Sistema decimale

Il sistema decimale è un sistema numerico che utilizza la base dieci. In questo sistema, le potenze di dieci e i loro multipli godono di una rappresentazione privilegiata.

Numeri decimali

Il sistema decimale è ampiamente utilizzato. Così sono costituiti, ad esempio, i numeri:

Sistemi di valutazione

Le persone con una base decimale hanno utilizzato varie tecniche nel corso degli anni per rappresentare i numeri. Ecco alcuni esempi.

I sistemi numerici le cui cifre rappresentano potenze di dieci sono di tipo additivo. Questo è il caso della numerazione egiziana . Esempio: 1506 è scritto

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in scrittura geroglifica (1000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).

Anche tali sistemi di numerazione sono di tipo additivo, ma comportano un sistema quinario ausiliario. Questo è il caso dei numeri attici, etruschi, romani e ciuvascia . Esempio: 2604 è scritto MMDCIIII. in numeri romani (1000 + 1000 + 500 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1). Il numero romano conosce anche una variante additiva e sottrattiva: 2604, in questo modo, si scrive MMDCIV. (1000 + 1000 + 500 + 100 - 1 + 5).

Sistemi numerici che impiegano nove cifre per unità, decine, centinaia, ecc. sono ancora del tipo additivo. Questo è il caso dei numeri armeni , alfabetici arabi , gotici , greci ed ebraici . Esempio: 704 è scritto ψδ in numeri greci ionici (700 + 4).

I sistemi numerici le cui cifre rappresentano unità e potenze di dieci sono di tipo ibrido. Questo è il caso dei numeri cinesi e giapponesi . Esempio: 41 007 è scritto 四万 千七 nel sistema giapponese (4 × 10.000 + 1.000 + 7). Il sistema cinese usa anche lo zero per indicare le posizioni vuote prima delle unità: 41 007, è scritto 四 萬千 〇 七 in cifre cinesi (4 × 10.000 + 1 000 + 0 + 7).

I sistemi numerici le cui cifre rappresentano le unità sono di tipo posizionale . Questo è il caso dei numeri arabi non alfabetici, europei, quasi tutti indiani, mongoli e thailandesi . Esempio: 8002 è scritto ๘๐๐๒ in cifre tailandesi (8002).

Storico

La base dieci è molto vecchia. Nasce da una scelta naturale, dettata dal numero delle dita delle due mani. I proto-indoeuropei probabilmente contavano in base dieci. È stato sviluppato un sistema di notazione decimale:

Si noti, tuttavia, l'uso di sistemi non decimali, di cui qui ci sono alcuni esempi.

Basi combinate

Numerazione decimale abbinata a una base ausiliaria

I numeri decimali a volte usano basi ausiliarie:

Numero decimale utilizzato come sistema ausiliario

Sistemi di unità

In Cina le misure di capacità e peso sono decimate intorno al 170 a.C. AD . Negli Stati Uniti, il sistema monetario era decimale nel 1786. In Europa, la decimalizzazione delle unità fu avviata in Francia dal 22 agosto 1790, quando Luigi XVI chiese all'Académie des Sciences di nominare una commissione per definire le unità. Pesi e misure . Quest'ultimo sostiene la divisione decimale.

Vantaggi e svantaggi

La maggior parte delle lingue moderne scompone i numeri in base dieci a causa di alcuni dei suoi punti di forza:

Tuttavia, non è stato fino alla generalizzazione della notazione di posizione, e all'esistenza di un algoritmo di divisione adattato a questa notazione, che le unità di misura perdono gradualmente i loro sottomultipli non decimali - in particolare, la notazione che include 3 fattori come senario, duodecimale e ottodecimale.

Quando la sterlina in Francia includeva 20 centesimi da 12 denari (o in Gran Bretagna 20 scellini da 12 pence ), gli agenti economici apprezzarono che questa unità potesse essere divisa esattamente per 20 diversi divisori (inclusi 1 e 240). Nel 1971, nonostante l'informatica che ora consente di gestire facilmente l'eterogeneità dei rapporti non decimali tra sottomultipli, la Gran Bretagna non esita a decimalizzare la propria moneta.

Matematica

Conversione in base N di un numero scritto in base decimale

Per passare da un numero in base decimale a un numero in base N , possiamo applicare il seguente metodo:

Sia K il numero in base decimale da convertire in N base .

  1. Esecuzione divisione intera di K da N . Sia D il risultato di questa divisione e R il resto
  2. Se D > = N , ricomincia da 1
  3. Altrimenti la scrittura in base N di K è uguale alla concatenazione dell'ultimo risultato e di tutti i resti che iniziano con l'ultimo.

Esempio: conversione in base esadecimale (base sedici) del numero 3257 scritto in base decimale

Sapendo che 11 (undici) è scritto B e che 12 (dodici) è scritto C, la scrittura di 3257 (tremiladuecentocinquantasette) in base esadecimale è CB9.

Conversione alla base decimale di un numero scritto in base N

Per passare da un numero in base N a un numero in base decimale, possiamo applicare il seguente metodo:

Sia K il numero in base N da convertire.

Per ogni cifra c di rango r in K , calcoliamo c × N r . La rappresentazione di K in base dieci è la somma di tutti i prodotti.

Il conteggio di r inizia da zero da destra a sinistra.

Esempio
Il numero "10110" in base due è scritto in base dieci:

1 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 22 (base dieci)

Esempio
Il numero "14043" in base sei è scritto in base dieci:

1 × 6 4 + 4 × 6 3 + 0 × 6 2 + 4 × 6 1 + 3 × 6 0 = 2187 (base dieci)

Esempio
Il numero "3FA" in base sedici è scritto in base dieci:

3 × 16 2 + 15 × 16 1 + 10 × 16 0 = 1018 (base dieci)

Promemoria: F in base sedici vale quindici, A in base sedici vale dieci.

Note e riferimenti

  1. Maurice Caveing, Saggio sulla conoscenza matematica: in Mesopotamia e nell'antico Egitto , Villeneuve d'Ascq, Presses Univ. Nord,1994, 417  p. ( ISBN  2-85939-415-X ) , p.  243.244.
  2. Walter William Rouse Ball A Short account of the history of matematica, Dover Publications, 2001, capitolo I, p.   2 e 4 aritmetica egizia primitiva (aritmetica in epoca egizia antica), p.  3 primi matematici egiziani , p.  5 matematica egizia e fenicia , p.  6, 7 e 8 della prima geometria egizia (con riferimento al papiro di Rhind e PI), p.   ( ISBN  1402700539 )
  3. Vedi pagina 13 in The Matematica dell'Egitto, Mesopotamia, Cina, India e Islam: a sourcebook , Victor J. Katz & Annette Imhausen , Princeton University Press, 2007
  4. Vedi pagina 118 nel Dizionario enciclopedico della matematica - EDM 2 , Kiyosi Itô, MIT Press, 2000
  5. Tempio 2007 , p.  152-154.
  6. Vedi pagina 104 in Scienza antica e medievale , René Taton, Quadrige PUF, 1966
  7. Vedere le pagine 20-21 in Storia delle scienze sotto la direzione di Philippe di Cotardière Tallandier, 2004 - Estratti: "Agli inizi del II ° millennio, quando la scrittura cuneiforme è ora in vigore, un sistema digitale unico s'imposizione. Questo è un sistema numerico sessagesimale, cioè basato sulla base sessanta e non sulla base decimale che ci è familiare. "
  8. Vedi pagine 40-41 in The Technology of Mesopotamia , Graham Faiella, Rosen Publishing, 2006
  9. Vedi pagina 77 in The Princeton Companion to Mathematics a cura di Timothy Gowers , June Barrow-Green e Imre Leader , Princeton University Press, 2008
  10. Vedere le pagine 111-114 in "The first writing: script innovation as history and process , a cura di Stephen D. Houston, Cambridge University Press, 2004
  11. Vedi anche pagina 341 in Astrazione e rappresentazione: saggi sull'evoluzione culturale del pensiero , Peter Damerow, Luwer Academic Publishers, 1996
  12. Vedi pagina 16 in Fleeting Footsteps - Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China , Lay Yong Lam & Tian Se Ang, World Scientific Publishing, 2004. Estratti (riguardanti la base numerica Maya): "è iniziato come vigesimale dopo l'unità 1 a 19, ma poi è passato a trecentosessanta, e infine (al quarto posto) a settemiladuecento) . "

Vedi anche

Bibliografia

Articoli Correlati