Arg max
In matematica , l' argomento massimo , annotato arg max o argmax , è l'insieme di punti in cui un'espressione raggiunge il suo valore massimo .
Definizione
Per una funzione , con un insieme totalmente ordinato, il max arg di è definito da:
f:X→Y{\ displaystyle f: X \ to Y}
Y{\ displaystyle Y}
f{\ displaystyle f}
argmaXf =def {X∈X | ∀X′∈X, f(X′)≤f(X)}{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} \, f \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ {x \ in X \ | \ \ forall x '\ in X, \ f ( x ') \ leq f (x) \}}
ovvero,
è l'insieme di valori per i quali raggiunge il suo massimo. Equivalentemente, è il livello impostato del massimo di :
argmaXf{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} \, f}
X{\ displaystyle x}
f{\ displaystyle f}argmaXf{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} \, f}f{\ displaystyle f}
argmaXf=f-1({maxf}).{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} \, f = {f} ^ {- 1} (\ {\ operatorname {max} \, f \}).}
Possiamo anche trovare la notazione .
argmaXXf(X){\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x)}
Se è una parte di allora arg max della restrizione a , può essere notato
A{\ displaystyle A}
X{\ displaystyle X}
f{\ displaystyle f}A{\ displaystyle A}f|A{\ displaystyle f_ {| A}}
argmaXf|A o argmaXAf o argmaXX∈Af(X).{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} f_ {| A} {\ text {o}} {\ underset {A} {\ operatorname {arg \, max}}} f {\ text {o}} {\ underset {x \ in A} {\ operatorname {arg \, max}}} f (x).}
Il suo valore è
argmaXAf = {X∈A | ∀X′∈A, f(X′)≤f(X)}.{\ displaystyle {\ underset {A} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f \ = \ \ {x \ in A \ | \ \ forall x '\ in A, \ f (x') \ leq f (x) \}.}
Ad esempio, se è , raggiunge il suo valore massimo per solo e il suo argomento massimo è .
f(X){\ displaystyle f (x)}
-|X|{\ displaystyle - | x |}
X=0{\ displaystyle x = 0}
{0}{\ displaystyle \ {0 \}}
Abbiamo anche
argmaXX∈[0,4π]cos(X)={0,2π,4π}{\ Displaystyle {\ underset {x \ in [0.4 \ pi]} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ cos (x) = \ {0.2 \ pi, 4 \ pi \}}![{\ Displaystyle {\ underset {x \ in [0.4 \ pi]} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ cos (x) = \ {0.2 \ pi, 4 \ pi \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cc9d87b3c9d58f0f7223a632e5521facff5b34)
perché il massimo di è e questo valore viene raggiunto nell'intervallo in cui , o .
cos(X){\ displaystyle \ cos (x)}
1{\ displaystyle 1}
[0;4π]{\ displaystyle [0; 4 \ pi]}![{\ displaystyle [0; 4 \ pi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ff926c7703d9155a5051450258418989f6dfa5)
X=0{\ displaystyle x = 0}2π{\ displaystyle 2 \ pi}
4π{\ displaystyle 4 \ pi}
Se il massimo viene raggiunto in un singolo punto, per semplicità, possiamo anche designare questo punto come max arg e possiamo usare il punto o il singleton a seconda del contesto. Ad esempio, l'unico massimo di è , raggiunto solo per , quindi
X(10-X){\ displaystyle x \, (10-x)}
25{\ displaystyle 25}
X=5{\ displaystyle x = 5}
argmaXX∈R(X(10-X))=5{\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} (x \, (10-x)) = 5}
in un contesto di numeri
e
argmaXX∈R(X(10-X))={5}{\ Displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} (x \, (10-x)) = \ {5 \}}
in un contesto di set.
Arg min
arg min (o argmin ) è definito in modo simile (sostituendo "max" con "min" e con ): per una funzione , con un insieme totalmente ordinato, l' arg min è definito da
≤{\ displaystyle \ leq}
≥{\ displaystyle \ geq}
f:X↦Y{\ displaystyle f: X \ mapsto Y}
Y{\ displaystyle Y}
argmiononf =def {X∈X | ∀X′∈X,f(X′)≥f(X)}.{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, min} \, f \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ {x \ in X \ | \ \ forall x '\ in X, f (x ') \ geq f (x) \}.}
Vedi anche
Credito dell'autore
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Arg max " ( vedere l'elenco degli autori ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">