Coefficiente di Poisson
Evidenziato (analiticamente) da Siméon Denis Poisson , il coefficiente di Poisson (detto anche coefficiente principale di Poisson) consente di caratterizzare la contrazione del materiale perpendicolare alla direzione della forza applicata.
Definizione
ν=ritiro trasversale relativoallungamento longitudinale relativo=(l0-l)/l0(L-L0)/L0=1-ll0LL0-1{\ displaystyle \ nu = {\ frac {\ text {ritiro trasversale relativo}} {\ text {allungamento longitudinale relativo}}} = {\ frac {(l_ {0} -l) / l_ {0}} {(L -L_ {0}) / L_ {0}}} = {\ frac {1 - {\ frac {l} {l_ {0}}}} {{\ frac {L} {L_ {0}}} - 1 }}}
Nel caso più generale il rapporto di Poisson dipende dalla direzione dell'allungamento, ma:
- nel caso importante dei materiali isotropi è indipendente da essi;
- nel caso di un materiale isotropo trasversale (en), vengono definiti tre coefficienti di Poisson (due dei quali legati da una relazione);
- nel caso di un materiale ortotropo , vengono definiti due coefficienti di Poisson (legati da una relazione) per ciascuna delle tre direzioni principali.
Il rapporto di Poisson è una delle costanti elastiche . È necessariamente compreso tra -1 e 0,5, ma generalmente positivo. Alcuni materiali artificiali e alcuni materiali naturali (alcune rocce sedimentarie ricche di quarzo ) hanno un rapporto di Poisson negativo; si dice che questi particolari materiali siano auxetici . I valori sperimentali ottenuti per qualsiasi materiale sono spesso vicini a 0,3.
Relazioni
Caso di un materiale isotropo
- La variazione di volume ΔV / V dovuta alla contrazione del materiale può essere data dalla formula (valida solo per piccole deformazioni):
ΔVV0≈(1-2ν)ΔLL0{\ displaystyle {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} \ approx (1-2 \ nu) {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}![{\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} \ approx (1-2 \ nu) {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b41fca2b8008f516585c513a84e3160666b7bf)
Dimostrazione
Sia un cubo costituito da un materiale isotropo con un volume iniziale e un volume finale .
Dove il
rapporto tra i due è quindi:
V0=L03{\ displaystyle V_ {0} = L_ {0} ^ {3}}
V=L⋅l2=L0(1+ϵ)⋅(L0(1-ν⋅ϵ))2{\ displaystyle V = L \ cdot l ^ {2} = L_ {0} (1+ \ epsilon) \ cdot (L_ {0} (1- \ nu \ cdot \ epsilon)) ^ {2}}![V = L \ cdot l ^ {2} = L_ {0} (1+ \ epsilon) \ cdot (L_ {0} (1- \ nu \ cdot \ epsilon)) ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0999e54193fb5a9b7f1a8db3c64cd947d5a7922)
ϵ=ΔLL0{\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}![\ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e5cb0dca7c80065d001f2e172af01352c4229d)
V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ)⋅(1-ν⋅ϵ)2{\ displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon) \ cdot (1- \ nu \ cdot \ epsilon) ^ {2}}
, o sviluppando:
V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ+ν2⋅ϵ2-2⋅ν⋅ϵ2+ν2⋅ϵ3){\ displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ { 2} -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon ^ {2} + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ {3})}
L'assunzione di piccole deformazioni permette di trascurare i termini del secondo ordine, si ottiene quindi:
V0+ΔV=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ displaystyle V_ {0} + \ Delta V = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}
ΔV=V0⋅(ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ displaystyle \ Delta V = V_ {0} \ cdot (\ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}
dividendo questa relazione per il volume iniziale :
V0{\ displaystyle V_ {0}}![V_ {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae15ff9b845587dc4e1816f59c3fed0e71a132f)
ΔVV0=(1-2ν)⋅ϵ{\ displaystyle {\ dfrac {\ Delta V} {V_ {0}}} = (1-2 \ nu) \ cdot \ epsilon}
K=13E(1-2ν){\ displaystyle K = {\ frac {1} {3}} {\ frac {E} {(1-2 \ nu)}}}![K = {\ frac {1} {3}} {\ frac {E} {(1-2 \ nu)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8703bb022418e9a0097e86dc685e419cec847e06)
Questa relazione mostra che deve rimanere inferiore a ½ affinché il modulo di elasticità isostatico rimanga positivo. Notiamo anche i valori particolari di ν:
ν{\ displaystyle \ nu}![\nudo](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
- per ν = 1/3 era K = E .
- per ν → 0,5 abbiamo K → ∞ incomprimibilità (caso di gomma , per esempio)
E=2(1+ν)⋅G{\ displaystyle E = 2 (1+ \ nu) \ cdot G}![E = 2 (1+ \ nu) \ cdot G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed59bd1f9b5e376ae3670e2accb3fedb8bc6274)
.
Questa relazione evidenzia il fatto che non può essere inferiore a -1, se non il suo modulo di taglio sarebbe negativo (sarebbe richiesto in trazione appena sarebbe compresso!).
ν{\ displaystyle \ nu}![\nudo](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
Caso di un laminato (isotropo trasversale)
Un coefficiente di Poisson secondario è quindi definito dalla seguente relazione:
E1ν12=E2ν21{\ displaystyle {\ frac {E_ {1}} {\ nu _ {12}}} = {\ frac {E_ {2}} {\ nu _ {21}}}}
dove e sono i moduli di Young dei materiali ed è il rapporto di Poisson secondario.
E1{\ displaystyle E_ {1}}
E2{\ displaystyle E_ {2}}
ν21{\ displaystyle \ nu _ {21}}![\ nu _ {{21}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649b3348f17382838f52fa900d13b3ae04b0c070)
Cassa di materiali naturali
Il rapporto di Poisson può essere calcolato dall'allungamento longitudinale e dalla contrazione trasversale, misurata direttamente.
Per materiali molto rigidi, può essere più conveniente per misurare la velocità di propagazione delle onde P e onde S e derivare il rapporto di Poisson, grazie alla relazione:
ν=12[1-1(VPVS)2-1]{\ displaystyle \ nu = {\ frac {1} {2}} \ left [1 - {\ frac {1} {\ left ({\ frac {V _ {\ mathrm {P}}} {V _ {\ mathrm {S}}}} \ right) ^ {2} -1}} \ right]}![{\ displaystyle \ nu = {\ frac {1} {2}} \ left [1 - {\ frac {1} {\ left ({\ frac {V _ {\ mathrm {P}}} {V _ {\ mathrm {S}}}} \ right) ^ {2} -1}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d045945741b14487f22ad24c35c816e61cbbb1)
.
Corpi semplici
La maggior parte corpi semplici in stato solido hanno un rapporto di Poisson tra 0,2 e 0,4. Su 64 di questi corpi semplici, solo 6 hanno un coefficiente maggiore di 0,4 ( Si : 0,422; Au : 0,424; Pb : 0,442; Mo : 0,458; Cs : 0,460; Tl : 0,468) e 4 un coefficiente inferiore a 0, 2 ( Ru : 0,188; Eu : 0,139; Be : 0,121; U : 0,095); nessuno è auxetico .
Ossidi
160 ossidi testati nel 2018, è un singolo auxetic in condizioni ambientali , la cristobalite α ( ν = -0,164), e il resto da 20 a 1500 ° C . Il quarzo ha anche un rapporto di Poisson significativamente inferiore agli altri ossidi: ( ν = 0,08 a temperatura ambiente.
Per il 97,4% degli ossidi, il rapporto di Poisson è compreso tra 0,150 e 0,400 ( media : 0,256; deviazione standard : 0,050). In generale il coefficiente di Poisson è positivamente correlato alla densità : (escludendo cristobalite e quarzo) ma il coefficiente di determinazione r 2 non è molto elevato: 0,28. La correlazione è migliore se si considerano solo gli ossidi che cristallizzano nello stesso sistema reticolare :
ν≈0,0285ρ-0.1227{\ displaystyle \ nu \ circa 0 {,} 0285 \, \ rho -0 {,} 1227}
Rapporto di Poisson tra ossidi
Sistema |
non |
Equazione di correlazione |
r 2
|
---|
esagonale |
8 |
ν≈0,0506ρ+0,067{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0506 \, \ rho +0 {,} 067}![{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0506 \, \ rho +0 {,} 067}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39e8998068d7c561cadc0a2d4725c7b4729dd53) |
0.99
|
trigonale |
24 |
ν≈0.0852ρ-0.1267{\ displaystyle \ nu \ circa 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267}![{\ displaystyle \ nu \ circa 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc8932627fd39ca27453c63e9fa3185eb1f236d) |
0.83
|
cubo |
70 |
ν≈0.0852ρ-0.1267{\ displaystyle \ nu \ circa 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267}![{\ displaystyle \ nu \ circa 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc8932627fd39ca27453c63e9fa3185eb1f236d) |
0.46
|
tetragonale |
19 |
ν≈0.0525ρ-0.0264{\ displaystyle \ nu \ circa 0 {,} 0525 \, \ rho -0 {,} 0264}![{\ displaystyle \ nu \ circa 0 {,} 0525 \, \ rho -0 {,} 0264}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dae5f8f7e54f633e524633e9586726ef2568b28) |
0.36
|
ortorombica |
33 |
ν≈0.0129ρ+0.1873{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0129 \, \ rho +0 {,} 1873}![{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0129 \, \ rho +0 {,} 1873}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ea21d2a88178d3e36db83ed5c4655f2b582b98) |
0.27
|
-
L'unico ossido monoclino studiato ha un rapporto di Poisson di 2,271.
-
n : numero di ossidi presi in considerazione nella regressione lineare.
Silicati
Il rapporto di Poisson dei 301 silicati testati nel 2018 (9 ciclosilicati , 43 inosilicati , 219 neosilicati , 5 fillosilicati e 25 tettosilicati ) varia tra 0,080 per il quarzo e 0,365 per lo zircone . Se escludiamo questi due estremi, ν varia tra 0,200 e 0,350 (media: 0,261; deviazione standard: 0,030).
Altri composti inorganici
Il rapporto di Poisson tra carbonati , alogenuri , fosfati , solfati e solfuri varia tra 0,091 e 0,379:
Rapporto di Poisson tra diversi composti chimici
Composti |
non |
Intervallo di valori |
Media |
Deviazione standard
|
---|
Carbonati |
12 |
0.178-0.319 |
0.288 |
0.041
|
Alogenuri |
10 |
0.133-0.310 |
0.258 |
0,048
|
Fosfati |
8 |
0,091-0,316 |
0.243 |
0.083
|
Solfati |
8 |
0.191-0.379 |
0.305 |
0.057
|
Solfuri |
10 |
0.160-0.376 |
0.290 |
0.086
|
Alcuni valori numerici
Le caratteristiche meccaniche dei materiali variano da un campione all'altro. Tuttavia, per i calcoli, i seguenti valori possono essere considerati una buona approssimazione. Il rapporto di Poisson non ha unità.
|
|
Vetri, ceramiche, ossidi, carburi metallici, minerali
Materiale
|
ν
|
---|
Argilla bagnata
|
0,40 - 0,50
|
Calcestruzzo
|
0.20
|
Sabbia
|
0,20 - 0,45
|
Carburo di silicio (SiC)
|
0.17
|
Se 3 N 4
|
0.25
|
Bicchiere |
0,18 - 0,3
|
|
Materiali naturali
Materiale
|
ν
|
---|
Polimeri , fibre
|
0,30 - 0,50
|
Gomma da cancellare |
0,50
|
sughero |
0,05 - 0,40
|
Schiuma
|
0,10 - 0,40
|
Plexiglas ( polimetilmetacrilato )
|
0,40 - 0,43
|
|
Note e riferimenti
Appunti
-
La cristobalite α è un metastabile polimorfico del biossido di silicio SiO 2.
-
Il quarzo non è propriamente un silicato (cioè un ossido ), ma è classificato come silicati di struttura in varie classificazioni di minerali .
Riferimenti
-
(en) Shaocheng Ji, Le Li, Hem Bahadur Motra, Frank Wuttke, Shengsi Sun et al. , " Rapporto di Poisson e proprietà ausiliarie delle rocce naturali " , Journal of Geophysical Research - Solid Earth , vol. 123, n o 2febbraio 2018, p. 1161-1185 ( DOI 10.1002 / 2017JB014606 ).
-
(in) A. Yeganeh-Haeri, DJ Weidner e JB Parise, " Elasticity of α-cristobalite: A silicon dioxide with a negative Poisson's ratio " , Science , vol. 257, n . 507031 luglio 1992, p. 650-652 ( DOI 10.1126 / science.257.5070.650 ).
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