Definizione - Un'algebra di insieme è un insieme di parti di un insieme che soddisfa:
Il concetto interviene nell'esposizione delle basi della teoria della misura , sotto nomi abbastanza vari nelle fonti francesi: oltre all'algebra insiemistica , e alla sua variante di campo insiemistico , troviamo anche l'algebra booleana delle parti , o più brevemente algebra booleana , o anche semplicemente algebra , e ancora anello booleano unitario o clan unitario .
Questa definizione evoca quella di una tribù ; riunendoli vediamo immediatamente che un insieme di parti di un insieme è una tribù se e solo se è un'algebra stabile di insiemi per unione numerabile . Nello spirito della teoria della misurazione, un esempio significativo di algebra degli insiemi è l'algebra composta da unioni finite di intervalli della linea reale (tutti i tipi di intervalli, limitati o meno); non è una tribù.
In alcune manipolazioni, ci convinciamo che la definizione data sopra equivale a richiedere le seguenti cinque proprietà:
In altre parole, le algebre di insieme sono le sottoalgebre booleane dell'algebra booleana di tutte le parti di un insieme.
Se consideriamo l'algebra booleana di tutte le parti attraverso la struttura ad anello booleana associata alla sua struttura algebra booleana, notiamo che le algebre di insieme sono esattamente i sotto-anelli ( fermo restando che gli anelli sono unitari: richiediamo il sotto-anello contenere , che è il neutro della moltiplicazione dell'anello, che è l'intersezione). Quando questa condizione viene rilasciata sul neutro moltiplicativo, l'oggetto matematico simile viene chiamato anello di insiemi . È facile trovare esempi di anelli di insiemi che non sono algebre di insiemi ( è il più semplice), quindi l'insieme di unioni finite di intervalli limitati della retta reale.