Categoria arricchita

Una categoria arricchita su una categoria monoidale , o -categoria è un'estensione del concetto matematico di categoria , dove i morfismi , invece di formare una classe o un insieme senza struttura, sono elementi di . ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Motivazione

Il concetto di categoria arricchita parte dall'osservazione che in molte situazioni i morfismi hanno una struttura naturale di spazio vettoriale o topologico . La categoria deve essere monoidale per poter definire la composizione dei morfismi, chiamati in questo caso hom-oggetti anziché hom-set. ${\ mathcal {M}}$

Definizione

Una categoria arricchita su , dove è una categoria monoidale , sono i dati dei seguenti elementi: $\ mathcal C$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Un insieme di oggetti ; ${\ displaystyle \ mathrm {Obj} ({\ mathcal {C}})}$
Per ogni coppia di oggetti x , y , un oggetto chiamato hom-oggetto e annotato ; ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (x, y)$
Per ogni tripletta di oggetti di , un morfismo in , detto di composizione: $\ mathcal C$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (b, c) \ otimes {\ mathrm {hom}} (a, b) \ to {\ mathrm {hom}} (a, c)$
Per ogni oggetto un de , un cosiddetto morfismo dell'identità, dove $1$ è l'unità del prodotto tensoriale in $\ mathcal C$ ${\ mathsf {id_ {a}}}: 1 \ to {\ mathrm {hom}} (a, a)$ ${\ mathcal {M}}$
I diagrammi commutativi corrispondenti all'associatività della composizione e al buon comportamento dei morfismi identitari in questa composizione.

Esempi

Una categoria arricchita sulla categoria Set di set non è altro che una piccola categoria localmente (nel senso usuale) ;
Una categoria arricchita nella categoria Top degli spazi topologici è una categoria topologica (en) ;
Una categoria arricchita sulla categoria degli insiemi simpliciali è una categoria arricchita in modo semplice (in) :
Una categoria arricchita nella categoria Cat di categorie è una rigorosa 2-categoria .

Riferimenti

(en) Max Kelly , Concetti di base della teoria delle categorie arricchite , vol. 64, Cambridge University Press, coll. "London Mathematical Society Lecture Note Series",1982
(it) Saunders Mac Lane , Categories for the Working Mathematician [ dettaglio dell'edizione ]