Equazioni di Bloch

In fisica e chimica, specialmente nella risonanza magnetica nucleare (NMR) , nella risonanza magnetica (MRI) e nella risonanza paramagnetica elettronica (EPR) , le equazioni di Bloch sono un insieme di equazioni macroscopiche utilizzate per calcolare la magnetizzazione nucleare M = ( M x , M y , M z ) in funzione del tempo in cui sono presenti i tempi di rilassamento T 1 e T 2 . Le equazioni di Bloch sono talvolta chiamate equazioni del moto della magnetizzazione nucleare. Queste equazioni furono introdotte da Félix Bloch nel 1946 e sono analoghe alle equazioni di Maxwell-Bloch che descrivono l'effetto di un campo elettromagnetico su un sistema a due livelli e i rilassamenti che possono essere osservati lì.

Queste equazioni non sono microscopiche : non descrivono l'equazione del moto dei singoli momenti magnetici . Questi sono governati e descritti dalle leggi della meccanica quantistica . Le equazioni di Bloch sono macroscopiche : descrivono le equazioni del moto della magnetizzazione nucleare macroscopica che si possono ottenere sommando tutti i momenti magnetici nucleari del campione.

Equazioni di Bloch in un sistema di riferimento fisso

Sia M (t) = (M x (t), M y (t), M z (t)) , la magnetizzazione nucleare. Le equazioni di Bloch vengono quindi scritte:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x} - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y} - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z} - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

dove γ è il rapporto giromagnetico e B (t) = (B x (t), B y (t), B 0 + ΔB z (t)) è il campo magnetico imposto ai nuclei atomici. La componente z del campo magnetico B è composta da due termini:

il primo, B 0 , corrispondente ad un campo costante nel tempo;
il secondo, ΔB z (t) , può essere dipendente dal tempo. È presente nella risonanza magnetica e aiuta nella decodifica spaziale del segnale NMR.

M (t) × B (t) è il prodotto incrociato di questi due vettori. M 0 è lo stato di equilibrio della magnetizzazione nucleare, è orientato nella direzione z.

Contenuto fisico

Quando T 1 e T 2 tendono all'infinito, cioè quando non c'è rilassamento, le equazioni si riducono a:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z}}

o in notazione vettoriale:

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {M} (t)} {dt}} = \ gamma \ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)}

Questa è l'equazione della precessione Larmor della magnetizzazione nucleare M in un campo magnetico esterno B .

Le equazioni di Bloch sono quindi le equazioni di Larmor a cui abbiamo aggiunto i seguenti termini di rilassamento:

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {M_ {x}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {y}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} \ right)}

Il rilassamento trasversale è descritto dal tempo caratteristico T 2 e similmente il rilassamento longitudinale dal tempo T 1 .

Questi termini traducono le interazioni con l'ambiente esterno, il rilassamento longitudinale ( T 1 ) o il rilassamento del reticolo di spin è il risultato di scambi tra gli spin e l'ambiente circostante per trasferire l'energia in eccesso fornita dal campo magnetico e quindi tornare all'equilibrio termodinamico. Il rilassamento trasversale ( T 2 ) o anche il rilassamento spin-spin corrisponde allo sfasamento graduale di tutti gli spin del materiale originati dalle disomogeneità locali del campo magnetico. Queste disomogeneità implicano leggere differenze nella frequenza di Larmor. Infatti, in assenza di rilassamento, i momenti sono in precessione coerente attorno al campo magnetico e si ha quindi una magnetizzazione trasversale. Essendo la magnetizzazione la somma di tutti i momenti magnetici, la loro decoerenza progressiva si traduce in un valore medio della componente trasversale che tende ad annullarsi.

Forme alternative delle equazioni di Bloch

L'espansione del prodotto incrociato nelle equazioni di Bloch porta a:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma \ left (M_ {y} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {y } (t) \ right) - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma \ left (M_ {z} (t) B_ {x} (t) -M_ {x} (t) B_ {z } (t) \ right) - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma \ sinistra (M_ {x} (t) B_ {y} (t) -M_ {y} (t) B_ {x } (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

Vedremo in seguito che questa formula viene semplificata ponendo:

{\ displaystyle M_ {xy} = M_ {x} + iM_ {y}}

{\ displaystyle B_ {xy} = B_ {x} + iB_ {y}}

dove i è l'unità immaginaria.

Otteniamo :

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma \ sinistra (M_ {xy} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M_ {xy} (t) {\ overline {B_ {xy} (t)}} - {\ overline {M_ {xy} (t)}} B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ { 1}}}}

Ad esempio :

{\ displaystyle {\ overline {M_ {xy}}} = M_ {x} -iM_ {y}}

{\ displaystyle {\ overline {B_ {xy}}} = B_ {x} -iB_ {y}}

Queste quantità sono i numeri complessi coniugati di M xy e B xy . Le parti reale e immaginaria di M xy corrispondono rispettivamente a M x e M y . M xy è talvolta chiamato magnetizzazione nucleare trasversale .

Forma matriciale delle equazioni di Bloch

Le equazioni di Bloch possono essere rielaborate utilizzando una definizione equivalente del prodotto incrociato da scrivere in notazione matriciale:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {z} & - \ gamma B_ {y} \\ - \ gamma B_ {z } & - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {x} \\\ gamma B_ {y} & - \ gamma B_ {x} & - {\ frac {1} {T_ { 1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}

Equazioni di Bloch nel sistema di riferimento rotante

In un telaio rotante, è più facile comprendere il comportamento della magnetizzazione nucleare M .

Soluzione delle equazioni di Bloch con T 1 , T 2 → ∞

Supporre che :

a t = 0, la magnetizzazione nucleare trasversale M xy (0) subisce un campo magnetico costante B ( t ) = (0, 0, B 0 );
B 0 è positivo;
non c'è rilassamento longitudinale o trasversale poiché T 1 e T 2 tendono verso l'infinito.

Le equazioni di Bloch diventano quindi:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma M_ {xy} (t) B_ {0}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = 0}

Queste sono due equazioni differenziali lineari non accoppiate . Le loro soluzioni sono:

{\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {0} t}}

{\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} = {\ text {const}} \,}

Quindi la magnetizzazione trasversale, M xy, ruota attorno all'asse z con la frequenza angolare ω 0 = γ B 0 in senso orario (questo è il motivo del segno negativo nell'esponente). La magnetizzazione longitudinale M z rimane costante nel tempo. Questo è anche il motivo per cui la magnetizzazione trasversale appare a un osservatore nel quadro di riferimento terrestre (visto da un osservatore stazionario ).

M xy ( t ) può essere scomposto nelle quantità osservabili M x ( t ) e M y (t) :

{\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {z0} t} = M_ {xy} (0) \ sinistra [\ cos (\ omega _ {0 } t) -i \ sin (\ omega _ {0} t) \ right]}

Abbiamo :

{\ displaystyle M_ {x} (t) = {\ text {Re}} \ left (M_ {xy} (t) \ right) = M_ {xy} (0) \ cos (\ omega _ {0} t) }

{\ displaystyle M_ {y} (t) = {\ text {Im}} \ left (M_ {xy} (t) \ right) = - M_ {xy} (0) \ sin (\ omega _ {0} t )}

dove Re ( z ) e Im ( z ) sono funzioni che danno rispettivamente la parte reale e quella immaginaria del numero complesso z. In questo calcolo si è assunto che M xy (0) sia un numero reale.

Trasformazione in un sistema di riferimento rotante

Questa è la conclusione della parte precedente: in un campo magnetico costante B 0 lungo l'asse z , la magnetizzazione trasversale M xy ruota attorno a questo asse in senso orario con la frequenza angolare ω 0 . Se l'osservatore ruotasse attorno allo stesso asse nella stessa direzione e con la frequenza angolare Ω, M xy gli apparirebbe rotante con la frequenza angolare ω 0 - Ω. Più in particolare, se l'osservatore ruotasse attorno allo stesso asse in senso orario con la frequenza angolare ω 0 , la magnetizzazione trasversale M xy gli sembrerebbe stazionaria.

Questo può essere espresso matematicamente come segue:

(x, y, z) è il sistema di coordinate cartesiane terrestri impostato come sistema di riferimento;
(x ′, y ′, z ′) = (x ′, y ′, z) è un sistema di coordinate cartesiane che ruota attorno all'asse z del sistema di riferimento terrestre con la frequenza angolare Ω. Si chiama sistema di riferimento rotante . Le variabili fisiche in questo repository sono indicate da un apostrofo.

Chiaramente :

{\ displaystyle M_ {z} '(t) = M_ {z} (t) \,}

Per M xy ′ ( t ) la trasformazione è scritta:

{\ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \,}

Equazione del movimento della magnetizzazione nel sistema di riferimento rotante

L'equazione del moto di M xy ′ ( t ) in un campo B (t) = (B x (t), B y (t), B 0 + ΔB z (t)) è:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM '_ {xy} (t)} {dt}} & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy}' (t) - i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy} '(t) + i \ gamma B_ {xy}' (t) M_ {z} (t) - {\ frac {M_ {xy} '( t)} {T_ {2}}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M '_ {xy} (t) {\ overline {B' _ {xy} (t)}} - {\ overline {M '_ {xy} (t)}} B' _ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) - M_ {0}} {T_ {1}}}}

Dimostrazione

Otteniamo l'equazione di evoluzione semplicemente derivando la quantità M ' xy rispetto al tempo :

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = {\ frac {d \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ right)} { dt}} = {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} = {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} '(t)}

Iniettando l'equazione di Bloch:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) B_ {z} ( t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}} \ right] e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} B_ {z} (t ) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t}} {T_ {2}}} \ right] + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) B_ {z} '(t) - M_ {z} '(t) B_ {xy}' (t) \ right) + i \ Omega M_ {xy} '(t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2} }} \\\ fine {allineato}}}

L'ipotesi della parte precedente era che: B z ′ ( t ) = B z ( t ) = B 0 + Δ B z ( t ). Possiamo quindi continuare scrivendo:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) (B_ {0} + \ Delta B_ {z} (t)) - M_ {z} (t) B_ {xy} '(t) \ right) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} ' (t)} {T_ {2}}} \\ & = - i \ gamma B_ {0} M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' ( t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z} (t) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ { 2}}} \\ & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' (t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z} (t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2}}} \\\ fine {allineato}}}

Lo stesso vale per l'equazione di M z .

Spiegazione dei termini a destra di questa equazione:

i (Ω - ω 0 ) M xy ′ ( t ) segue il termine di Larmor nel sistema di riferimento rotante con la frequenza angolare Ω. Viene annullato in particolare quando Ω = ω 0 ;
il termine -i γ Δ B z ( t ) M xy ′ ( t ) descrive l'effetto della disomogeneità del campo magnetico sulla magnetizzazione nucleare trasversale. È anche il termine che corrisponde agli usi dell'NMR durante una risonanza magnetica: è prodotto dalle bobine del gradiente di campo magnetico;
i γ Δ B xy ′ ( t ) M z ( t ) descrive l'effetto del campo a radiofrequenza sulla magnetizzazione nucleare (il fattore Δ B xy ′ ( t ) più particolarmente);
- M xy ′ ( t ) / T 2 descrive la perdita di coerenza della magnetizzazione trasversale.

Equazioni indipendenti dal tempo nel sistema di riferimento rotante

Se il campo esterno ha la forma:

{\ displaystyle B_ {x} (t) = B_ {1} \ cos \ omega t}

{\ displaystyle B_ {y} (t) = - B_ {1} \ sin \ omega t}

{\ displaystyle B_ {z} (t) = B_ {0}}

Possiamo quindi definire:

{\ displaystyle \ epsilon = \ gamma B_ {1}}

e ,

{\ displaystyle \ Delta = \ omega - \ omega _ {0}}

Le equazioni vengono quindi scritte semplicemente in notazione matriciale:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ begin {array} {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end { array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ Delta & 0 \\ - \ Delta & - {\ frac {1 } {T_ {2}}} & \ epsilon \\ 0 & - \ epsilon & - {\ frac {1} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array } {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \ \ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}

Dimostrazione

{\ displaystyle {\ begin {align} B_ {xy} '(t) & = B_ {1} (\ cos \ omega ti \ sin \ omega t) e ^ {i \ Omega t} = B_ {1} e ^ {i (\ Omega - \ omega) t} \\ {\ frac {dM '_ {z}} {dt}} & = i {\ frac {\ gamma} {2}} B_ {1} (M_ {xy } 'e ^ {i (\ omega - \ Omega) t} - {\ overline {M_ {xy}'}} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t}) - {\ frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} \\ & = - \ gamma B_ {1} M '_ {y} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t} - {\ frac { M_ {z} -M_ {0}} {T_ {1}}} \\ {\ frac {dM '_ {xy}} {dt}} & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M' _ {xy} + i \ gamma B_ {1} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t} M_ {z} - {\ frac {M '_ {xy}} {T_ {2}}} \ \\ fine {allineato}}}

As e possiamo separare l'equazione del moto di M ' xy in due equazioni, una per la parte reale e una per la parte immaginaria che identifichiamo su entrambi i lati dell'uguaglianza. Questo da : ${\ displaystyle M '_ {x} = {\ text {Re}} (M' _ {xy})}$ ${\ displaystyle M '_ {y} = {\ text {Im}} (M' _ {xy})}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM '_ {x}} {dt}} & = (\ Omega - \ omega _ {0}) M' _ {y} + \ gamma B_ {1} \ sin ((\ omega - \ Omega) t) M_ {z} - {\ frac {M '_ {x}} {T_ {2}}} \\ {\ frac {dM' _ {y}} {dt }} & = - (\ Omega - \ omega _ {0}) M '_ {x} + \ gamma B_ {1} \ cos ((\ omega - \ Omega) t) M_ {z} - {\ frac { M '_ {y}} {T_ {2}}} \\\ end {align}}}

Con la condizione , troviamo la formulazione annunciata in modo tale che non vi è più alcuna dipendenza esplicita dal tempo. ${\ displaystyle \ Omega = \ omega}$

Soluzioni semplici delle equazioni di Bloch

Rilassamento della magnetizzazione nucleare trasversale M xy

Supponendo che :

la magnetizzazione nucleare è esposta ad un campo magnetico esterno costante nella direzione z: B z ′ (t) = B z (t) = B 0 . Quindi ω 0 = γB 0 e ΔB z (t) = 0 ' ;
non c'è campo di radiofrequenza, quindi abbiamo B xy ' = 0;
la rotazione del sistema di riferimento rotante è alla frequenza angolare Ω = ω 0 .

Nel sistema di riferimento rotante, l'equazione del moto per la magnetizzazione nucleare trasversale, M xy '(t) è ridotta a:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2}}}}

È un'equazione differenziale ordinaria lineare e la sua soluzione è:

{\ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy}' (0) e ^ {- t / T_ {2}}}

dove M xy ' (0) è la magnetizzazione nucleare trasversale nella struttura rotante al tempo t = 0 . Costituisce la condizione iniziale dell'equazione differenziale.

Va notato che quando la rotazione del sistema di riferimento rotante è esattamente alla frequenza di Larmor ω 0 , il vettore di magnetizzazione nucleare trasversale M xy (t) è stazionario.

Rilassamento della magnetizzazione nucleare longitudinale M z

Supponendo che :

la magnetizzazione nucleare è esposta ad un campo magnetico esterno costante nella direzione z: B z ′ (t) = B z (t) = B 0 . Quindi ω 0 = γB 0 e ΔB z (t) = 0 ' ;
non c'è campo di radiofrequenza, quindi abbiamo B xy '= 0 ;
la rotazione del sistema rotante è alla frequenza angolare Ω = ω 0 .

Nel sistema di riferimento rotante, l'equazione del moto per la magnetizzazione nucleare longitudinale M z (t) è semplificata in:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

È un'equazione differenziale ordinaria lineare e la sua soluzione è:

{\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} - [M_ {0} -M_ {z} (0)] e ^ {- t / T_ {1}}}

dove M z (0) è la magnetizzazione nucleare longitudinale nella struttura rotante al tempo t = 0. Questa è la condizione iniziale per l'equazione differenziale.

Impulsi a 90 ° e 180 ° nel campo delle radiofrequenze

Comunemente, gli impulsi a 90 ° e 180 ° nel campo della radiofrequenza vengono utilizzati in NMR. L'effetto di questi impulsi sulla magnetizzazione è mostrato nell'immagine seguente:

Le ipotesi precedenti vengono modificate aggiungendo un campo di radiofrequenza B 1 come:

a t = 0, viene applicato un impulso a radiofrequenza di ampiezza e frequenza costante ω 0 . Abbiamo B ' xy (t) = B' xy costante e τ la durata di questo impulso;
T 1 e T 2 → ∞. In pratica, ciò significa che τ è piccolo rispetto a T 1 e T 2 .

Allora per 0 ≤ t ≤ τ:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = i \ gamma B_ {xy}' M_ {z} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M '_ {xy} (t) {\ overline {B' _ {xy}}} - {\ overline {M '_ {xy}}} (t) B' _ {xy} \ right)}

Nel tempo la magnetizzazione tende a ritornare in uno stato di equilibrio. I diversi componenti si comportano come segue:

Vedi anche

La diffusione MRI utilizza una generalizzazione delle equazioni di Bloch: le equazioni di Bloch-Torrey , che includono termini aggiunti a causa del trasferimento della magnetizzazione per diffusione.

Bibliografia

Lavori

Charles Kittel , Introduzione alla fisica dello stato solido , cap. 13 , John Wiley & Sons, 8 ° ed. , 2004 ( ISBN 978-0-471-41526-8 ) .
Claude Le Sech e Christian Ngô, Nuclear Physics: From quark to applications , Dunod, Paris, 2010 ( ISBN 978-2-10-055331-0 ) .
Jean-Philippe Grivet, Metodi numerici applicati per scienziati e ingegneri , cap. 13 , Risoluzione delle equazioni di Bloch , EDP Sciences, coll. “Scienze Grenoble”, 2 ° ed. ,Aprile 2013( ISBN 9782759808298 ) .

link esterno

Simulazione animata di Bloch dal Centro danese di ricerca sulla risonanza magnetica

Riferimenti

F. Bloch , Nuclear Induction , Physical Review , 70, 4604–73, 1946
Jacques Pescia, " Il rilassamento degli spin elettronici con la rete (Teoria elementare e metodi di misurazione del tempo T1) ", Journal de Physique ,Novembre-dicembre 1966, p. 782-800 ( leggi in linea )
" Principle of NMR: Relaxation phenomena " (accesso 25 aprile 2018 )
(a) " equazioni di Bloch " su domande e risposte a risonanza magnetica (accessibile 1 ° maggio 2018 )
" ENS Lyon Nuclear Magnetic Resonance Course " , su ens-lyon.fr ,1 ° agosto 2014(visitato il 30 aprile 2018 )
HC Torrey , " Bloch Equations with Diffusion Terms ", Physical Review , vol. 104, n o 3, 1956, p. 563-565 ( DOI 10.1103 / PhysRev.104.563 , codice bib 1956PhRv..104..563T )