In algebra generale , l' algebra commutativa è la branca della matematica che studia gli anelli commutativi , i loro ideali , i moduli e l' algebra . È fondamentale per la geometria algebrica e per la teoria dei numeri algebrica .
David Hilbert è considerato il vero fondatore di questa disciplina inizialmente chiamata "teoria degli ideali". Molti presumono che avrebbe pensato a questa teoria come un approccio per sostituire la teoria delle funzioni complesse . L'aspetto computazionale è stato presentato come secondario, lasciando più spazio alle strutture. Lo studio dei moduli , successivamente allegato a questa teoria sotto l'influenza di Emmy Noether , presenta in qualche modo il lavoro di Kronecker , ed è un miglioramento tecnico che prescinde dal lavorare sempre direttamente sul caso particolare degli ideali.
In relazione alla nozione di schema , l'algebra commutativa può essere considerata la teoria locale o la teoria affine della geometria algebrica .
Lo studio generale degli anelli che non si presume siano commutativi è noto come algebra non commutativa ; è esteso dalla teoria delle rappresentazioni e da altri campi come quello della teoria delle algebre di Banach .