Algebra geometrica conforme
L' algebra geometrica conforme è un modello matematico dello spazio , stabilendo una corrispondenza iniettiva tra lo spazio euclideo di dimensione e l'algebra geometrica di dimensione , tale che l'immagine di qualsiasi punto sia un vettore zero e tale che ci sia un vettore zero con cui il l'immagine di un punto qualsiasi dà un prodotto interno uguale a uno.
non{\ displaystyle n}
non+2{\ displaystyle n + 2}
F(X)2=0F(X)⋅∞=1∞2=0{\ displaystyle {\ begin {array} {c} F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0 \\ F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1 \\\ infty ^ {2} = 0 \ end {array}}}
Definizioni
Mappa di Minkowski
L'algebra geometrica conforme aggiunge due dimensioni allo spazio euclideo con una metrica pseudo-euclidea . Questo spazio è chiamato l'aereo Minkowskii .
(-,+){\ displaystyle (-, +)}
Vengono scelti due vettori zero di questo spazio. Sono annotati e chiamati rispettivamente origine e orizzonte . Sono scelti in modo da soddisfare le seguenti relazioni:
(o,∞){\ displaystyle (o, \ infty)}
o2=∞2=0o⋅∞=∞⋅o=1{\ displaystyle {\ begin {array} {c} o ^ {2} = \ infty ^ {2} = 0 \\ o \ cdot \ infty = \ infty \ cdot o = 1 \ end {array}}}
Si può dimostrare che costituiscono una base del piano Minkowski. Questa base è chiamata base zero .
(o,∞){\ displaystyle (o, \ infty)}
Il prodotto esterno dell'orizzonte e dell'origine forma lo pseudo-scalare del piano Minkowski. È indicato con la E maiuscola.
∞∧o=E{\ displaystyle \ infty \ wedge o = E}
La convenzione esiste anche ma non verrà utilizzata in questo articolo.
E=o∧∞{\ displaystyle E = o \ wedge \ infty}
Taglio conforme
L'algebra geometrica conforme taglia un'algebra geometrica di dimensione vettoriale in due sottospazi: il piano di Minkowski e uno spazio dimensionale che mira a rappresentare uno spazio euclideo.
non+2{\ displaystyle n + 2}non{\ displaystyle n}
Esistono almeno due metodi di taglio.
Taglio additivo
La divisione additiva utilizza una somma diretta :
Rnon+1,1=Rnon⊕R1,1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1,1} = \ mathbb {R} ^ {n} \ oplus \ mathbb {R} ^ {1,1}}
Viene quindi scritto un vettore di :
X{\ displaystyle x}
Rnon+1,1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1,1}}
X=F(X)=X+αo+β∞{\ displaystyle x = F (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty}
I coefficienti sono le coordinate di nel piano Minkowski. Dipendono da in modo che soddisfino le relazioni che definiscono il modello conforme.
α,β{\ displaystyle \ alpha, \ beta}
X{\ displaystyle x}X{\ displaystyle \ mathbf {x}}
F(X){\ displaystyle F (\ mathbf {x})}
Scissione moltiplicativa
La divisione moltiplicativa consiste in un prodotto diretto:
Gnon+1,1=Gnon⊗G1,1{\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n + 1,1} = {\ mathcal {G}} _ {n} \ otimes {\ mathcal {G}} _ {1,1}}
Ecco infatti lo spazio dei trivector aventi come fattore comune il bivettore E.
Gnon{\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n}}
ρX=X∧E{\ displaystyle \ rho \ mathbf {x} = x \ wedge E}
Il fattore di linearità deve essere determinato tenendo conto delle condizioni del modello conforme.
ρ{\ displaystyle \ rho}
Proprietà
Mappa di Minkowski
Quadrato pseudo-scalare
Il quadrato dello pseudo-scalare del piano Minkowski è uguale a uno.
E2=1{\ displaystyle E ^ {2} = 1}
Dimostrazione
E2=(∞∧o)(∞∧o)=-(o∧∞)(∞∧o)=-(o∞-o⋅∞)(∞o-∞⋅o)=-(o∞-1)(∞o-1)=(1-o∞)(∞o-1)=∞o-1-o∞∞o+o∞=∞o+o∞-1=2∞⋅o-1=2-1=1{\ displaystyle {\ begin {align} E ^ {2} = & (\ infty \ wedge o) (\ infty \ wedge o) \\ = & - (o \ wedge \ infty) (\ infty \ wedge o) \ \ = & - (o \ infty -o \ cdot \ infty) (\ infty o- \ infty \ cdot o) \\ = & - (o \ infty -1) (\ infty o-1) \\ = & ( 1-o \ infty) (\ infty o-1) \\ = & \ infty o-1-o \ infty \ infty o + o \ infty \\ = & \ infty o + o \ infty -1 \\ = & 2 \ infty \ cdot o-1 \\ = & 2-1 \\ = & 1 \ end {allineato}}}
∎
Assorbimento di base zero
Nel piano di Minkowski, la moltiplicazione per E agisce sull'origine e sull'orizzonte modificandone o meno il segno a seconda della direzione della moltiplicazione.
E∞=-∞E=∞oE=-Eo=o{\ displaystyle {\ begin {array} {c} E \ infty = - \ infty E = \ infty \\ oE = -Eo = o \ end {array}}}
Dimostrazione
E∞=(∞∧o)∞=-(o∧∞)∞=-(o∞-o⋅∞)∞=(o⋅∞-o∞)∞=(1-o∞)∞=∞-o∞2=∞{\ displaystyle {\ begin {align} E \ infty = & (\ infty \ wedge o) \ infty \\ = & - (o \ wedge \ infty) \ infty \\ = & - (o \ infty -o \ cdot \ infty) \ infty \\ = & (o \ cdot \ infty -o \ infty) \ infty \\ = & (1-o \ infty) \ infty \\ = & \ infty -o \ infty ^ {2} \ \ = & \ infty \ end {allineato}}}
Le altre relazioni sono dimostrate in modo simile.
Espressione di F
Taglio additivo
Con il taglio additivo si scrive l'espressione esplicita di F:
F(X)=o+X-12X2∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Dimostrazione
Come visto in precedenza:
F(X)=X+αo+β∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty}
Cerchiamo di determinare e per soddisfare e .
α{\ displaystyle \ alpha}
β{\ displaystyle \ beta}
F(X)2=0{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0}
F(X)⋅∞=1{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1}
Abbiamo:
F(X)2=(X+αo+β∞)(X+αo+β∞)=X2+αβo∞+αβ∞o=X2+2αβo⋅∞=X2+2αβ{\ Displaystyle {\ begin {align} F (\ mathbf {x}) ^ {2} = & (\ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty) (\ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty) \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} + \ alpha \ beta o \ infty + \ alpha \ beta \ infty o \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} +2 \ alpha \ beta o \ cdot \ infty \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} +2 \ alpha \ beta \ end {allineato}}}
Quindi implicaF(X)2=0{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0}αβ=-12X2{\ displaystyle \ alpha \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
La condizione implica immediatamenteF(X)⋅∞=1{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1}α=1{\ displaystyle \ alpha = 1}
pertanto β=-12X2{\ displaystyle \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
∎
Scissione moltiplicativa
Per la divisione moltiplicativa, F si scrive:
F(X)=(o+X+12X2∞)E=o+XE-12X2∞{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) = (o + \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty) E = o + \ mathbf { x} E - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Dimostrazione
Innanzitutto abbiamo:
F(X)=X=XE2=(X∧E+X⋅E)E{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) = x = xE ^ {2} = (x \ wedge E + x \ cdot E) E}
Da dove
X2=XX†=(X∧E+X⋅E)EE(E∧X+X⋅E)=-(X∧E+X⋅E)(X∧E-X⋅E)=(X⋅E)2-(X∧E)2{\ Displaystyle x ^ {2} = xx ^ {\ dagger} = (x \ wedge E + x \ cdot E) EE (E \ wedge x + x \ cdot E) = - (x \ wedge E + x \ cdot E) (x \ wedge Ex \ cdot E) = (x \ cdot E) ^ {2} - (x \ wedge E) ^ {2}}
Come altrove , arriva:
X2=0{\ displaystyle x ^ {2} = 0}
(X⋅E)2=(X∧E)2=X2{\ displaystyle (x \ cdot E) ^ {2} = (x \ wedge E) ^ {2} = \ mathbf {x} ^ {2}}
Oro
(X⋅E)2=(X⋅(∞∧o))2=(X⋅∞o-∞X⋅o)2=(o-∞X⋅o)2=-X⋅o(o∞+∞o)=-2X⋅o{\ displaystyle (x \ cdot E) ^ {2} = (x \ cdot (\ infty \ wedge o)) ^ {2} = (x \ cdot \ infty \, o- \ infty \, x \ cdot o) ^ {2} = (o- \ infty \, x \ cdot o) ^ {2} = - x \ cdot o (o \ infty + \ infty o) = - 2x \ cdot o}
pertanto
X⋅o=-12X2{\ Displaystyle x \ cdot o = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
E così
X⋅E=o-∞X⋅o=o+12X2∞{\ Displaystyle x \ cdot E = o- \ infty \, x \ cdot o = o + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Che danno
XE=X∧E+X⋅E=X+12X2∞+o{\ Displaystyle xE = x \ wedge E + x \ cdot E = \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty + o}
e infine, moltiplicando per E:
X=(X+12X2∞+o)E{\ displaystyle x = (\ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty + o) E}
Prodotto interno e standard euclideo
Il quadrato della distanza euclidea è l'opposto del doppio del prodotto interno.
‖y-X‖2=-2F(X)⋅F(y){\ displaystyle \ | \ mathbf {y} - \ mathbf {x} \ | ^ {2} = - 2F (\ mathbf {x}) \ cdot F (\ mathbf {y})}
Dimostrazione
Per il taglio additivo:
2F(X)⋅F(y)=(o+X-12X2∞)(o+y-12y2∞)+(o+y-12y2∞)(o+X-12X2∞)=-12y2-12X2+Xy-12X2-12y2+yX=-(X2-Xy-yX+y2)=-(X-y)2=-‖X-y‖2{\ displaystyle {\ begin {align} 2F (\ mathbf {x}) \ cdot F (\ mathbf {y}) = & (o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty) (o + \ mathbf {y} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} \ infty) + (o + \ mathbf {y} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} \ infty) (o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2 } \ infty) \\ = & - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} + \ mathbf {xy} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} + \ mathbf {yx} \\ = & - (\ mathbf {x} ^ {2} - \ mathbf {xy} - \ mathbf {yx} + \ mathbf {y} ^ {2}) \\ = & - (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) ^ {2} \\ = & - \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ | ^ {2} \ end {allineato}}}
Per l'affettatura moltiplicativa:
Vedi anche
link esterno
Note e riferimenti
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Si è scelto qui di stabilire il carattere iniettivo della corrispondenza per evitare di includere il caso banale .F(X)=o{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = o}
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Esistono diversi modi per definire l'origine e l'orizzonte, oltre a diverse notazioni. Alcuni libri includono l'utilizzo di una convenzione diversa per il valore del prodotto scalare: . Queste diverse convenzioni non cambiano fondamentalmente le proprietà algebriche dell'algebra geometrica conforme e possono essere paragonate a divergenze nella scelta delle unità.o⋅∞=-1{\ displaystyle o \ cdot \ infty = -1}
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Qui la parola cutting e i suoi sostantivi sono stati scelti per tradurre il termine inglese split nell'espressione di Hestenes conformal split
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Alcune fonti utilizzano la formula . La differenza di segno sembra essere correlata alla diversa scelta del segno del prodotto scalare tra l'origine e l'orizzonte.F(X)=o+X+12X2∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = o + \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">