Equazione di Schwinger-Dyson

L' equazione di Schwinger-Dyson , dopo Julian Schwinger e Freeman Dyson , è un'equazione della teoria quantistica dei campi . Data una funzione limitata F sulle configurazioni di campo, quindi per qualsiasi vettore di stato (che è una soluzione della teoria quantistica dei campi), c'è: ${\ displaystyle | \ psi>}$

{\ displaystyle <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {{\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} F [\ phi] \} | \ psi> = - i <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {F [\ phi] {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} S [\ phi] \} | \ psi>}

con S la funzione azione e l'operazione di ordinamento temporale. ${\ mathcal {T}}$

Allo stesso modo, nella formulazione dello stato di densità , per ogni stato (valido) ρ, c'è:

{\ displaystyle \ rho ({\ mathcal {T}} \ {{\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} F [\ phi] \}) = - i \ rho ({\ mathcal {T}} \ {F [\ phi] {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} S [\ phi] \})}

Queste infinite equazioni possono essere utilizzate per risolvere le funzioni di correlazione, senza disturbi.

Si può anche ridurre l'azione S separandola: S [φ] = 1/2 D -1 ij φ i φ j + S int [φ] con per primo termine la parte quadratica e D -1 un tensore covariante simmetrico e reversibile (antisimmetrico per fermioni ) di rango 2 nella notazione di deWitt . Le equazioni possono essere riscritte come segue:

{\ displaystyle <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {F \ phi ^ {j} \} | \ psi> = <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {iF _ {, i} D ^ {ij} -FS_ {int, i} D ^ {ij} \} | \ psi>}

Se F è una funzione di φ, allora per un operatore K , F [ K ] è definito come un operatore che sostituisce K con φ. Ad esempio, se

{\ displaystyle F [\ phi] = {\ frac {\ partial ^ {k_ {1}}} {\ partial x_ {1} ^ {k_ {1}}}} \ phi (x_ {1}) \ cdots { \ frac {\ partial ^ {k_ {n}}} {\ partial x_ {n} ^ {k_ {n}}}} \ phi (x_ {n})}

e che G è una funzione di J , allora:

{\ displaystyle F [-i {\ frac {\ delta} {\ delta J}}] G [J] = (- i) ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {k_ {1}}} {\ x_ parziale {1} ^ {k_ {1}}}} {\ frac {\ delta} {\ delta J (x_ {1})}} \ cdots {\ frac {\ partial ^ {k_ {n}}} { \ partial x_ {n} ^ {k_ {n}}}} {\ frac {\ delta} {\ delta J (x_ {n})}} G [J]}

Se esiste una funzione analitica Z (chiamata funzione generatore ) di J (chiamata campo sorgente) che soddisfa l'equazione:

{\ displaystyle {\ frac {\ delta ^ {n} Z} {\ delta J (x_ {1}) \ cdots \ delta J (x_ {n})}} [0] = i ^ {n} Z [0 ] <\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n})>}

allora l'equazione di Schwinger-Dyson per il generatore Z è:

{\ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta \ phi (x)}} [- i {\ frac {\ delta} {\ delta J}}] Z [J] + J (x) Z [J ] = 0}

Sviluppando questa equazione della serie di Taylor per J vicino a 0, si ottiene l'intero insieme di equazioni di Schwinger-Dyson.