angolo EOM è quindi 72 ° (angolo al centro in un pentagono regolare).
Nel suo libro Istruzioni per la misurazione, con righello e compasso, di linee, piani e corpi solidi , Albrecht Dürer propone questa costruzione che considera esatta. L'interesse di questa costruzione nasce dal fatto dell'economia di mezzi attuata: tutti i cerchi disegnati hanno lo stesso raggio.
Tuttavia, il pentagono tracciato è effettivamente equilatero ma non è equiangolo : gli angoli di base sono di circa 108,35 ° invece dei 108 ° previsti e l'angolo in alto è di poco più di 109 °. Questa prova è fornita dai geometri Giovanni Battista Benedetti e Clavius .
Traendo ispirazione dalla costruzione dell'enneagone, possiamo trarre una costruzione approssimativa di un pentagono regolare, con righello e compasso, secondo il metodo identico a quello dato per l' eptagono .
Disegna il cerchio con centro O di raggio OX, con angolo AÔB = 120 °. Disegna l'arco di un cerchio con raggio XY e centro X Disegna l'arco di un cerchio con raggio YX e centro Y Questi archi si intersecano in una U Disegna le linee (UA) e (UB). Hanno tagliato il diametro (XY) in C e D Da C, su qualsiasi linea retta, utilizzare una bussola con cinque segmenti uguali CE = EF = FG = GH = HI Disegna la linea (ID) e disegna il parallelo ad essa passando per G (usando il righello e il compasso). Taglia (XY) in G '. Disegna la linea (UG ') che interseca il cerchio in G' '. Fare riferimento al compasso lungo tutto il cerchio la lunghezza AG '', troviamo quindi i cinque vertici del pentagono regolare inscritti nel cerchio.Nota: per realizzare un pentagono comprendente il punto B, sarebbe stato necessario prendere il punto F '.
Con questa costruzione, l'angolo al centro AOG 'è di circa 72,14 gradi invece dei 72 previsti, o un errore relativo di 1,92 per mille.
Questo metodo ti consente di creare qualsiasi poligono regolare. È sufficiente sezionare il segmento CD in tanti settori identici quanti sono i lati desiderati per il poligono. Quindi, prendiamo il terzo punto partendo da C (G '), disegniamo il segmento che lo collega a U e otteniamo G' 'all'intersezione tra il cerchio e questo segmento (nel semipiano inferiore a XY). L'errore sull'angolo centrale per questo metodo varia da 1,92 per mille a 11,7 per mille a seconda del numero di lati.
Righello e costruzione della bussola